内容正文:
2025-2026学年度第一学期期中阶段性随堂练习
九年级数学
(本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟)
注意:所有试题必须在答题卡上作答,在本试卷上作答无效
第一部分选择题
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 许多数学 符 号 蕴 含 对 称 美.下 列 数 学 符 号 为 中 心 对 称 图 形的是()
A. B. C. ∵ D. ∴
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形,如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念求解即可.
【详解】解:根据中心对称的概念,可知“”不是中心对称图形,“=”是中心对称图形,“∵”和“∴”是轴对称图形.
故选:B.
2. 一元二次方程 的根是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程,通过因式分解求解方程,根据零乘积性质得出根.
【详解】解:∵ ,
∴ ,
∴ 或 ,
即.
故选:C.
3. 如图,中,,,,则与的相似比是( )
A. 3:2 B. 2:3 C. 3:5 D. 5:3
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形的相似比即相似三角形的对应边的比可得出答案.
【详解】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
又AD=3,DB=2,
故选C.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质问题,对于一些基础问题,能够熟练掌握.
4. 下列函数中是反比例函数的是( )
A. y= B. y=﹣ C. y=x2 D. y=
【答案】B
【解析】
【分析】此题应根据反比例函数的定义进行判断,反比例函数的一般形式是(k≠0).
【详解】A、该函数属于正比例函数,故本选项错误;
B、该函数属于反比例函数,故本选项正确;
C、该函数属于二次函数,故本选项错误;
D、该函数是y与x+1成反比例函数关系,故本选项错误;
故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数的定义.判断一个函数是否是反比例函数,首先看看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的意义去判断,其形式为(k为常数,k≠0)或y=kx﹣1(k为常数,k≠0).
5. 如图,顶点的坐标为,以原点为位似中心,在第一象限内将缩小得到,使与对应边的比为,则点的对出点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换中对应点的坐标的变化规律,根据位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于或,直接求解即可得到答案;
【详解】解:∵与对应边的比为,顶点的坐标为,在第一象限内,
∴,
故选:B.
6. 将抛物线向左平移1个单位,再向下平移1个单位后的抛物线解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移,熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键;根据抛物线平移规则“左加右减,上加下减”进行变换,然后问题可求解.
【详解】解:将抛物线向左平移1个单位,再向下平移1个单位后的抛物线解析式是;
故选C.
7. 两年前生产1t某种药品的成本是元,随着生产技术的进步,现在生产该种药品的成本是元.求该药品成本的年平均下降率.设该药品成本的年平均下降率为,则可列方程得( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用,根据年平均下降率的定义,现在的成本是两年前成本乘以直接求解即可得到答案
【详解】解:设年平均下降率为x,由题意可得,
,
故选:A.
8. 已知甲、乙两地相距s(单位:km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(单位:h)关于行驶速度v(单位:km/h)的函数图象是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据实际意义,写出函数的解析式,根据函数的类型,以及自变量的取值范围即可进行判断.
【详解】解:根据题意有:v•t=s,
∴,
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象,
且根据实际意义v>0、t>0,
∴其图像在第一象限,故C正确.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用实际意义确定其所在的象限.
9. 如图,在和中,,,,和分别是边和上的高,若,,则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质,根据,得到,结合得到,根据,即可得到,,即可得到,即可判断选项;
【详解】解:∵,,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,,,
故选D.
10. 以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度(单位:)与飞行时间(单位:)之间具有函数关系,下列说法正确的是( )
A. 小球飞行的高度不能达到 B. 小球飞行的高度不能达到
C. 小球飞行的高度不能达到 D. 小球从飞出到落地要用
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用,通过解方程判断高度是否可达及落地时间,注意判别式的使用,通过求解二次方程验证各选项:对于高度选项,解方程等于给定值,判断是否有实数解,对于落地时间,解,求出结果即可判断
【详解】解:A、,令,,解得:或,有实数解,故高度可达,A错误,不符合题意;
B、令 ,,解得:,有实数解,故高度可达,B错误,不符合题意;
C、令 ,,即,,无实数解,故高度不能达到,C正确,符合题意;
D、令 ,,解得:或 ,落地时间为,不是,故D错误,不符合题意,
故选:C
第二部分非选择题
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共16分)
11. 抛物线的顶点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线顶点式的性质,根据顶点式的顶点为直接求解即可得到答案.
【详解】解:∵,
∴抛物线的顶点坐标为:,
故答案为:
12. 如图,把以点为中心逆时针旋转得到,若,则___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质,根据旋转得到,结合即可得到答案;
【详解】解:∵以点为中心逆时针旋转得到,
∴,
∵,
∴,
故答案为:.
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.利用判别式的意义得到,然后解不等式即可.
【详解】解:∵一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴,
解得,.
故答案为:.
14. 如图,小明利用影长测量学校旗杆的高度,先测出小明身高,他的影长,再测出旗杆落到地面上的影长,则旗杆的高度为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了平行投影,根据同一时刻,同一地点,物高与影长的比值一定可得,据此代值计算即可.
【详解】解:由题意得,,
∴,
∴,
故答案为:8.
15. 下表是8个面积相等的矩形的长与宽.
长
1
2
3
4
5
宽
2
1
设为这8个矩形的公共角,画出这8个矩形,然后取的8个对角的顶点,并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来.设矩形的长为(单位:),宽为(单位:),则这条曲线对应的函数表达式为___________.(不用写自变量的取值范围)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数实际应用,解题的关键是根据矩形面积相等得出长和宽的反比例关系,进而确定函数表达式.
根据矩形面积相等,长与宽满足反比例关系,由表中数据求面积后确定函数表达式.
【详解】解:设矩形面积为S,则,由表可知,当时,,代入得,因此,即,
故曲线对应的函数表达式为.
故答案为:.
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16. 解下列方程
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查配方法解一元二次方程及求根公式法解一元二次方程:
(1)配方,两边直接开平方即可得到答案;
(2)定系数,算判别式,最后代入求根公式求解即可得到答案;
【小问1详解】
解:配方得,
,
两边开平方得,
,
∴;
【小问2详解】
解:由题意可得,
∴,
方程有两个不相等的实数根,
,
∴
17. 在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,,.
(1)如图1,请画出关于原点对称的图形,并直接写出各顶点的坐标,___________,___________,___________;
(2)如图2,若将点绕点顺时针旋转得到点,请在图中画出点,并直接写出点的坐标为___________.
【答案】(1)见解析,;
(2)见解析,
【解析】
【分析】本题考查了坐标平面内图形的变换:中心对称,旋转:
(1)作出点A,B,C关于原点对称的对应点,即可求解;
(2)根据旋转的性质作出点,即可求解.
【小问1详解】
解:如图,即为所求;
;
故答案为:
【小问2详解】
解:如图,即所求,
∵将点绕点顺时针旋转得到点,,
∴.
故答案为:
18. 要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
【答案】应邀请6个球队参加比赛.
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,设应邀请x个球队参加比赛,利用所有队数乘以队数减一的差得到所有数量,结合单循环除以二即可得到答案;
【详解】解:设应邀请x个球队参加比赛,由题意可得,
,
解得,(不符合题意,舍去),
答:应邀请6个球队参加比赛.
19. 如图,AD是Rt△ABC斜边上的高,若AB=4cm,BC=10cm,求BD的长.
【答案】1.6.
【解析】
【分析】先判断Rt△ABC∽Rt△DBA,再根据相似的性质对应边成比例,得到=,进而代入数据求出BD
【详解】解:∵在Rt△ABC与Rt△DBA中∠ADB=∠BAC, ∠B=∠B
∴Rt△ABC∽Rt△DBA
∴=
∴AB2=BD•BC,
则==1.6.
【点睛】本题考查的是相似的判定以及相似的性质,发现本题中得相似并利用性质列出比例式是解决本题的关键
20. 如图,取一根长的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来.在中点的左侧与中点距离处挂一个重的物体,在中点右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,改变弹簧秤与中点的距离(单位:),看弹簧秤的示数(单位:)有什么变化.
第一步,实验测量.
改变弹簧秤与中点的距离,观察弹簧秤示数的值,并做好记录(共记录了7组数据).
第二步,整理数据.
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
...
5
10
14
20
25
35
40
...
...
49
24.5
17.5
12.25
9.8
a
6.125
...
第三步,描点连线.
以的数值为横坐标,对应的数值为纵坐标,在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点,并用平滑的曲线顺次连接这些点.
请你根据以上探究过程,完成下列问题:
(1)完成第三步,在平面直角坐标系中直接画出这条平滑的曲线;
(2)观察这条曲线,猜想符合学过的哪种函数图象,求出关于的函数表达式及的值;
(3)如果弹簧秤与中点的距离不能超过,那么弹簧秤的示数应在什么范围?
【答案】(1)见解析 (2)这条曲线符合反比例函数图象,关于的函数表达式为,
(3)大于等于
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用,熟练掌握运用反比例函数的性质是解题关键.
(1)利用描点法画对应的曲线即可;
(2)根据表格数据,可发现与F的乘积为定值245,则该曲线为反比例函数图象,再计算a的值即可;
(3)求出时,的值,再根据反比例函数的增减性求解即可.
【小问1详解】
解:如图所示,即为所求;
【小问2详解】
解;由表格中的数据可得是一个定值,
∴这条曲线符合反比例函数图象,
∴关于的函数表达式为,
中,当时,,
∴;
【小问3详解】
解:在中,当时,,
∵,
∴F随L的增大而减小,
∴如果弹簧秤与中点的距离不能超过,那么弹簧秤的示数应满足大于等于.
21. 【活动初探】
观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10),你能用二次函数的知识说明其中哪个积最大吗?
(1)小明的解法如下,请你帮他将下面的解题过程补充完整:
解:设两个两位数的积为,其中一个乘数的个位上的数为,
则另一个乘数个位上的数为,
根据题意,得:,
配方后得到二次函数顶点式为___________.
___________,
当___________时,有最大值.
___________的积最大.
【类比深探】
观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是6,十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个积设大.
(2)请猜想其中哪个积极大,并类比小明的解法运用二次函数的知识说明理由.
【答案】(1),,5,;(2)猜想的积最大,见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题,正确理解题意是解题的关键.
(1)利用配方法得到,再根据二次系数小于0得到当时,有最大值,则的积最大;
(2)设两个三位数的积为,其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为,则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为,可求出,据此由二次函数的性质可得答案.
【详解】解:(1)
,
∵,
∴当时,有最大值,
∴的积最大;
(2)猜想:的积最大,理由如下:
设两个三位数积为,其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为,则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为,
根据题意,得
,
当时,有最大值.
的积最大.
22. 在中,,将绕点逆时针旋转得到.
(1)如图,当点恰好落在的平行线上时,连接,取的中点,连接.
①求证:是等腰直角三角形;
②请直接写出,与的数量关系________________.
(2)如图,若.
①当点恰好落在的中线的延长线上时,求的长;
②当所在直线经过中点,且与的平行线交于点时,请在图中补全图形,求的面积.
【答案】(1)①证明见解析;②
(2)①;②
【解析】
【分析】()①由旋转的性质得,,由平行线的性质得,进而得到,即得,即可求证;②由旋转可得,,即得,进而由等腰直角三角形的性质得,又由直角三角形的性质得,即得,即得到,即可求解;
()①由勾股定理得,由直角三角形的性质得,再证明,得到,即得到,进而根据线段的和差关系即可求解;②连接,可证,得到,,由直角三角形的性质得,利用平行线的性质可证,即得到,再根据勾股定理得到,可得,最后根据三角形的面积公式计算即可求解.
【小问1详解】
①证明:∵将绕点逆时针旋转得到,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
即,
∵,
∴是等腰直角三角形;
②由旋转可得,,,
∴,
∵是等腰直角三角形,
∴,
∵点是的中点,
∴,
∴,
即,
∴,
故答案为:;
【小问2详解】
①∵,,
∴,
∵是的中线,
∴,
∴,
由旋转得,,
∴,
∴,
∴,
即,
∴,
∴;
②如图,连接,
∵将绕点逆时针旋转得到,
∴,,
∵,
∴,
∴,,
∵为中点,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
在中,,,
∵,
∴ ,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了旋转的性质,平行线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,正确画出图形并作出辅助线是解题的关键.
23. 如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于点和,与轴交于点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图2,顶点为,点,连接,,,求证:;
(3)当时,的取值范围是,且,求的值;
(4)已知直线,且与抛物线交于,两点(点在点左侧).当直线在直线下方运动时,作直线与直线交于点,在直线运动的过程中,点的横坐标是否是一个定值,若是,请直接写出点的横坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1)
(2)见解析 (3)
(4)在直线运动的过程中,点的横坐标是一个定值,为
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
(2)过点D作轴于M,交于N,求出,则可求出直线解析式为;再求出,得到,则可证明,进而可证明,得到;求出,可证明,得到,则;
(3)求出当时,,当时,;当时,在满足的条件下,函数的最小值为,最大值为,当时,在满足的条件下,函数的最小值为,函数的最大值为,据此建立方程讨论求解即可;
(4)求出直线的解析式为;设直线的解析式为,联立得;设,,则可求出;求出直线的解析式为,直线的解析式为,联立,求出点H的横坐标即可得到结论.
【小问1详解】
解:∵二次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,
∴,
∴,
∴抛物线解析式为;
【小问2详解】
证明:如图所示,过点D作轴于M,交于N,
在中,当时,,
解得或,
∴;
设直线解析式为,
∴,
∴,
∴直线解析式为;
∵抛物线解析式为,
∴,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴;
在中,当时,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
【小问3详解】
解:∵抛物线解析式为,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为;
在中,当时,,
当时,;
∵,
∴当时,在满足的条件下,函数的最小值为,最大值为,
∴,
解得(舍去)或(舍去);
当时,在满足的条件下,函数的最小值为,且,
∴函数的最大值为,
∴,
解得或(舍去);
综上所述,;
【小问4详解】
解:设直线的解析式为,
∴,
∴,
∴直线的解析式为;
∵,
∴可设直线的解析式为,
联立得;
设,,
∴,即
设直线的解析式为,
∴,
∴,
∴直线的解析式为,
同理可得直线的解析式为,
联立得,
解得,
∴点H的横坐标为,
∴在直线运动的过程中,点的横坐标是一个定值,为.
【点睛】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,等腰三角形的性质与判定,勾股定理等等,利用分类讨论的思想和数形结合的思想求解是解题的关键.
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2025-2026学年度第一学期期中阶段性随堂练习
九年级数学
(本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟)
注意:所有试题必须在答题卡上作答,在本试卷上作答无效
第一部分选择题
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 许多数学 符 号 蕴 含 对 称 美.下 列 数 学 符 号 为 中 心 对 称 图 形的是()
A. B. C. ∵ D. ∴
2. 一元二次方程 的根是( )
A. B.
C. D.
3. 如图,中,,,,则与相似比是( )
A. 3:2 B. 2:3 C. 3:5 D. 5:3
4. 下列函数中是反比例函数的是( )
A. y= B. y=﹣ C. y=x2 D. y=
5. 如图,顶点的坐标为,以原点为位似中心,在第一象限内将缩小得到,使与对应边的比为,则点的对出点的坐标为( )
A. B. C. D.
6. 将抛物线向左平移1个单位,再向下平移1个单位后的抛物线解析式是( )
A. B.
C. D.
7. 两年前生产1t某种药品的成本是元,随着生产技术的进步,现在生产该种药品的成本是元.求该药品成本的年平均下降率.设该药品成本的年平均下降率为,则可列方程得( )
A B.
C. D.
8. 已知甲、乙两地相距s(单位:km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(单位:h)关于行驶速度v(单位:km/h)的函数图象是( )
A. B. C. D.
9. 如图,在和中,,,,和分别是边和上的高,若,,则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
10. 以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度(单位:)与飞行时间(单位:)之间具有函数关系,下列说法正确的是( )
A. 小球飞行的高度不能达到 B. 小球飞行的高度不能达到
C. 小球飞行的高度不能达到 D. 小球从飞出到落地要用
第二部分非选择题
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共16分)
11. 抛物线的顶点坐标为___________.
12. 如图,把以点为中心逆时针旋转得到,若,则___________.
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是______.
14. 如图,小明利用影长测量学校旗杆的高度,先测出小明身高,他的影长,再测出旗杆落到地面上的影长,则旗杆的高度为___________.
15. 下表是8个面积相等的矩形的长与宽.
长
1
2
3
4
5
宽
2
1
设为这8个矩形的公共角,画出这8个矩形,然后取的8个对角的顶点,并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来.设矩形的长为(单位:),宽为(单位:),则这条曲线对应的函数表达式为___________.(不用写自变量的取值范围)
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16. 解下列方程
(1);
(2).
17. 在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,,.
(1)如图1,请画出关于原点对称的图形,并直接写出各顶点的坐标,___________,___________,___________;
(2)如图2,若将点绕点顺时针旋转得到点,请在图中画出点,并直接写出点坐标为___________.
18. 要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
19. 如图,AD是Rt△ABC斜边上的高,若AB=4cm,BC=10cm,求BD的长.
20. 如图,取一根长的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来.在中点的左侧与中点距离处挂一个重的物体,在中点右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,改变弹簧秤与中点的距离(单位:),看弹簧秤的示数(单位:)有什么变化.
第一步,实验测量.
改变弹簧秤与中点的距离,观察弹簧秤示数的值,并做好记录(共记录了7组数据).
第二步,整理数据.
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
...
5
10
14
20
25
35
40
...
...
49
24.5
17.5
1225
9.8
a
6.125
...
第三步,描点连线.
以的数值为横坐标,对应的数值为纵坐标,在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点,并用平滑的曲线顺次连接这些点.
请你根据以上探究过程,完成下列问题:
(1)完成第三步,在平面直角坐标系中直接画出这条平滑的曲线;
(2)观察这条曲线,猜想符合学过的哪种函数图象,求出关于的函数表达式及的值;
(3)如果弹簧秤与中点的距离不能超过,那么弹簧秤的示数应在什么范围?
21. 【活动初探】
观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10),你能用二次函数的知识说明其中哪个积最大吗?
(1)小明的解法如下,请你帮他将下面的解题过程补充完整:
解:设两个两位数的积为,其中一个乘数的个位上的数为,
则另一个乘数个位上的数为,
根据题意,得:,
配方后得到二次函数顶点式为___________.
___________,
当___________时,有最大值.
___________的积最大.
【类比深探】
观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是6,十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个积设大.
(2)请猜想其中哪个积极大,并类比小明的解法运用二次函数的知识说明理由.
22. 在中,,将绕点逆时针旋转得到.
(1)如图,当点恰好落在的平行线上时,连接,取的中点,连接.
①求证:是等腰直角三角形;
②请直接写出,与的数量关系________________.
(2)如图,若.
①当点恰好落在的中线的延长线上时,求的长;
②当所在直线经过中点,且与的平行线交于点时,请在图中补全图形,求的面积.
23. 如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于点和,与轴交于点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图2,顶点,点,连接,,,求证:;
(3)当时,的取值范围是,且,求的值;
(4)已知直线,且与抛物线交于,两点(点在点的左侧).当直线在直线下方运动时,作直线与直线交于点,在直线运动的过程中,点的横坐标是否是一个定值,若是,请直接写出点的横坐标;若不是,请说明理由.
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