广东省江门市培英高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

培英高级中学2026-2027学年度高二第一学期期中考试 数学试卷评分标准 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李馨 审题人：孔卫华 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】A  【解析】设，，，，的平均数为，则，  方差为，则， 即， ， 所以，，，，的平均数为 ， ，，，，的方差为 ，故选： 2.【答案】C  解：必然事件为：都是白球，1个白球和1个红球，都是红球， A：至少有1个白球包含1个白球1个红球和都是白球，故A不对， B：至少有1个红球包含1个白球1个红球和都是红球，故B不对， C：摸出1个白球1个红球发生时，摸出2个白球不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对， D：摸出1个白球1个红球和摸出2个白球或摸出2个红球，是对立事件，故D不对， 3.【答案】D  【解析】解：由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是 4.【答案】A  解：四个区的总摊位数为，所以样本容量为 所以此样本中A区抽出摊位数为，根据A区食品摊位的比为， 所以A区抽取的食品摊位数为 5.【答案】B  解：将甲，乙分别记为x，y，另2名同学分别记为a，b， 设“甲，乙只有一人被选中”为事件A， 则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有，，，，，，共6种， 其中事件A包含的可能情况有，，，，共4种， 所以 6.【答案】A  解：直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即点P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为 7.【答案】D  【解析】解：由题意可得与同向的单位向量， 则点M到直线l的距离 8.【答案】C  解：设关于直线的对称点为， 则，解得， 由对称性可得， 圆，圆心，半径为2， 则，当且仅当P，C，三点共线时等号成立， 由于，， ， 即的最大值为 9.【答案】AB  【解析】解：极差为，故A正确; 平均数为，故B正确; 标准差为， 故C错误; 因为， 所以第80百分位数为8，故D错误. 10.【答案】BCD  【解析】A选项：当时，直线与直线斜率分别为1，，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故A错误选项：由直线平行得，故B正确；C选项：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故C正确选项：如图，由，，结合图像知，故D正确.故答案选： 11.【答案】ABD  【解析】解：A项，如图，连接， ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形， ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1， 点P在线段上运动，则可设， 则， C项，，， 所以， ， 因为，则，， ⟨⟩，因为异面直线AP与所成角为锐角或直角， 故AP与所成角的取值范围为，故C错误； D项，，， 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值为 ， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 12.【答案】  解：事件 A 与 B 相互独立，则  ， 由并事件的概率公式   13.【答案】或  【解答】解：圆心坐标为，半径为1， 点在圆外， 当直线斜率k不存在时， 直线方程为，圆心到直线的距离为1，满足相切． 若直线斜率存在，设为k， 则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径1， 即， 解得，此时直线方程为， 综上切线方程为或， 14.【答案】  【解析】解：因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为 故答案为： 15.【答案】解：因为，……………….1分 所以 ……………….2分 ， ………………3分 因为向量与垂直， 所以， ……………….4分 即， ……………….6分 即，解得， 所以实数k的值为 ……………….7分 因为向量与向量共面， 所以， ……………….9分 因为， ……………….10分 ，所以， 所以实数x的值为 ……………….13分  16.【答案】解： ， ……………….3分 所以 ……………….4分 ， 故 ………………7分 ， ……………….10分 所以，， ……………….13分 设直线AO与CB所成角的大小为， 则， ……………….15分  17.【答案】解：设  ，  ，由中点坐标公式可得：  ，解得：  ……………….3分 由于点 P 在圆  上，所以：  ， 代入可得：  ……………….5分 化简可得点 Q 的轨迹方程为：  ． ……………….7分 当 k 不存在时，直线 l 的方程为  ．此时圆心 Q 到直线 l 的距离为  所以：  满足条件． ……………….10分 当 k 存在时，直线 l 的方程为  ，设圆心 Q 到直线 l 的距离为 d 则  ，所以：  而 Q 到直线 l 的距离为  ，解得：  此时直线 l 方程为：  ． ……………….14分 综上：满足条件的直线 l 的方程为：  或  ． ……………….15分  18.【答案】Ⅰ证明：因为底面ABCD是菱形，， 所以O为AC，BD中点， 又因为，， 所以，， 且，AC、底面ABCD， 所以底面ABCD； 5分 （缺少相交条件，扣 1 分） Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得， ……………….6分 又由Ⅰ可知， 如图，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 由是边长为2的等边三角形，， 可得 所以 ……………….8分 所以，，， 由已知可得， 设平面BDF的法向量为， 则即， 令，则，所以可取， ……………….11分 因为， 所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为， 所以直线CP与平面BDF所成角的大小为； ……………….13分 Ⅲ解：设， 则 ， ……………….15分 若使平面BDF，仅需且平面BDF， 即，解得， 所以在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，此时 …….17分 19.【答案】解：由频率分布直方图得，，解得， ……………….2分 估计高一年级初赛成绩的平均成绩为： 分， ………………. 4分 所以，平均成绩为分； 由知，成绩在的频率之比为， ………………5分 则在中随机抽取了人，记为a，b， 在中随机抽取了人，记为c，d，e， 从5人中随机抽取2人的样本空间，共10个样本点. ……………….7分 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点，因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率为； ………………10分 若首场甲、乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为 ②甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，概率为 ③甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为， 所以最终甲获胜的概率为……………….12分 若首场甲、丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为 ②甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，概率为 ③甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为， 所以最终甲获胜的概率为……………….14分 若首场乙、丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为 ②乙、丙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为 所以最终甲获胜的概率为 ……………….16分 因为， 所以首场由甲、乙比赛才能使甲获胜的概率最大. ……………….17分 第10页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $培英高级中学2026-2027学年度高二第一学期期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 命题人：李攀审题人：孔卫华 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若样本劣，2,5，…，x的平均数为10，方差为20，则样本3x-2,3x2-2, 3x3-2,…,3xn-2的平均数和方差分别为() A.平均数为28，方差为180 B.平均数为28，方差为60 C.平均数为30，方差为180 D.平均数为30，方差为60 2.在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个 红球”互斥而不对立的事件是() A.至少摸出1个白球 B.至少摸出1个红球 C.摸出2个白球 D.摸出2个白球或摸出2个红球 3.已知空间向量ā=(1，-2,1)，=(-1,0，-1)，则向量i在向量ā上的投影向量是() A传 4.地摊经济既体现了一座城市烟火气，也是城市综合治理能力与治理水平的一个刻度与 窗口。如图1、图2分别表示某市各区的地摊的摊位数和食品摊位比例，现用分层抽样的 方法抽取5%的摊位进行调查，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为 食品推位比例 A区， 0.6 0.48 A.210,24 B.420,24 D区， 1000 1400 0.4 B驱， C.210,48 D.420,48 C, 800 1000 A区B区C区D区 图1 图2 5.从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被 选中的概率为() 人 C.2 D 第1页，共4页 可一干级政治学老 6.已知圆C:(x-3)2+y-4)2=9,直线：mx+y-2m-3=0.则直线1被圆C截得的 弦长的最小值为() A.2√万 B.√10 C.2W2 D.√6 7.在空间直角坐标系中，直线1经过点P(2,-1,-2),且其方向向量=(1,2，-)，则点 M0,0,-2)到直线1的距离为() A.5 B.6 C.3 D.66 6 8.已知点P为直线y=x+1上的一点，M,N分别为圆C:(x-4)2+(y-1)2=4与圆 C:×+0-2P-号上的点，则PM-PN的最大值为() A.4 D.7 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知一组样本数据如下：2,3,4,5,7,7,8,12，则该组数据的() A.极差为10 B.平均数为6 C.标准差为9D.第80百分位数为7.5 10.下列说法正确的是() A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-)y-2=0互相垂直”的充要条件 B.“a=-2”是“直线+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要条件 C直线xsina+y+2=0的倾斜角9的取值范围是0，平U[纤，) 37π D.若点A(1,0),B(0,2),直线1过点P(2,I)且与线段AB相交，则1的斜率k的取值范围 是1 11.在正方体ABCD-ABC,D中，点P在线段BC上运动， B 则下列结论正确的是() A A.直线BD⊥平面A,C,D B.三棱锥P-ACD的体积为定值 C.异面直线AP与AD所成角的取值范围是 D.直线CP与平面4GD所成角的正弦值的最大值为y6 第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知事件A与B相互独立，且P(A)=0.8,P(B)=0.6,则P(AUB)= 13.已知圆x2+y2=1和圆外一点P1,2),过点P作圆的切线，则切线方程为 14.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为NABC的重心， 丽-号Pc,D=a,P匝=P丽，1，μ∈(0，)若PG交平面 DEP于点从且m=PG,则入+μ的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2). (①)当|=2V2时，若向量a+b与c垂直，求实数x和k的值； (2)若向量c与向量a,共面，求实数x的值， 16.(本小题15分)如图，平行六面体ABCD-AB,CD,的所有棱长均为2，四边形ABCD 是正方形，44D=∠4B=号点O是BC与BC的交点 (①)求1A0 (②)求直线AO与CB所成角的余弦值. B 17.（本小题15分)已知圆0：x2+y2=4及点M(4,0),动点P在圆0上运动，线段MP 的中点为2 )求点Q的轨迹方程； (②过点（弓，-2）作直线1与Q的轨迹交于4，B两点，满足|B非厅，求直线1的方程 第3页，共4页 18.（本小题17分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形， AC∩BD=O,APAC是边长为2的等边三角形， PB=PD=6,AP=4AF. (I)求证：PO⊥底面ABCD: (I)求直线CP与平面BDF所成角的大小： (Ⅲ)在线段PB上是否存在一点M,使得CM∥平面 BM BDF?如果存在，求 的值，如果不存在，请说明理由 BP 19.（本小题17分)某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个 阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩， 将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，制成了频率分布直方图，如 图 个频率阻距 0.035 0.030 9 0.010 0.005 5060708090100成鲼/分 ()求频率分布直方图中α的值，并估计高一年级初赛的平均成绩.（同一组中的数据用该 组区间的中点值代替)》 (2)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从[60,70)和[70,80)两组中随机抽取了5名学 生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成缋在[60,70)的概率， (③)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场 比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局）， 2 先赢两场者获胜，比襄随即结束己知每场比赛甲胜乙的枫率为写，甲胜丙的概率为？ 乙胜丙的概率为；，每场比赛相互独立请通过计算说明哪两人参加首场此赛甲获胜的概 率最大 第4页，共4页