精品解析：江苏省苏州市虎丘区苏州高新区实验初级中学2026-2027学年第一学期 九年级数学 期中卷

2026~2027学年第一学期期中考试初三数学试卷 注意事项： 1．本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试号等信息填写在答题卡相应的位置上． 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效：如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 4．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列问题中的两个变量是反比例关系的是（ ） A. 长方形的长一定，它的面积与宽的关系 B. 总价一定，单价和数量的关系 C. 等边三角形的面积与边长之间的关系 D. 圆的周长与半径的关系 2. 已知一样本数据，4，5，5，6，m的平均数为5，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 5. 二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，设一元二次方程的根为、，且，则下列说法正确的是（ ） x … … y … … A. B. C. D. 6. 反比例函数y=（k≠0）与二次函数y=x2+kx-k的大致图象是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中每个小正方形的边长为1．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，在矩形中，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（ ） A. 3 B. 7 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一组数据的中位数是6，则的最小值为___________． 10. 已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则，从小到大的关系是___________． 11. 某校举行“青春筑梦，强国有我”主题演讲比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面给选手打分，若依次按50%、40%、10%的比例确定成绩，小颖的三项成绩依次是88分、90分、92分，则小颖的演讲成绩是______分． 12. 一个不透明的口袋中装有4个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为_______． 摸球的总次数a 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数b 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 13. 如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 14. 如图，OABC为菱形，点C在x轴上，点A在直线y=x上，点B在y=（k＞0）的图象上，若S菱形OABC=，则k的值为_____． 15. 二次函数的图象如图所示，边长为的等边顶点在抛物线上滑动．当滑动至抛物线对称轴的右侧，并且落在轴上时，点坐标为___________． 16. 一个盛水容器的截面为抛物线形，如图1中的所示（容器的厚度忽略不计），其中，最大深度，为盛水的水面．把容器绕点缓缓倾斜倒出部分水，当时停止（如图2所示），此时碗中水面宽度为___________． 二、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条．试估计该鱼塘中鱼的数量． 18. 【数据收集】某校为提高学生跳绳能力，准备组织跳绳训练．在组织跳绳训练前抽取了15名男生的1分钟跳绳测试成绩，获得以下按序排列后的数据（单位：次）：108，120，124，125，130，136，142，148，150，154，162，167，169，170，181． 【数据整理】训练一个月后，对这15位男同学又一次进行1分钟的跳绳测试．下图是训练前后跳绳成绩的箱线图． 【数据分析】箱线图中 （1）___________，___________，___________； 【数据应用】 （2）请结合箱线图的信息，评价这一个月的训练效果． 19. 已知反比例函数． （1）在所给平面直角坐标系中画出这个反比例函数图象； （2）当时，的取值范围为___________； （3）当小于时，的取值范围为___________． 20. 如图，在中，，．点从点出发，以1个单位每秒的速度沿运动；同时，点从点出发，以个单位每秒的速度沿运动，设运动时间为．当点到达点时，两点同时停止运动． （1）___________（用含的代数式表示）： （2）运动时间为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 21. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． （1）反比例函数的表达式为___________，一次函数的表达式为___________； （2）已知是反比例函数图象上一点，的面积为___________； （3）结合图象，直接写出不等式的解集为___________． 22. 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口，假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． （1）小明从家到学校，通过第2个路口时遇到红灯的概率是___________； （2）小明从家到学校，通过这3个十字路口时全部遇到绿灯的概率是多少？ 23. 随着科技的不断进步，人工智能一步步走进人们的生活．与此同时，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：分析数据，得到下列表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 人工 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________；___________；___________． （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点． 24. 如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． （1）此抛物线的解析式为： ； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 25. 五一期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随检票时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示（开始检票时，已经有200人在排队），y可视为x的二次函数，且顶点坐标为，其中．景区检票口每分钟可检票50人． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）景区检票口排队等待检票的游客最多时有多少人？ （3）检票到第5分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客500人，为了减少排队等候时间，决定临时增设两个检票口．已知临时新增检票口每个每分钟可检票30人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况？请直接写出结果． 26. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，连接．直线过抛物线顶点且与平行，交抛物线于另一点． （1）求抛物线的解析式： （2）点的坐标为___________，四边形的面积为___________； （3）直线沿轴上下平移（直线与不重合），与抛物线的交点为，（在的右侧），连接，交点为，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 27. 某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 （1）如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 （2）过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； （3）如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试初三数学试卷 注意事项： 1．本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试号等信息填写在答题卡相应的位置上． 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效：如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 4．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列问题中的两个变量是反比例关系的是（ ） A. 长方形的长一定，它的面积与宽的关系 B. 总价一定，单价和数量的关系 C. 等边三角形的面积与边长之间的关系 D. 圆的周长与半径的关系 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. 设长方形长为定值，面积为，宽为，则，与成正比例关系，不符合； B. 设总价为定值，单价为，数量为，则，与成反比例关系，符合； C. 设等边三角形边长为，面积为，则，与不成反比例关系，不符合； D. 设圆的周长为，半径为，则，与成正比例关系，不符合． 2. 已知一样本数据，4，5，5，6，m的平均数为5，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数的计算公式，列方程求解即可． 【详解】解：数据，4，5，5，6，m的平均数为5， ，解得， 则数的值为． 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 4. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图中人数最多的年龄求解即可． 【详解】解：由条形统计图可得：年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人， ∵， ∴年龄为岁的人数最多， ∴这个跳水队运动员的年龄的众数是． 5. 二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，设一元二次方程的根为、，且，则下列说法正确的是（ ） x … … y … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的对称性，即可判断方程两个根的范围． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0． ， 由表中数据可知：在与之间， ∴对应的的值在与之间，即； 和时，， 二次函数图象关于轴对称， ； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质与对称性，用二次函数的值的变化解一元二次方程．关键是观察函数值的变化规律求解． 6. 反比例函数y=（k≠0）与二次函数y=x2+kx-k的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知，当k＞0时，反比例函数的图象在一，三象限，二次函数的图象与y轴的交点在x轴的下方，对称轴在y轴的左侧，故只有B选项符合； 当k＜0时，反比例函数的图象在一二，四象限，二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，对称轴在y轴的右侧，没有选项符合. 故选B. 7. 如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中每个小正方形的边长为1．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由图，设，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，列出方程求出的值，进而求出值即可. 【详解】解：由图象和题意，可设， ∵点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴. 8. 如图，在矩形中，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（ ） A. 3 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当点F在左侧时，过点作交于，交于点，先证明，得到，设，则．，，当点F在左侧时，则，当点F在右侧时，同理可得，由勾股定理得，然后由求二次函数最值的方法，求解即可． 【详解】解：当点F在左侧时，过点作交于，交于点，如图， ∵矩形， ∴，，，，， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， 设，则． ， ，， 则， ， 当时，的最小值为， 当点F在右侧时，过点作交延长线于，交延长线于点，如图， 同理可得， ， 当时，的最小值为， ∵， ∴长的最小值是． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一组数据的中位数是6，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中位数的定义，这组数据共个，为奇数个，中位数是从小到大排列后的第个数，结合中位数为，确定的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：将一组数据从小到大排列后，数据个数为奇数时，中位数是最中间的数，本题共有个数据，因此中位数是排列后的第个数． 已知中位数为，则排列后第个数为． 原数据中小于的数有和共个，若，则小于的数共个，排列后第个数小于，不符合要求． 因此，则的最小值为． 10. 已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则，从小到大的关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将各点坐标代入反比例函数解析式，用恒正的表示，再比较三者大小. 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴各点坐标满足函数解析式，代入得 ，整理得； ，整理得； ，整理得； ∵ ∴ ∵对任意正数，， ∴. 11. 某校举行“青春筑梦，强国有我”主题演讲比赛，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面给选手打分，若依次按50%、40%、10%的比例确定成绩，小颖的三项成绩依次是88分、90分、92分，则小颖的演讲成绩是______分． 【答案】 89.2 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小颖的演讲成绩为：分． 故答案为89.2 12. 一个不透明的口袋中装有4个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为_______． 摸球的总次数a 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数b 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 【答案】16 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2， ∴， 解得：． 经检验是原方程的解， 故答案为：． 13. 如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 14. 如图，OABC为菱形，点C在x轴上，点A在直线y=x上，点B在y=（k＞0）的图象上，若S菱形OABC=，则k的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据直线经过点A，设A(a，a)，再利用勾股定理算出，进而得到，再利用菱形的面积公式计算出a的值，进而得到A点坐标，进而得到B点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数表达式． 【详解】∵直线y=x经过点A， ∴设A(a，a)， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵菱形OABC的面积是， ∴， ∴a=1， ∴， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， 故答案为： 【点睛】考查反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 15. 二次函数的图象如图所示，边长为的等边顶点在抛物线上滑动．当滑动至抛物线对称轴的右侧，并且落在轴上时，点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质以及锐角三角函数求出相关线段的长度，利用二次函数解析式求出点的横坐标，然后根据等边三角形的对称轴求出点坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，且边长为， ∴各边上的高为， 当滑动至抛物线对称轴的右侧，并且落在轴上时，此时点的纵坐标为， ∴当时，， 解得或（舍去）， ∴点的横坐标为， 根据等边三角形的轴对称性可得，点横坐标为， ∴点坐标为． 16. 一个盛水容器的截面为抛物线形，如图1中的所示（容器的厚度忽略不计），其中，最大深度，为盛水的水面．把容器绕点缓缓倾斜倒出部分水，当时停止（如图2所示），此时碗中水面宽度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】以点F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立直角坐标系，再设点E的坐标为，则抛物线的表达式为，则点C的坐标为 ，然后求出抛物线的关系式，再设直线的关系式，联立①②求出，最后根据得出答案． 【详解】解：以点F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立直角坐标系， 设点E的坐标为，则抛物线的表达式为，则点C的坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为． 将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分水，当时停止， ∴当旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的关系式， 将点代入得， 联立①②，得 ， ∴， ∴， 则， 根据题意可知，则． 二、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条．试估计该鱼塘中鱼的数量． 【答案】 估计该鱼塘中鱼的数量为1200条 【解析】 【详解】解：设该鱼塘中鱼的总数为条， ∵带标记的鱼完全混合于鱼群后，样本中带标记鱼的比例近似等于总体中带标记鱼的比例， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解， 答：估计该鱼塘中鱼的数量为1200条. 18. 【数据收集】某校为提高学生跳绳能力，准备组织跳绳训练．在组织跳绳训练前抽取了15名男生的1分钟跳绳测试成绩，获得以下按序排列后的数据（单位：次）：108，120，124，125，130，136，142，148，150，154，162，167，169，170，181． 【数据整理】训练一个月后，对这15位男同学又一次进行1分钟的跳绳测试．下图是训练前后跳绳成绩的箱线图． 【数据分析】箱线图中 （1）___________，___________，___________； 【数据应用】 （2）请结合箱线图的信息，评价这一个月的训练效果． 【答案】（1），，； （2）男生跳绳成绩整体提升，低分学生进步尤为显著，训练效果良好． 【解析】 【分析】箱线图的五个统计量：最小值、、中位数、、最大值．个数据为奇数个，中位数是第个数； 去掉中位数后，前个和后个数据各自的中位数分别就是和．评价训练效果时，逐项对比训练前后的五个统计量，看哪些提高了、提高了多少． 【小问1详解】 解：个数据已排序，中位数为第个数： 去掉中位数后，前个数据为：，，，，，，，中位数为： 后个数据为：，，，，，，，中位数为： 【小问2详解】 解：训练前后对比： 统计量 训练前 训练后 最小值 中位数 最大值 所有统计量均明显提高，说明经过一个月的训练，男生跳绳成绩整体提升，低分学生进步尤为显著（最小值提高了次），训练效果良好． 19. 已知反比例函数． （1）在所给平面直角坐标系中画出这个反比例函数图象； （2）当时，的取值范围为___________； （3）当小于时，的取值范围为___________． 【答案】（1）如图所示： （2）； （3）或． 【解析】 【分析】第问按 “列表→描点→连线” 三步即可画出函数图像； 第问求取值范围时，关键是判断在指定区间内函数的增减性，时在每个象限内随增大而减小，代入端点值即可； 第问注意反比例函数图象分两支，要同时考虑第一象限和第三象限（全部）两种情况，不能只写一支． 【小问1详解】 解：列表 在坐标系中描点，分别在第一、三象限用平滑曲线连接各点，得到双曲线． 图见答案． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，． ，在第三象限内随的增大而减小， 当时， ． 【小问3详解】 解：分两种情况： 当时，，由得，即； 当，，恒成立． 或 20. 如图，在中，，．点从点出发，以1个单位每秒的速度沿运动；同时，点从点出发，以个单位每秒的速度沿运动，设运动时间为．当点到达点时，两点同时停止运动． （1）___________（用含的代数式表示）： （2）运动时间为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）; （2）时，． 【解析】 【分析】先由两条线段的路程与速度分别算出各自到终点的时间，取较短的那个作为自变量的取值范围； 再用含的式子表示两直角边，代入三角形面积公式得到二次函数，最后配方求最值．自变量范围不能漏：题中“到即同时停止”，使的上限是而不是． 【小问1详解】 解：从出发沿运动，速度为单位/秒， ， ∴． 【小问2详解】 解：从出发沿运动，速度为单位/秒， ，且， ∴． 配方：． ∵，∴当时面积取最大值，而在内，符合题意． ∴． 当秒时，的面积最大，最大面积为． 21. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． （1）反比例函数的表达式为___________，一次函数的表达式为___________； （2）已知是反比例函数图象上一点，的面积为___________； （3）结合图象，直接写出不等式的解集为___________． 【答案】（1）反比例函数为；一次函数为； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法：反比例函数只需一个点即可定，一次函数需两个点列方程组定、． （2）采用矩形包围割补法求坐标三角形面积； （3）数形结合：不等式的解集对应“一次函数图象在反比例函数图象下方（含等于）”的范围，先求出两图象的另一交点横坐标，再分与两段读取，注意． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 把、代入： ， 两式相减得， ∴，代入得． ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴． 如图所示：过、、作坐标轴平行线，围成矩形，顶点： 矩形内除去，剩下个直角三角形： 【小问3详解】 解：联立方程： 解得：， 当时，； 当时，； ∴交点坐标为，． 由图象可知，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方（含交点处）， ∴不等式的解集为或． 22. 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口，假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． （1）小明从家到学校，通过第2个路口时遇到红灯的概率是___________； （2）小明从家到学校，通过这3个十字路口时全部遇到绿灯的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据单个路口红灯绿灯等可能的条件，直接计算遇到红灯的概率； （2）列举3个路口所有等可能的通行结果，结合概率公式求解．. 【小问1详解】 解：∵每个路口红灯和绿灯亮的时间相同， ∴通过任意一个路口时，遇到红灯与绿灯的结果是等可能的， ∴通过第2个路口时遇到红灯的概率为； 【小问2详解】 解：∵每个路口红灯和绿灯亮的时间相同， ∴每个路口遇到红灯、绿灯的结果是等可能的， 按第1、2、3个路口的顺序，所有等可能的结果为： （红，红，红）、（红，红，绿）、（红，绿，红）、（红，绿，绿）、 （绿，红，红）、（绿，红，绿）、（绿，绿，红）、（绿，绿，绿）， 共8种， 其中全部遇到绿灯的结果有1种， ∴通过3个十字路口时全部遇到绿灯的概率为． 23. 随着科技的不断进步，人工智能一步步走进人们的生活．与此同时，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：分析数据，得到下列表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 人工 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________；___________；___________． （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点． 【答案】（1），，． （2）次． （3）机器人的优点：平均数高于人工，整体水平更高； 方差远小于人工，成绩更稳定； 优秀率更高，发挥更可靠． 【解析】 【分析】第问先排序再求中位数（偶数个取中间两个平均）、众数（出现最多）、方差（套公式）； 第问用样本优秀率估计总体； 第问从平均数、方差、优秀率三个维度对比机器人和人工，得出机器人"水平高、发挥稳"的结论． 【小问1详解】 解：将机器人成绩从小到大排列：， 中位数（第、个数的平均）：， 众数（出现次数最多）：， 方差（平均数为）： ； 【小问2详解】 解：机器人次中分及以上的有：，，，，，，，共次． 优秀率， （次）； 【小问3详解】 略． 24. 如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． （1）此抛物线的解析式为： ； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】（1） （2）景观射灯与池中心的水平距离为7米 （3）水管要升高米 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； 【小问3详解】 解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 25. 五一期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随检票时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示（开始检票时，已经有200人在排队），y可视为x的二次函数，且顶点坐标为，其中．景区检票口每分钟可检票50人． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）景区检票口排队等待检票的游客最多时有多少人？ （3）检票到第5分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客500人，为了减少排队等候时间，决定临时增设两个检票口．已知临时新增检票口每个每分钟可检票30人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况？请直接写出结果． 【答案】（1） （2）425 （3）增设临时检票口检票15分钟后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再把代入解析式中计算求解即可； （2）第x分钟等待检票的人数为w人，根据，列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况，根据检票m分钟时间后等待检票的游客数为0建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为， 把代入到中得：，解得， ∴y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设第x分钟等待检票的人数为w人， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为425， 答：景区检票口排队等待检票的游客最多时有425人； 【小问3详解】 解：设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：增设临时检票口检票15分钟后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况． 26. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，连接．直线过抛物线顶点且与平行，交抛物线于另一点． （1）求抛物线的解析式： （2）点的坐标为___________，四边形的面积为___________； （3）直线沿轴上下平移（直线与不重合），与抛物线的交点为，（在的右侧），连接，交点为，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2），； （3）点的横坐标是定值，等于． 理由如下：设平移后的直线为（，否则与重合）． 联立与： ，整理得． 由求根公式，． 设、（在右侧，故，），显然，即． 又．由得， ∴．直线过与，其解析式可写作，其中， ∴．直线过与，，， ∴，且， ∴， ∴． 设的横坐标为，令两解析式的相等：， 两边乘以2：， 即， 移项得，即． ∵与不重合，，此时（否则与同在轴上，即为抛物线与轴交点，此时过与，即与重合）， ∴．∴无论取何值（），点的横坐标恒为，是定值． 【解析】 【分析】第问已知两个零点，用交点式比一般式更快，再用常数项定． 第问先由抛物线的对称性求顶点，再根据“平行直线解析式中的系数相同”写出，联立求．四边形两底分别落在与上且两线平行，因此是梯形，用梯形面积公式；高是两平行线间的距离，借助角对应的等腰直角三角形转化，不必用点到直线距离公式． 第问是定值问题．思路是：设出平移后的直线，联立得到一元二次方程，用求根公式写出两根（两根之和为可直接从求根公式看出，不需要韦达定理）；再把、的坐标代回两条直线，解一次方程求交点横坐标，发现被约掉，得到． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、， ∴可设． 与比较常数项：， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：当时， ∴． 对称轴为，把代入得， ∴顶点． 直线过、：从到，横坐标增加、纵坐标增加，故可设为（代入两点均成立）． ∵， ∴的解析式也形如，把代入得， ∴，即． 联立： ，整理得，即， ∴（即顶点）或， 将，代入得， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，与为两底． ，． 梯形的高即两条平行线间的距离：与的解析式分别为、，同一横坐标处两点纵坐标相差4；由于、的系数相同，两线都与水平方向成，这个“竖直差4”正好是一条与两平行线垂直的线段所在等腰直角三角形的斜边，故梯形的高为． ∴． 即． 【小问3详解】 略． 27. 某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 （1）如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 （2）过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； （3）如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）作轴交反比例函数图象于点，根据折叠的性质可得，然后把代入反比例函数解析式即可求出点的坐标． （2）分点在轴正半轴和负半轴两种情况讨论．当点在轴负半轴时，根据折叠的性质先推出点的横坐标关于的表达式，然后由、两点的横坐标求出和的长度表达式，由建立关于的方程求解即可，点在轴正半轴时，情况类似． （3）先根据折叠的性质和三角形面积公式判断出当直线左右平移得到的两条直线正好与“图象”相切时，切点即为所求．然后分别设出两条直线的解析式，根据直线与反比例函数图象相切时只有一个交点，通过函数解析式建立方程由求出值，进而求出点坐标，再由直线直线并结合点坐标求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求得点坐标即可． 【小问1详解】 解：过点作直线的垂线交反比例函数的图象于点，交直线于点． 根据折叠的性质，． ． 把代入反比例函数得． 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，点点坐标为． 当点在轴负半轴时，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． 根据折叠的性质，， ． 把和分别代入得：，． ， ． ， ，解得． 当点在轴正半轴时，如图，点、、、即、、、， 此时，，． ， ，解得． 故或6； 【小问3详解】 解：如图，当直线沿着轴分别向右和向左平移长度单位时，正好与“图象”在直线上、下半部分的图象相切，两条直线分别交轴于、，此时点到直线的距离最大． 根据折叠的性质，直线垂直平分，则． 故此时最大． 根据平移的性质，直线的解析式为：． 直线的解析式为：． 联立直线的解析式和反比例函数得：． 整理得：． 直线与反比例函数的图象相切只有一个交点． ， 即或18． 直线与轴交于点， 令，，则． ，， ． ，解得， 由得． 点坐标为． 设直线的解析式为， 把和平移，使交点正好处于坐标系原点O，直线解析式变成了，直线的解析式变为．在直线和上取点，轴，N为垂足，在x轴负半轴取点，轴交直线于点，如图： 在和中，，，． ∴， ∴， ∴． 则． 由点坐标可得：，则． 直线的解析式为：． 当时，直线的解析式为：， 联立直线和的解析式求解点坐标： ， 解得，． 点坐标为． 故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，、两点坐标分别为、． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形折叠的性质，一元二次方程和二元一次方程组等知识点．根据折叠的性质得出函数图象折叠前后对应点的坐标关系是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $