广东湛江市三校2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题

湛江市2026年秋季学期三校联考高二 级数学试卷参考答案与详细解析 一、单项选择题（每题5分，共40分） 第1题 答案：B 2i。2i1+i)=2i+21=-2+21=-1+i 1-i(1-i)(1+i)2 2 第2题 答案：B 圆方程：x+y2-2x-2y-2=0→(x-12+(y-12=4,圆心C(1,1),半径r=2。 弦长1AB1=23,半弦长=3，圆心到直线距离d=√r2-(3=1。 直线过0,3： ①斜率不存在：x=0,圆心(1,1到x=0距离为1，满足： ②斜率存在：设y=+3,x-y+3=0 a-lk=1-k*2-+1-k=- Vk2+1 直线：y=-3x+3→3x+4y-12=0 综上：x=0或3x+4y-12=0 第3题 答案：C 1:2x-y+3=0,斜率k=2:垂直则k,=-克：过41y-1=-x-4)x+2y-6=0 则原点到直线距离：d=10+0~6=6、65 12+229V/55 第4题 答案：A 四点共面条件：OM=xOA+yOB-OC,系数和为1 x+y-1=1→x+y=2,x>0,y>0 是号装*川+兴*斗5网-号 x y 2x y 等号之x+y=2可取.最小值2 第5题 答案：C f(x)=2lnx+x-2,在(0，+oo)单调递增 f(1)=0+1-2=-1<0,f2)=2ln2+2-2=2ln2>0 零点在(1,2 第6题 答案：B 【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2), 2+1 将直线方程与椭圆方程联立 +y a2t61 消去x得(4b2+a)y2-8b2y+4b2-a2b2=0 8b2 则y1+y2= 4b2+a2 因为AB的中点为M-1,引所以=解行4=d 2故透：B 第7题 答案：C A:ACB,A U B=B.P(A UB)=P(B)=0.5 B:独立，P(AB)=P(A)P(B)=0.2×0.5=0.1√ C:独立，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.6≠0.7X D:互斥，P(AUB)=0.2+0.5=0.7√ 第8题 答案：C 【解析1因为(x=,2b是定义域为R的奇函数 2x*1+a 所以f10)=1也=0，所以b=1,所以x=2+1 2+a 2x+1+a 因此f-x=二2+1=2-1 2+a-2+2fx)=,21 Γ2x+1+a 即f(-x)=-fx),所以a=2。 因为f(x)+f(x-a)>0,所以f(x2)>-f(x-2)=f(-x+2)。 又fx=气2-号·-+，1是减函数 2*+1+222*+122*+1 所以x<-x+2,解得x∈(-2,1)。 二、多项选择题（每题6分，共18分） 第9题 答案：BD a=(2,-1,m),b=(-4,2,2 A:|a=V4+1+m2=30→m2=25→m=±5：A错 B:a1b→a-b=-8-2+2m=0→2m=10→m=5y C:夹角为钝角：a·b<0且不反向共线 a·b=2m-10<0→m<5: 反向共线：0=6，<0(2，-1，m=A(-42,2)→=-克m=-1 所以钝角条件：m<5且m≠-1，C错 D:a在6投影向量9b6=6 1b2 6 2m-10=12m-10-2→2m-10=4→m=7 → （-4}+22+22624-6 √D正确 第10题 答案：CD f(x)=sin 2x+3cos 2x=2sin 2x*号 振幅A=2,最大值2，最小值-2 A:最大值为2，故A错误. 对称统2+号学+奴k=0×登合代入2骨+号-号不是对称辅日错 32 误 cX=名2(-若+号=0sn0=0.是零点V D:最小值-2√ ☑正确：CD 第11题 答案：BD 【详解】解对于A选项设Px.则S+=1,即X=12-3 124 所以MP|=Vx6+y。-3=√x6+y%-6y+9=√12-3y+y-6y+9=-2y%-6y+21 又-2s%s2.所以当%=时.wPL-严 故A错误， 对于B选项，由椭圆定义，IPF1+PF2=2a=4V3,故B正确 对于C选项，当P为短轴端点时 |P0=2,1OF2=2P2,tan∠OPF2=2<3,故∠OPF2<60°，进而∠F1PF,<120°， 故C错误 对于D选项，PF1-PF2≤|F1F2=42,当F1,F2,P三点共线时，PF-PF2有最大 值42，故D正确。 故选：BD 三、填空题（每题5分，共15分） 12题 样本：7,9,10,5,6,11,8,12,4,10 排序：4,5,6,7,8,9,10,10,11,12 n=10,下四分位数位置i=10×0.25=2.5取第3项：6 13题 【详解】设AB=a,AC=b,AP=C,因为P-ABC是棱长为9的正四面体，所以 |a=|b=|c=9,且a,b,c两两夹角为60° 则a2=b2=c2=81,a~b=bc=ca=81×cos60=8 因为G是△ABC的重心所以AG=AB+AC-=号0+b, 因为E是棱PC的中点、所以AE=(AP+AC)C+号b所以 236 因为点F在线段EG上，且EG=3EF,所以EF-号EG-日0点0信c 3 91 所以AF-5a+ 4,,12 b+3c 。b+ =+++ 81 0b* +27ac+,8bc 27 =×81+6x81+×81+8x81+2×8L+8×81 81 81 9 81227227 2 =1+16+9+4+3+12=45 所以AF=45=3/5:即线段AF的长度为35。 14题 圆系方程：x+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0 整理：（1+)x2+(1+λ)y2+6x+6y-4-28入=0 3 圆心： 3入 1+λ’1+入 在x-y-4=0 3 3入 1+λ1+ -4=0→-3+3λ=4(1+入) λ=-7，代入圆系方程 x2+y2+6x-4-7(x2+y2+6y-28)=0 整理得：-6x2-6y2+6x-42y+192=0→x2+y2-x+7y-32=0 四、解答题 15(13分) (1)a=0.030 (2)平均数为74，中位数为75 (3)x=62,s2=37 【详解】(1)由题意得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030。 (2)平均数为 x=(45×0.005+55×0.010+65×0.020+75×0.030+85×0.025+95×0.010)×10=74 设中位数为m; 因为成绩落在[40,70)内的频率为0.005+0.010+0.020)×10=0.35 落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，所以m∈[70,80)， 则0.35+(m-70)×0.030=0.5,解得m=75,故中位数为75。 (3)由题意得，成绩在[50,60)有100×0.1=10人，成绩在[60,70)有100×0.2=20人， 则这两组成绩的总平均数为元=10X54+66×20=62 10+20 总方若为碧×7+54-62器14+6-6配=37 16(15分) (1)A(-5,0),B(1,0),AB中垂线：x=-2 圆心在x-2y+4=0,联立x=-2:-2-2y+4=0→y=1 圆心C(-2,1),半径r=|CA=-2+52+(1-07=/10 标准方程：(x+22+(y-12=10 (2)设M(x,y),P(xo,yo),Q(2,1) 2少*1 中点：x=*2, 29X-2x-2,0=2y-1 P在圆：（x。+2)2+(y。-12=10 (2x2+(2y-22=10→4x2+4(y-12=10 轨淀女+y-1号 17(15分) (1)2acsin (A+C)=3(a2+c2-b2).A+C=n-B,sin (A+C)=sin B 2 acsin B=V3·2 accos B→tanB=V3 B∈(0，户B=号 ②s-克csa8-0→吃c9-g-ac-4 余弦定理：b2=a+c2-2 accos B 16=a2+c2-4→a2+c2=20 (a+c2=a2+c2+2ac=28→a+c=27 周长：a+b+c=29V7+4 18(17分) 【答案】(1) D 因为四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD, 所以以{DA,DC,DP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 则P0.0,a,B(2,20).C(0,20,E(2,10,F1,2.0.G00, 所以CE=2,-1,0.DF=1,20j.Dc=0.0,2 所以CE·DF=2×1+(-1)×2=0 CE·DG=2×0+(-1)×0+0×9=0 所以CE⊥DF,CE⊥DG 即CE⊥DF,CE⊥DG,又DF n DG=D,DF,DGC平面DFG 所以CE⊥平面DFG; 2)0由（①知PB=22,-a,PC=0,2,-a.FG=-1,-2,9 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则 n·PB=0 n·PC=0 所以 |2x+2y-az=0 2y-az=0 ,取y=a,则x=0,z=2,所以n=(0,a,2) 设直线FG与平面PBC所成的角为0， 所以in9-HGnL-上2a+al 2V5 FGnl 1+4+g×a2+4 15, 化简得a-21a2+80=0,解得a2=16或a2=5,所以a=4或a=V5。 (m)因为a>3,所以由()知a=4,所以G(0,0,2),GF=(1,2,-2) 由(1)知EF=(-1,1,0)平面DFG的-个法向量为CE=(2,-1,0) 设平面EFG的一个法向量为m=(x1,y1,Z1),则 m·EF=0 m·GF=0 |-x+y,=0 x1+2y1-2z1=0 ,取y1=2,则x1=2,Z1=3,所以m=(2,2,3) 设平面DFG与平面EFG夹角为a, 所以cosa=1CE:mL=4-2L=285 V5×9V1785 CEml 所以平面DFG与平面EFG夹角的余弦值为85 859 19(17分) ()焦距2c=26宁c=6.兰+长=1过P2, ab2 4+1=1 a2-b2=6 解得a2=8,b2=2,椭园：+少=1 82 2)k= ,设MN:y=-x+m联立椭园 1 2+4方x+m-82-2mx42m㎡2-4=0 弦长MN11+宁万=近 △=4m2-4(2m2-4)=16-4m2 5.V16-4m=5→m=±1 直线：y=x+1或y-1 (3) 联立 y=kx+m 82 消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。 1+4R①，Xx=4m2-8 显然4>0，且x+X,=二8km 1+4k2 k+k=-1号+2二号-1即k+m-1+k,+m X1-2 =-1 X1-2X2-2 X2-2 整理得2k+1)x1x2+(m-2k-3)(x1+x2)-4(m-2)=0 将①、②代入上式，整理得8k+(6m-4)k+m(m-1)=0 .∴.（2k+m-1)(4k+m)=0,.∴.2k+m-1=0或4k+m=0 当2k+m-1=0时，直线MN过点P(2,1),与已知“M,N异于点P"矛盾，舍去； 当4k+m=0即m=-4k时，直线MN:y=k(x-4)恒过定点A(4,0), PDMN即PDL AD.当点Q为PA中点时DQHE 2 即存在定点Q3, 使得DQ为定长2湛江市2026年秋季学期三校联考考试 高二级数学试卷 考试时间：120分钟试卷满分：150分 命题人：彭庆华做题人：刘晓宏 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1普 A.1+i B.-I+ c.-1-i D.1-i 2.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线1过(0,3)且与圆C交于A,B两点，若1AB上2√5， 则直线1的方程为() A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0或x=0 C.4x-3y+9=0或x=0 D3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 3.若直线1过点(4，)且与直线”：2x-y+3=0相互垂直，则原点到直线1的距离为() A35 B36 C.6v5 D.6 5 5 5 5 4.已知M,4,B,C为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外-点，且OM=xOA+yOB-OC (>0y>0),若M,4B,C四点共面，则+上的最小值为（) x y A昌 c.9 D.4 5.在下列区间中，函数f(x)=2血x+x-2的零点所在的区间为() ( a制 c.(,2) D.(2,3) 6已知直线y宁+1与椭题C:号长-0>60相交于小R,且知的中点为以(-引则精图 C的离心率为() 2 c. D.T 第1页/供4页 7.已知4B为两个随机事件，P(4)=0.2,P(B)=0.5,则下列结论错误的是( A.若ASB,则P(AUB)=0.5 B.若A,B独立，则P(AB)=0.1 C.若A,B独立，则P(AUB)=0.7 D.若A,B互斥，则P(AUB)=0.7 -2x+b &.己知f(x)=2+a是定义域为R的奇函数，则不等式∫(x)+f(x-a)>0的解集是() A.（-∞，-2U(1,+∞）B.（-oo,-1U(2,+∞）C.(-2,1) D.（-12) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在空间直角坐标系中，向量=(2，-1，m),万=(-4,2,2)，下列结论正确的是（】 1A.若d=V30,则m=5 B.若a16,则m=5 C若(d,为钝角，则m<5 D.若d在i上的投影向量为b,则m=7 10.设函数f(x)=sin2x+V5cos2x,则下列结论正确的是（) A.f(x)的最大值是I+√万 日儿的图象关于直线x=管对格 C.f()的一个零点为x=- 6 D.f(x)的最小值为-2 已知P是左右焦点分别为R,的舌+1上的动点，M0,),下列说法正确的有（) A.MP的最大值为5 B.PR+PF|=4V3 C.存在点P,使∠FPE=120° D.PF-PF的最大值为4反 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知一组样本数据7,9,10,5,6,11,8,12,4,10，则该组数据的下四分位数为 13.如图，在棱长为9的正四面体P-ABC中，G是△ABC的重心，E是棱PC 的中点，点F在线段EG上，且有EG=3EF,则线段AF的长度为 14.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，且圆心在直线 x-y-4=0上的圆的方程为 第2页/供4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤. 15.(13分)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随 机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六组：[40,50)、 [50,60)、、[90,100],得到如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.025 0.020 0.010 0.005 0 405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值： (②)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数： (3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合 并后的平均数x和方差s2 16.(15分)已知圆C的圆心为点C,其在直线x-2y+4=0上，且与x轴交于两点A(-5,0)、B(1,0): (1)求圆C的标准方程： (②)已知2(2，)，点P在圆C上运动，求线段P2中点M的轨迹方程. 第3页/供4页 17.(15分)在a4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知2 acsin(4+C)=V5(d+c2-b) (1)求角B的大小： (2)若b=4,aABC的面积为√5，求△ABC的周长. 18.(I7分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平 面ABCD,PD=a,E、F、G分别是AB、BC、PD的中点 (1)求证：CE⊥平面DFG: (2)若直线FC与平面PBC所成角的正弦值为 15 (i)求a的值： (i)若a>3,求平面DFG与平面EFG夹角的余弦值. 19.(17分)已知椭圆G:三+兰=1a>b>0)过点P(2,1,焦距为2V6。斜率为k的直线1与椭圆C交 于M,N两点（异于点P),且直线PM,PN斜率均存在. ()求椭圆C的标准方程： (2)诺k=-之MM=V压，求直线MN的方程： ()设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=一1，PD⊥MN,D为垂足，证明：存在定点Q,使得 DQ为定值. 第4页/共4页