精品解析：广东省深圳市海湾中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026－2027学年第一学期期中素养调研卷 九年级数学 试卷说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（8小题，每道小题3分，共24分．以下各题只有一项正确答案，请将答题卷的对应选项涂黑） 1. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母，又叫形磁铁．下图是物理学中经常使用的形磁铁示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵俯视图是从几何体的上面看到的图形， ∴其俯视图是：． 2. 下列式子中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，不是二次函数，故A不符合要求； 是二次函数，故B符合要求； 不是二次函数，故C不符合要求； ，不是二次函数，故D不符合要求； 故选：B． 3. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，对四个选项中的条件进行逐一分析，判断是否满足相似条件 【详解】解：A、，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、，且夹角均为，两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似，不符合题意； C、仅有一组角为相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 4. 观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 5. 如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 6. 下列四个命题中，错误的命题是（ ）． A. 四条边都相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定分别对四个选项进行判断． 【详解】A．四条边都相等的四边形是菱形，所以A选项为真命题； B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为假命题； C．有三个角是直角的四边形是矩形，所以C选项为真命题； D．一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形，所以D选项为真命题． 故选：B 【点睛】在数学中，一般把判断某一件事情的语句叫做命题，本题考查了命题是真命题还是假命题，涉及了菱形、正方形、矩形的判定． 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 8. 菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，再证明是等腰三角形，继而得到，再利用相似比即可得到本题答案． 【详解】解：∵菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质，全等三角形性质及判定，等腰三角形判定及性质． 二、填空题（5小题，每道小题3分，共15分） 9. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，用表示出是解题的关键． 先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 10. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0两个条件，联立求解并排除不符合的取值即可得到的值. 【详解】解：由题意，且， 由，得，即或； 由，得， ∴符合所有条件的的值为. 11. 已知点是线段的黄金分割点，且，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的应用，解一元二次方程，设的长为，则的长为，根据黄金分割点的定义，可得，然后列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，则的长为， ∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ ∵，， ∴ ∴（舍去负值） ∴． 故答案为：． 12. 将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点分别落在坐标轴上，且，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，得到点D坐标是解答的关键．过D作轴于H，设小正方形的边长为a，先证明求得，再证明求得，，进而可得即可． 【详解】解：过D作轴于H，设小正方形的边长为a， 由题意，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在等腰中，，边上有一点，将沿线段折叠得，线段与边交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，图形折叠的性质，相似三角形的判定与性质．熟悉根据等腰直角三角形的性质和图形折叠的性质得到线段的相等关系，根据勾股定理得到线段长度，根据平行线判定相似三角形，以及根据相似三角形得到线段成比例，进而得到所求线段的比，是解题的关键． 首先，过点作交延长线于，根据等腰直角三角形的性质和图形折叠的性质得到，设，，根据勾股定理建立方程得到，根据平行线判定，继而得到用表达的和，继而得到线段的比值． 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于， 设，则， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共5小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题6分，第17题8分，第18题11分，第19题12分，第20题10分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解方法解方程即可． （2）根据公式法解出方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 或， ，． 【小问2详解】 解： ， ， ∴，． 15. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若，求k值． 【答案】（1）证明见详解； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据判别式配方即可得到证明； （2）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：由题意可得， ，， ∵， ∴， 即， 解得：，． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是熟练掌握，及判别式大于或等于0一元二次方程有实数根． 16. 如图①、图②均是的正方形网格，点，，，均在小正方形格点上．在图①②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（不写作法，保留痕迹）． （1）在图①中以点为位似中心、线段为边画一个三角形，使它与位似 （2）在图②中线段上画一个点，使 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点、，连接交于点，根据平行线分线段成比例得，从而，又，从而，从而得为所求； （2）取格点、连接交于点，根据得，从而得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 18. 深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ （3）布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 【答案】（1） （2）5元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意列出方程，再结合“尽可能让顾客得到实惠”确定的值，即可解答； （3）根据题意列出方程，求出的值即可解答； 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 19. 