精品解析：辽宁大连市第七十六中学2026-2027学年度第一学期期中质量检测 九年级数学

2026—2027学年度第一学期期中阶段质量检测试卷 九年级数学 （本试卷共23 小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意 ． 2. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数的特征求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 4. 已知 是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 16 B. C. 20 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程中根与系数关系求解． 【详解】解：由根与系数的关系得，，， ∴ ． 5. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 6. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 7. 如图，为直径，弦于点，，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，由，利用垂径定理得，，最后，在中，利用勾股定理得，． 【详解】解：， ． ， ． 在中，． 8. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 9. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：A选项，将代入，得，函数图象不过点，A错误； B选项，， 函数图象位于第二、四象限，B错误； C选项，当时，随的增大而增大，C错误； D选项，当时，，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ，D正确 ． 10. 如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可． 【详解】解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 13. 如图，是以为直径的上一点，点在上，，则_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 14. 如图，四边形是正方形，为上一点，将绕点顺时针旋转至，连接，于点，交于点，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由绕点顺时针旋转至得，，又，所以为的中点，故是线段的垂直平分线，所以，在中，利用勾股定理得，，求出． 【详解】解：如图所示，连接， 设， 四边形是正方形， ， ， 将绕点顺时针旋转至， ，， 又， ， 是线段的垂直平分线， ， 在中，， ， ， ． 15. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为、、、，当时，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，分别求出点的横坐标，利用轴对称性质得出点的横坐标，根据建立关于的方程求解，进而求出的长． 【详解】解：设点的纵坐标为 令，即解得或 ∴， ∴ ∵与关于轴对称 ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 17. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率 （2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 【小问2详解】 解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 18. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． （1）画出和 （2）与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是______； （3）为线段上一点，其线段上的对应点坐标为______． 【答案】（1） 解：如图，和即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据成中心对称的特征和平移规则，进行作图即可； （2）根据成中心对称的特征进行求解即可； （3）利用中点坐标公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，，两线交于点， ∴与关于点成中心对称； 故答案为： 【小问3详解】 设点的对应点为， 则：， ∴； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查成中心对称图形，以及坐标与平移．熟练掌握成中心对称的特点以及平移的性质，是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． （1）求和的值． （2）求的面积． （3）当时，的取值范围是__________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． 【小问2详解】 解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． 【小问3详解】 解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 20. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 21. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点，连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先用证明和全等，推出，利用等腰三角形性质和四边形内角和，算出． （2）连接，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，推出为等边三角形，求出圆心角，代入弧长公式算出弧长为． 【小问1详解】 解：连接． ． ． ． ， ． ， ． 设，． 四边形内角和为， ． ． ． ， ． 【小问2详解】 解：连接． ，是中点，． ． ． ， ， 是等边三角形． ． ． 弧长公式：． ． ． 22. 在等腰中，，点是射线上任意一点，连接． （1）如图1，，过点作于点，交于点，，，求线段的长； （2）如图2，，，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，使得，连接交于点． 求证：； （3）如图3，，，点是线段上的一个动点，连接，，以为边在右侧作等边，在，运动过程中满足．点O为线段中点，求线段长度的最小值． 【答案】（1）4 （2）证明：如图2，在延长线上取一点使得，连接， ∵， ∴， 设， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由旋转可得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等和三角形内角和定理可推出，从而易证，进而可知，最后由勾股定理先求得，进而可求； （2）在延长线上取一点使得，连接，设，利用角度的和差以及三角形外角的性质得到，从而通过证明，得到，然后可证得，进而证得结论； （3）在线段上取点使得，连接、、、、，先根据等边三角形的性质和等边对等角，通过角度的和差推出等角，从而利用证明，得到，；然后易证，推出是等边三角形，得到，从而可知，可由等边对等角和三角形外角的性质得到，进而可知点运动过程中，恒为，最后根据垂线段最短可知当时，线段长度的最小，即可由勾股定理和30度直角三角形的性质先求得，再求得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在线段上取点使得，连接、、、、， ∵，，， ∴是等边三角形，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点运动过程中，恒为， ∴当时，线段长度的最小； ∵点O为线段中点，，， ∴，，， ∴，， ∴中，， ∴， ∴， 即线段长度的最小值为． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为 （1）填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 ____________（） （2）观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内（含分界点）取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． （3）如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你用含的代数式表示，的坐标并判断点，是否为平移前后的一组对应点； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）；解析式：； （2）①或，② （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数顶点式写出顶点，利用平移规律求出解析式和顶点． （2）①观察图象直接读出函数递减对应的范围；②令求出交点横坐标，结合图象确定的取值范围． （3）①把横坐标代入解析式求出坐标，对照平移规则判断二者是平移对应点；②先求出坐标和对称点纵坐标，分三段讨论最高点、最低点，根据列方程求解，检验取值得到三个的值． 【小问1详解】 解：，顶点式顶点． ， 向右平移3个单位，向下平移3个单位得到． ． ． ． 【小问2详解】 解：①观察图象，抛物线下降区间 或时，随增大而减小 ②令． ，（舍去，超出范围）． ， 时，． 观察图像，的取值范围是． 【小问3详解】 解：①，横坐标为． ， ，横坐标为 向右平移3，向下平移3：，正好是． 是平移前后一组对应点． ②横坐标为3，在上． ，． ， 关于直线对称． ． ． 情形一：． 最高点是，． (i)，最低点纵坐标为． ，，即． 化简得，无解． (ii)，最低点是． ． 解得． ． 情形二：，如图（2） 最高点是原点． ， 最低点是， 解得， 情形三：，如图（3） 最高点是原点． 最低点是． 解得． ． 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中阶段质量检测试卷 九年级数学 （本试卷共23 小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 16 B. C. 20 D. 5. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为直径，弦于点，，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 10. 如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 13. 如图，是以为直径的上一点，点在上，，则_________． 14. 如图，四边形是正方形，为上一点，将绕点顺时针旋转至，连接，于点，交于点，若，，则的长为_________． 15. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为、、、，当时，则_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 17. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 18. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． （1）画出和 （2）与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是______； （3）为线段上一点，其线段上的对应点坐标为______． 19. 如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． （1）求和的值． （2）求的面积． （3）当时，的取值范围是__________． 20. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 21. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点，连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 22. 在等腰中，，点是射线上任意一点，连接． （1）如图1，，过点作于点，交于点，，，求线段的长； （2）如图2，，，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，使得，连接交于点． 求证：； （3）如图3，，，点是线段上的一个动点，连接，，以为边在右侧作等边，在，运动过程中满足．点O为线段中点，求线段长度的最小值． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为 （1）填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 ____________（） （2）观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内（含分界点）取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． （3）如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你用含的代数式表示，的坐标并判断点，是否为平移前后的一组对应点； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $