精品解析：陕西省西安中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

西安中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学试题 （时间：120 分钟　　满分：100 分）　 一、选择题(本题共 8 小题，每小题 3.5 分，共 28 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集为 ，集合 ，，则 （　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，所以. 2. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立. 【详解】因，则由可得，解得，即充分性成立； 当时，满足，但此时，即必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得函数是偶函数排除C，，根据时化简，是减函数即可判断答案。 【详解】易得，所以函数是偶函数，排除C； 函数化简后为，当时，，且是减函数。 故选：B 【点睛】此题考查函数图像，判断函数图像一般可通过奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于较易题目。 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代入法求出函数解析式，利用函数奇偶性的定义进行判断即可． 【详解】的定义域为， 的定义域为，关于原点对称， ， 对于A, ，,,所以不是奇函数， 对于B, 又，故为奇函数， 的定义域为， 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以CD均不为奇函数， 故选：B 5. 下列函数中，值域为 的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项A可用二次函数的性质求值域，选项B可以根据绝对值的意义得到值域，选项C变形后利用基本不等式得到值域，选项D根据函数的单调性得到值域. 【详解】对于选项A，，所以的值域是，故A错误； 对于选项B，，故的值域为，故B错误； 对于选项C，因为，所以，当且仅当时取等号 ，故 的值域为，故C错误； 对于选项D，在上单调递增， 所以的值域为，故D正确. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项； 通过作差法，，确定符号，排除C选项； 通过作差法，，确定符号，排除A选项； 【详解】由，且，故； 由且，故； 且，故. 所以， 故选：B. 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根式有意义的要求求得函数的定义域；依次判断、和的单调性，根据复合函数单调性的判断原则可求得结果. 【详解】由得： 定义域为 在上单调递增，在上单调递减 在上单调递增，在上单调递减 又在上单调递减 的单调递增区间为 故选： 【点睛】本题考查指数型复合函数单调区间的求解问题，关键是明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误. 8. 已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数的定义求得的可能取值，再由单调性确定的值，得函数解析式，结合奇偶性求解. 【详解】由题意，解得或， 又在上单调递增，所以，， 所以，，易知是偶函数， 所以由得，解得或. 故选：D. 二、选择题(本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 4 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分) 9. 下列命题正确的是（　　） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 设 ，，则“”是“”的必要不充分条件 C. 命题“任意 ，都有 ”的否定是“存在 ，使得 ” D. 已知 ，且 ，则 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及带量词命题的否定要求判断ABC；利用不等式性质计算判断D. 【详解】对于A，，而有，不一定有，如，“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B，当时，若，有，即“”不能推出“”， 反之，，即有“”是“”的必要不充分条件，B正确. 对于C，命题“任意，都有”是全称量词命题，其否定是“存在，使得”，C错误； 对于D，因为 ,结合，且 ， 可得，即，故的取值范围是 ，D正确. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 若 ，，满足 ，则 的最小值为 4 B. 的最小值为 2 C. 若 ，则函数 的最大值为 D. 若 ，，，则 的最小值为 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用指数幂的积为定值,直接构造基本不等式; B,C通过换元转化为对勾函数,注意定义域对等号的影响; D设,,用把条件转化为关于的不等式. 【详解】对于A,由得. 所以,当且仅当,即时取等号,因此的最小值为. A正确. 对于B,令,则,且. 因为,函数在上单调递增,所以最小值为,不是. B错误. 对于C,令.由得,且,所以. 因为,所以,当且仅当,即时取等号,因此,最大值为. C正确. 对于D,设,. 由,知,,且由得,所以. 又因为,所以.即.结合得. 当时,,此时,满足条件,因此的最小值为. D正确. 11. 已知实数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分．把答案填在答题卡上的相应位置) 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则这个定点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得，代入，得函数图象过定点，故答案为. 13. 若，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题得，再根据对数运算法则求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 14. 设函数 （ 为常数）．若 为奇函数，则 ____；若 是 上的增函数，则 的取值范围是____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】①若为奇函数，，故 ，可得： ， 由于对任意，，，故恒成立，因此等式对任意成立的充要条件为，解得. ② 若是上的增函数，，当 时，，即 . 因为 是 上增函数， . 要保证 恒成立，只需：， 变形：， 令，，，的值域是， 又对任意恒成立，故，即取值范围 . 四、解答题(本题共 5 小题，共 48 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （1）求不等式的解集：； （2）求不等式的解集：． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）化简分式不等式转化为解一元二次不等式求解； （2）分类讨论，当不等号两边非负时平方化为一元二次不等式求解. 【详解】（1）由可得，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. （2）当，即时，不等式恒成立； 当时，两边平方可得， 即，解得或， 综上，不等式的解集为. 16. （1）计算：； （2）已知不等式 的解集为 或 ．若 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则性质求解； （2）由一元二次不等式的解得出参数，再由“1”的技巧及基本不等式求最值. 【详解】（1） . （2）因为不等式的解集为或， 所以，且方程的根为， 则，所以； 所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 17. 已知函数 （1）在给出的坐标系中画出函数 的图象，并根据图象写出函数 的单调区间； （2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围； （3）若在开区间 上既有最大值，又有最小值，写出 ，的取值范围． 【答案】（1） 单调增区间：和，单调减区间：. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）研究函数的性质，作出的图象，然后写出单调区间， （2）结合函数图象，求出的范围， （3）利用分段函数图象及性质，结合函数图象求出范围. 【小问1详解】 当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在单调递减，在单调递增，函数值集合为，作出的图象. 【小问2详解】 要使直线与的图象恰有两个交点，则或， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 由得， 要使在上既有最大值又有最小值，则 18. 已知函数 ． （1）解关于 的不等式：（）； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为。 （2） 【解析】 【分析】（1）题设不等式等价于，讨论的大小并根据一元二次不等式的解法求解集即可. （2）由题设可得，进而可知在恒成立，即可求参数范围. 【小问1详解】 由，即，即. ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上，当时﹐不等式的解集为；当时，不等式的解集为﹔当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，得，即. 由，则， ∴，即， ∴，即， ∴实数的取值范围是. 19. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求，的值； （2）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2），是上的增函数，证明如下： ，且，， ， 是上的增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据是定义域为的奇函数，利用和列方程求解出， （2）先判断函数的单调性，然后按照取值，作差，变形，定号，结论的步骤证明即可， （3）利用的单调性和奇偶性将不等式转化成，再令，求得的最小值即可. 【小问1详解】 是定义域为的奇函数，，即，， 又，即，解得， ，此时，满足是奇函数， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是定义域为的奇函数， 不等式变形为， 由（2）可知是上的增函数，恒成立， ， 令，则， ， 则当时，，取得最小值为， ， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学试题 （时间：120 分钟　　满分：100 分）　 一、选择题(本题共 8 小题，每小题 3.5 分，共 28 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集为 ，集合 ，，则 （　　） A. B. C. 或 D. 或 2. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，值域为 的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题(本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 4 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分) 9. 下列命题正确的是（　　） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 设 ，，则“”是“”的必要不充分条件 C. 命题“任意 ，都有 ”的否定是“存在 ，使得 ” D. 已知 ，且 ，则 的取值范围是 10. 下列说法正确的是（　　） A. 若 ，，满足 ，则 的最小值为 4 B. 的最小值为 2 C. 若 ，则函数 的最大值为 D. 若 ，，，则 的最小值为 2 11. 已知实数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分．把答案填在答题卡上的相应位置) 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则这个定点的坐标是__________． 13. 若，，则________． 14. 设函数 （ 为常数）．若 为奇函数，则 ____；若 是 上的增函数，则 的取值范围是____． 四、解答题(本题共 5 小题，共 48 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （1）求不等式的解集：； （2）求不等式的解集：． 16. （1）计算：； （2）已知不等式 的解集为 或 ．若 ，，且 ，求 的最小值． 17. 已知函数 （1）在给出的坐标系中画出函数 的图象，并根据图象写出函数 的单调区间； （2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围； （3）若在开区间 上既有最大值，又有最小值，写出 ，的取值范围． 18. 已知函数 ． （1）解关于 的不等式：（）； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 19. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求，的值； （2）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $