湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

高一年级第一学期期中考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 n 要求的) 1.已知集合A=(所有小于10的正偶数)，B=(y|y=2x,x∈A},则A∩B= A.(2,4} B.{4,8 C.(2,4,8} D.(1,2,3,4) 2.命题“3x>0,3x2十2x十1=0”的否定是 A.Hx>0,3x2+2x+1≠0 B./x≤0,3x2+2x+1=0 C.3x≤0,3，x2+2x+1=0 D.3x>0,3x2+2x十1≠0 3.使不等式2x2一5x一3≥0成立的一个充分不必要条件是 如 A.x>≥0 B.x<0或x>2 C.x∈(-1,2,5) D.x<- 或> 刷 4.已知幂函数f(x)=(m2一2m一2)xm在(0，十o∞)上单调递减，则n的值为 长 A.-3 B.3 C.1 D.-1 洲 5.函数f(x)=a-2+3(a>0,a≠1)的图象一定过定点P,则点P的坐标是 A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,4) D.(2,4) 粥 6.已知a=0.304,b=0.4.3,c=0.3.3,则a,b,c的大小关系为 妇 A.a<c<b B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c 製 7.图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象，图(2)(3)是由于目前本条路线亏 损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是 敬 锅 图() 图(2) 图(3) A.图(1)中的点A表示当乘客量为0时，亏损1.5个单位 B.图(1)中的点B表示当乘客量为3时，既不亏损也不盈利 茶 C.图(2)的建议为降低成本同时提高票价 舟 D,图(3)的建议为保持成本同时提高票价 8.已知>0，y>0,设A=十1十4，B=3y十3，设S=max{A,B),则S的最小值为 y A.2√3+2 ®+4 C.6 D.43 高一数学试题(T)第1页（共6页） 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a>b>0,则 A.√aW0 B.ac2>bc2 C6+16 D.1>1 a+la a a-b 10.下列说法正确的是 A.若f(x)min=a,f(x)max=b,则函数f(x)的值域为[a,b] B.函数f(x)=√x十1·√I一x与函数g(x)=√I一x2是同一个函数 C.函数y=f(x)的图象与y轴的交点至多有1个 D.若函数f(x)在区间I1和区间I2上单调递减，那么f(x)在区间I1UI2上就一定单调递减 11.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x+y)=f(x)f(y)十f(x)十f(y)一1，当x>0时，f(x)的 值域为(1，十∞)，且f(1)=3.则下列说法正确的是 A.f(0)=1 B.f(x)的值域为[一1，+∞) C.f(x)在R上单调递增 D.a)≥7得的解集是[0，+∞) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.计算：v3+0.254×(合)“ 13.若函数f(x)=(z1)(x-。 x-b十2 。为奇函数，则= Q 14.若对任意的a∈R,存在b∈[3,4]，使得不等式a2十ab十b2≥2a十mb+3成立，则实数m的取值 范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 函数了=2+2士0的定义域为集合A,集合B=zm=2≤2加业 (1)求A; (2)若AUB=A,求实数m的取值范围. 高一数学试题(T)第2页（共6页） 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=a*十b(a>0且Q≠1)的图象经过点(1,3)，且无限接近直线y=1但又不与该直 线相交. (1)求a,b的值； (②若g()。十6判断8()的单调性并用定义证明. 高一数学试题(T)第3页（共6页） 17.(本小题满分15分) 福利社计划为校园流浪猫建造一座长方体形状的恒温“喵星公寓”：高3米，宽x(x∈[6,10])米， 地面面积为81平方米.该社与施工队斗智斗勇，拿到两种报价方案. 方案一：总报价记为P(2)元，按建造宽度分两种工艺报价.当x∈[6,7)时，P(x)=600z2 4200x十3600；当x∈[7,10]时，四面墙整面铺设“防抓环保板”（门窗均开在板上，按整面墙面 积计价)，按每平方米200元收费，除墙面外其他装修花费21600元. 方案二：施工队为了支持公益活动，给出友情价y=1200m(二十1)(m>0)元. (1)求P(x)的解析式； (2)若对任意的x∈[6,10]，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围. 高一数学试题(T)第4页（共6页） 18.（本小题满分17分) 已知函数) (1)证明：(x)+f()为定值： (2)求函数f(x)的对称中心； (3)记A=f-2026)+f(-2025)+…+f(-2),求f（合)+（号）+…+f(202)的值.（用含 A的代数式表示) 高一数学试题(T)第5页（共6页） 以.（本小题满分17分） 已知函数f(x)=2(x∈R),且f(x)=g(x)十h(x).其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数. (1)当x>0,n∈N时，求证：f(x"十x")≥f(x”-1十x-"); (2)若函数p(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R,都有p[(z)-f(x)一x]=-15 求p(3)的值； (3)是否存在k∈N*,使得[g(x)一][h(x)一k]≤0对x∈（一o,0)恒成立？若存在，求出k的 值；若不存在，请说明理由 高一数学试题(T)第6页（共6页）高一年级第一学期期中考试 数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 2 8 9 10 11 答案 BA 0 D A C AC BC ACD 1.B【解析】集合A={所有小于10的正偶数}=(2,4,6,8}，B={yly=2x,x∈A)=(4,8,12,16), 所以A∩B={4,8}. 2.A【解析】命题“3x>0,3x2+2x十1=0”的否定是“Vx>0,3x2+2x十1≠0”. 3D【解析】由2x2-5x-3≥0，得(2x十1)(x-3)≥0，解得x≤-号或≥3 当≥0时，取x=25,则x{✉≤或≥3，所以≥0p≤-或≥3，所以A错误： 当<0时，取x=-号，则x4{女<-号或≥3}，所以x<0或>2的≤-是或≥3，所以B错误： 当x=2时<-号或>3不成立，所以x(-1,2,5)x≤-号或x≥3，所以C错误： 因为z<-或>3是{红≤-合或≥3}的真子集，所以D正确， 4.D【解析】因为幂函数f(x)=(m2一2m一2)xm, 所以m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3. 又f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以m<0,故m=一1. 5.D【解析】令x-2=0,即x=2,所以y=4,则y=a-2+3过定点(2,4). 6.A【解析】因为函数y=0.3x为R上的减函数，函数y=x,3为R上的增函数， 所以0.304<0.303<0.40.3，所以a<c<五. 7.C【解析】收支差额=车票收入一支出费用，点A的坐标为(0，一1.5)，其含义是当乘客量为0时，亏损1.5个 单位，故A正确； 点B的坐标为(3,0)，其含义是当乘客量为3时，既不亏损也不盈利，故B正确； 图(2)中的直线平移，即票价不变，当乘客量为0时，支出费用减少了，即成本降低，故C错误； 图(3)中，当乘客量为0时，支出不变，但在相同的乘客量时，收入变大，也就是提高票价，故D正确. &.C【解析】限据最大值定义得S≥x十号十4，S23y十品， 两个式子分别乘以是，后相加得S≥（骨z+是）十（锡十子）十3， 由基本不等式得x+是≥号，3十>号周此s2+号+3=6， 当且仅当x=1,y=1时等号成立. 9.AC【解析】因为a>b>0,所以√a>√b,故A正确； 因为c2≥0，所以ac2bc2,与ac2>bc2不相符，故B错误； b+16_abta-ab-ba-b a+1aa(a+1)a(a十1)' 因为a>>0,所以a一0a+1D0,所以z0>0, 则出>0，即>力，故C正确； atl a a+tl-a 1-1=(a-b)-a=-b aa-ba(a-b)a(a-b)’ 因为a>6>0,所以a-b>0,-bK0,所以a(ab<0, 则日。<0，即日品。与>。6不相特，故D错说 高一数学试题参考答案(T)一1 10.BC【解析】区间[a,b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a,b们不一定是值域，故A错误； 函数f(x)=√x+I。√1一x的定义域为 x+1≥0即(x-1≤x≤1)，画数g(x)=-7的定义城为 1-x≥0， {x|一1≤x≤1}，对应关系一致，故是同一个函数，故B正确； 根据函数的概念，若x=0在定义域内，则有且只有一个f(0)与之对应，即函数y=f(x)的图象与y轴的交，点 只有1个，若x=0不在定义域内，则函数y=f(x)的图象与y轴无交点，所以函数y=f(x)的图象与y轴的 交点至多有1个，故C正确； 以f(x)=1为例，f(x)在(-∞，0)，(0，十o∞)上单调递减，但f(x)在(-0,0)U(0,十o0)上非单调递减，故 D错误. 11.ACD《解析】令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0)+f(1)+f(0)-1, 又f(1)=3,所以f(0)=1,故A正确； 令y=-x,得2f(0)=f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)-1=2, 所以)-/号中-1，又当0时>1，则省0时-)> 4 4 则0<1+f(-<2,此时-1<f(x)<1,所以f)的值城为（-1，+∞)，故B错误； Vx1>x2,有x1-x2>0,f(x-x2)>1,所以f(x1)一f(x2)=f(x1-x2十x2)-f(x2） -[f(a-)f(x)+f(a-)+f()-1]-f()=2[f()+1][f✉-x)-1]>0, 即f(x)>f(x2),所以f(x)在R上单调递增，故C正确； 若f≥7得得又-，圆f5》+feff》+f≥ 等价于f(f(x)十x)≥3=f(1),又f(x)在R上单调递增，得f(x)十x≥1=f(0)+0, 由函数y=f(x)十x在R上单调递增，所以x≥0，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.5【解析】v-3+0.25×(后) =3+0.5×4=5. 13.一2【解析】由题意得(x一1)(x一a)≠0，则x≠1且x≠a, 因为f(为奇画数，其定义城关于原点对称，所以a=一1，故fx)=z)十 x-b+2 又f0)=0,即f(0)=0C0千D=6-2=0,所以6=2，则2=-2. 0-b+2 14.(-∞，3]【解析】由a2+ab+b≥2a十mb+3可得a2+(6-2)a+b2-mb-3>≥0， 因为对任意的a∈R,上述关于a的二次不等式恒成立， 所以△=(b-2)2-4(62-mb-3)≤0， 即当b∈[3,4]时，36+(4-4m)b-16≥0有解， 也就是当6∈[3,4幻时，m≤0告+1有解， 由画数单调性的运算性质知，y=6合十1在[3,4幻上单调递增， 所以(6-合+1)=×4-4+1=3，故m≤3. 故实数m的取值范围为（一∞，3]. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)由题意得， 2+x2≥0，解得一2≤x<3, 9-x2>0, 所以A={x-2≤x<3).… …4分 (2)因为AUB=A,所以B二A. …6分 当B=0时，满足B二A,则2m-1<m-2,解得m<一1； …9分 高一数学试题参考答案(T)一2 fm-2≤2m-1, 当B≠0必时，由B二A得m-2≥-2，解得0≤m<2.…12分 2m-1<3, 综上，实数m的取值范围为（一∞，一1）U[0,2).… 13分 16.【解析】(1)因为函数无限接近直线y=1但又不与y=1相交，得b=1.…3分 由函数f(x)=a2十b的图象经过点(1,3)，得a十b=3,得a=2.…6分 (2)g(x)在R上单调递增.…8分 证明：函效g)-2-1-2中的定义城为R 取Hx1,x2∈R,且x1<x2, g)-g)=1-2+-（1-2)F2+2H220+D 1 1 1 241-22 …11分 x1<x2,.25<2,25-22<0,又(23+1)(2+1)>0， …13分 g(x1)一g(x2)<0,即g(1)<g(x2), 故g(x)在R上单调递增.…15分 1.【解析1)由题意可知，公寓的长为未， 所以公高墙面面根为2X3X(红+）=6(+8)平方米， …2分 故当7≤x≤10时，P(）=21600+6X(e+)×20=21600+1200x+9720, …4分 x 600x2+4200x+3600,6≤x<7, 则P(x)= 21600+1200z+97200,7≤x≤10. …6分 (2)由题意得，Vx∈[6,10]，P(x)>1200m(2+1, ①当z∈[6,7)时，600x2+4200x+360>1200m(2+1)恒成立， 即6(x+1)(x+6)>12mx十1， 即m<2(z,62,x∈[6,7)， 2 …8分 又y=工(，62在[6,7)上单调递增，所以当x=6时，y血=36， 2 故36； 10分 @当z∈[7,10]时，2160+120x+97200>1200m(是+1)恒成立， x 即m<1少++1)+64，即m<+1+4十16， …12分 x十1 又)=x+1+4+16≥2√x+10·(路)+16=32， 当且仅当x十1=斜即x=7时取等号， 故m32.… …14分 综上可得，0<m<32. …15分 18.【解析】(1)因为f(x)= x十1’ 1一1 ……3分 x 高一数学试题参考答案(T)一3 @--21异 2 f2-z)+f)=12z于tz子2… 所以函数f(x)的对称中心为(-1,1).…8分 (3)由1得f)+f(）=0, 则f(侵)+f(号）+…+f(2024)=-[f(2)+f3)+f4)++f(2024)1.…1分 又因为f(-2-x)+f(x)=2, 则f(-2)+f(0)=2,f(-3)+f(1)=2,f(-4)+f(2)=2,…,f(-2026)+f(2024)=2, 所以f(-2026)+f(-2025)+…+f(一2)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024) =2X2025=4050.… …14分 所以f(2)+f(3)+…+f(2024)=4050-A-f(0)-f(1), 又f(0)=-1,f(1)=0,所以f(2)+f(3)+…+f(2024)=4051-A. 故f(2）+f(传）+…叶f024)=A-4051…17分 19.【解析】(1)设A=x十x",B=x-1十x1-", 易知f(x)是R上的增函数，要证：f(x十xn)≥f(x1十x-"),只需证明A≥B,…1分 A-B=(x十xn)-(x”-1十x2-")=xn(x2m十1-x2m-1-x) =xn[x(x2m-1-1)-(x2-1-1)]=xn(x-1)(x2m-1-1).…3分 因为x>0,n∈N',则x">0, 当x≥1时，x-1≥0，x2m-1≥12-1=1，x2m-1-1≥0，当且仅当x=1时，等号成立； 4分 当x<1时，x-1<0,x2m-1<12m-1=1,x2m-1-1<0,…5分 综上所述，x-1与x2m-1一1同号，可得A一B>0,所以A>B. 从而f(x”十xn)≥f(x-1十x-n).… …6分 (2②因为对任意x∈R[p()-寸）-]=只，且画教g(在R上是单调函载， 所以p(x)一f(x)一x为常数. 设t=(x)一f(x)一x,所以p(x)=f(x)十x十t=2x十x十t. …7分 所以pLp(x)-fx)-x]=p()=2+2t=-15 4 8分 因为y=2与y=2t在R上单调递增， 所以2+2=一9有唯-解，解得=-2 … …9分 所以p(x)=2+x-2,故(3)=23+3-2=9. …10分 (3)因为g(x)+h(x)=2,① 又g(x)为奇函数，有g(-x)=一g(x),h(x)为偶函数，有h(-x)=h(x). 用一x代替x,可得g(一x)十h(-x)=2x,于是有h(x)一g(x)=2x.②…12分 2h(x)=2+2 联立①和②，解得g(x)=2一2。 …13分 21 国为y=2与y=一（侵》广=一2在（一0,0上单调道增， 所以g6)-22在（一0,0）上单调道增， 所以x∈(-∞，0)时，g(x)<g(0)=0. 故对Vk∈N,x∈（一∞，0）时，>g(x)恒成立，即恒有g(x)一k<0.…14分 若存在∈N*,使得[g(x)一][h(x)一]≤0对x∈(-∞，0)恒成立. 只需x∈（一∞，0)时，h(x)->≥0，即k≤h(x)恒成立.…15分 又xE(-60,0)时，2>0,2>0，由基本不等式可得22>1. …16分 所以k≤1，又∈N”, 所以存在k=1满足题意. …17分 高一数学试题参考答案(T)一4