已知二次函数 （1）写出二次函数的顶点坐标； （2）补充表格中的y值，并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象 x … 0 1 2 3 4 … … … （3）将抛物线．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是___________． （4）①已知函数图象上两点和，若，请直接写出y1与y2的大小关系； ②当时，请直接写出y的取值范围． （5）已知二次函数，当时，其对应的函数值y的最大值为，请直接写出常数的值． 【答案】（1） （2），0，3，4，3，0， （3） （4）①；② （5）或 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可求解； （2）先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； （3）根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可； （4）①根据二次函数的增减性判断即可；②根据函数图象解答即可； （5）由二次函数得到其增减性，分三种情况：①时，②时，③时，函数值y取得最大值的情况，结合已知的当时，对应的函数值y的最大值为，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以补充表格y的值为： x … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … 函数图象略． 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线为，即． 【小问4详解】 解：①∵抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点和在函数图象上，且， ∴． ②由函数图象可得，当时，． 【小问5详解】 解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，函数值y取得最大值为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． ①当时，，函数值在时取得最大值，为， ∵当时，对应的函数值y的最大值为， ∴， 解得（不满足，舍去）或； ②当时，函数值在时取得最大值，为， 不满足对应的函数值y的最大值为，舍去； ③当时，，函数值在时取得最大值，为， ∵当时，对应的函数值y的最大值为， ∴， 解得（不满足，舍去）或； 综上所述，常数的值为6或． 20. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）不变． 理由如下：设的中点为，连接，如下图所示． 是的中点， 是的中位线． ． ． ． ， ． （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）延长交的延长线于点P，利用矩形的性质以及线段中点可证得，由全等的性质可得出，再证明即可得出，由线段的中点可得出，即可得出． （2）设的中点为，连接，由三角形中位线的判定以及性质得出，进而得出，由相似三角形的性质进而得出，再结合即可得出． （3）连接，先证明是的中位线，，根据题意可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．当三点共线时，分以下两种情况进行讨论．画出图形结合正方形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）． 理由∶如下图，延长交的延长线于点P， 图4 ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴ （2）略 （3）或． 理由如下： 连接， 如下图 分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 由题意，可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆． 当三点共线时，分以下两种情况进行讨论． ①当点在线段上时，连接， 过点作于点，如下图所示， ∵为正方形，B为中心， ∴ ， ， 在中，， ． ． ． ②当点在线段上时，连接，过点作，如下图所示， 同理 ∴ 在中， ． ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质等知识，熟虑掌握以上知识是解题的关键， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期期中素养调研卷 九年级数学 试卷说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（8小题，每道小题3分，共24分．以下各题只有一项正确答案，请将答题卷的对应选项涂黑） 1. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母，又叫形磁铁．下图是物理学中经常使用的形磁铁示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 下列四个命题中，错误的命题是（ ）． A. 四条边都相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（5小题，每道小题3分，共15分） 9. 若，则__________． 10. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 11. 已知点是线段的黄金分割点，且，那么__________． 12. 将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点分别落在坐标轴上，且，则的坐标为_______． 13. 如图，在等腰中，，边上有一点，将沿线段折叠得，线段与边交于点，若，则______． 三、解答题（本题共5小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题6分，第17题8分，第18题11分，第19题12分，第20题10分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）； 15. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若，求k值． 16. 如图①、图②均是的正方形网格，点，，，均在小正方形格点上．在图①②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（不写作法，保留痕迹）． （1）在图①中以点为位似中心、线段为边画一个三角形，使它与位似 （2）在图②中线段上画一个点，使 17. 如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 18. 深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ （3）布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 19. 已知二次函数 （1）写出二次函数的顶点坐标； （2）补充表格中的y值，并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象 x … 0 1 2 3 4 … … … （3）将抛物线．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是___________． （4）①已知函数图象上两点和，若，请直接写出y1与y2的大小关系； ②当时，请直接写出y的取值范围． （5）已知二次函数，当时，其对应的函数值y的最大值为，请直接写出常数的值． 20. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $