江苏连云港市灌南县2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026—2027学年度第一学期期中学业质量检测 九年级数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A A B B B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9． 10． 11． 12．50 13．3 14． 15．25% 16． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分8分）（1）解：对原方程移项得， 提取公因式得， 可得或， 解得，． 4分 （2）原方程移项得， ，，，， 原方程的两个实数根为，． 8分 18．（本题满分6分）解方程组： ①×2−②得， 把代入①得， ∴原方程组的解为 6分 19．（本题满分6分）解：， ∴， 2分 ∵是的直径， ∴， 4分 ∴， ∴． 6分 20．（本题满分8分）（1）由题意得： ∴ ∴． 3分 （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 6分 将代入中，则， 解得． 8分 21．（本题满分9分）（1）∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得． 3分 （2）∵反比例函数过点， ∴，解得． 6分 （3）解：由题意知，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴在第一象限内随的增大而减小． ∵， ∴，解得， ∵， ∴的取值范围为． 9分 22．（本题满分9分）（1）如图所示．（答案不唯一） 3分 （2）如图所示．（答案不唯一）， 6分 （3）如图所示．如图，，点F即为所求， 9分 23．（本题满分9分）（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 3分 （2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得， 将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得； 6分 （3）解：当时，； 当时，， ∴该密度计能测量的液体密度的范围为． 9分 24．（本题满分9分）解：（1）垂径定理和勾股定理． 2分 （2）连接OA，设寸，则（）寸 ，尺，∴寸 在中，，即，解得， 6分 寸 7分 （3）， ∴当时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴弦AB所对圆周角的度数为． 同理，优弧AB所对圆周角的度数为． 故答案是：或． 9分 i．（本题满分12分）（1）解：设购进x件I类学生用双肩包，y件II类学生用双肩包， 根据题意得：， 解得：， 答：购进60件I类学生用双肩包，140件II类学生用双肩包； 4分 （2）解：设销售价每件降低m元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ∴，， 6分 ∵让利学生， ∴ 此时，， 8分 答：将销售价定为每件44元时，才能使II类学生用双肩包平均每天销售利润为64元． （3）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为：，其中是单个的加工成本，b是固定的材 料成本． 将，和，分别代入得方程组：， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； 10分 把代入函数表达式：， 整理得，解得．经检验，是原方程的解． 12分 答：应生产5000个双肩包． 26．（本题满分12分）（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， 2分 ∴． ∵点在一次函数上， ∴， ∴． 4分 （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， ∴设， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵在反比例函数上， ∴． 连接，过点作于点，设与轴交于点，如图所示， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 6分 ∴， 8分 （3）解：由第（2）问可知，，， 设沿射线方向平移，得到，的解析式为，在直线上， ， ， 平移时横坐标增加，纵坐标则增加， ， ， 或（舍去）， 10分 ， 12分 27．（本题满分14分）【阅读理解】①证明：在上取一点，使，连接， ∵三角形是等边三角形， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ； 3分 【方法探究】（1）答案为：； 5分 （2）分别以点，为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，则，易知为等边三角形，再分别作，的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，，则点为的费马点，如右图所示：（方法不唯一） 7分 ∵，，，且为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即的费马距离是； 故答案为：； 9分 【问题解决】 将沿点逆时针旋转到， 过作，交的延长线于，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴，，，在同一直线上，即， 设正方形的边长为， ∵，， ∴， 在中，，，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为2． 12分 【知识应用】 答案为：也可写作． 以为边，在下方作等边，设等边外接圆为，连接交于，则由①知此时最短，且最短距离等于的长度，过作交延长线于，如图： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中， ，， ， 在中， ， 故答案为：． 14分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中学业质量检测 九年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1．李老师家冰箱冷冻室的温度现为，调低后的温度值用代数式表示为 A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是 A． B． C． D． 3．已知，是一元二次方程的两个根，则等于 A．12 B．7 C．5 D．3 4．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是 A． B． C． D． 5．如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是 A．2 B．3 C．4 D．6 6．润景北苑为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则至少要多长 A． B． C． D． 7．如图市、是某钢索桥的示意图，桥拱可以近似看作半径为50m的圆弧，桥拱和路面之间用九根钢索相连，每根钢索都垂直于路面且将路面十等分.已知路面长为80m，则最长钢索为 A．10m B．20m C．30m D．40m 8．在平面直角坐标系中，反比例函数和的位置如图所示，为上一动点，矩形与交于，两点，连接，，．针对两名同学的结论，下列判断正确的是 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形OCPD的面积是定值. A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程， 只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．计算：                        . 10．分解因式：                                    . 11．已知反比例函数（k为常数）的图象经过点．则k的值为                        . 12．如图，四边形ABCD是的内接四边形，，则的度数为                        °. 13．如图，在中，若，，则CB的长为                        . 14．反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是                              . 15．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长率保持不变，那么这两年研发投入的平均年增长率为                                    . 16．已知x是实数，则代数式的最大值为                                    . 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解 答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分8分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）. 18．（本题满分6分）解方程组： 19.（本题满分6分）如图，是的直径，是的弦，，求的度数. 20.（本题满分8分）设，是方程的两个不同的实数根. （1）求的取值范围； （2）若，求常数的值. 21.（本题满分9分）已知反比例函数的图象位于第一、三象限. （1）求的取值范围； （2）当反比例函数过点时，求的值. （3）若函数的图象经过第一象限的两点，，且，求的取值范围. 22.（本题满分9分）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，，三点（其中点，，为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的上找一点，使得. （2）在图②中的上找一点，使得平分. （3）在图③中的上找一点，使得. 23.（本题满分9分）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：cm），且液体密度（单位：3）是浸没深度h（单位：cm）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（cm） 17.5 14 10 液体密度ρ（3） m 1 n （1）求出关于h的函数解析式； （2）                  ，                  ； （3）如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 24.（本题满分9分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE寸，AB尺，其中1尺寸，求出直径CD的长． 解题过程如下： 连接OA，设OA=r寸，则寸． ，， 在中，，即，解得r， 任务： （1）上述解题过程运用了                  定理和                  定理． （2）若原题改为已知DE寸，AB尺，请根据上述解题思路，求直径CD的长． （3）若继续往下锯，当锯到AE=OE时，弦AB所对圆周角的度数为                  ． 25.（本题满分12分）某商店看中暑假学生研学需要双肩包的商机，购进一批学生用双肩包进行销售，进货价和销售价如下表（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 I类学生用双肩包 II类学生用双肩包 进货价（元/件） 50 40 销售价（元/件） 65 50 （1）商店用8600元购进I，II类两款双肩包共200件，求两款双肩包分别购进的件数； （2）研学过后，商店老板发现II类学生用双肩包大量积压，于是降价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为让利给学生，将销售价定为每件多少元时，才能使II类学生用双肩包平均每天销售利润为64元？ （3）某箱包厂计划生产一批III类学生用双肩包，已知III类学生用双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个．若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 26.（本题满分12分）如图1，一次函数的图象与轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． （1）                  ；                  ； （2）点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标； （3）将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标． 27.（本题满分14分）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于120°）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以BC为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知，；根据两点间线段最短，我们可以得到线段                        的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，，，的费马距离是                        ； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长； 【知识应用】若三个村庄、、构成，其中，，.现选取一点P打水井，使P点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，则输水管总长度的最小值为                        ．（直接写结果） 学科网（北京）股份有限公司 $