精品解析：福建省华安县第一中学2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

华安一中2026 2027学年（上）期中考 高一数学试卷 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则（ ） A. 7 B. C. 1 D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. ，，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.） 9. 已知集合，则有（ ） A. B. C. D. 10. 在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（ ） A. 甲车超速 B. 乙车超速 C. 甲车无法判断 D. 乙车无法判断 11. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，”的否定是“存在，” C. 函数的最小值为2 D. 函数在的值域为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 集合，，若，则______． 13. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为______. 14. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）已知：，求的值． 16. 已知集合． （1）求； （2）若集合满足，求实数a的取值范围． 17. 已知函数（且）经过点． （1）求的值； （2）①求值；②若，求的值． （3）画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 18. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 19. 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足求的最小值； （2）若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华安一中2026 2027学年（上）期中考 高一数学试卷 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为． 3. 对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 4. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举特例说明ABD错误，用不等式的性质证明C正确. 【详解】对A：当，时，满足，但不成立，故A错误； 对B：当时，由可得，故B错误； 对C：因为，所以，故C正确； 对D：当，，时，满足，但，，，所以不成立，故D错误. 故选：C 5. 已知函数，若，则（ ） A. 7 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 则，故函数为偶函数， 则. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案 【详解】由为偶函数可排除A，C； 当时，图象高于图象，即，排除B； 故选：D． 【点睛】识图常用的方法： （1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； （2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； （3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 7. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数单调性进行判断即可. 【详解】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 8. ，，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为有两个不等根，其中一根小于，另一根为即可求解. 【详解】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.） 9. 已知集合，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解. 【详解】由题得集合， 由于空集是任何集合的子集，故A正确： 因为，所以CD正确，B错误. 故选ACD. 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10. 在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（ ） A. 甲车超速 B. 乙车超速 C. 甲车无法判断 D. 乙车无法判断 【答案】BC 【解析】 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 11. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，”的否定是“存在，” C. 函数的最小值为2 D. 函数在的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用不等式的基本性质，充分条件和必要条件的定义求解；B选项，利用命题的否定的定义求解；C选项，利用对勾函数和基本不等式求解；D选项，利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】A选项， 若，可得，充分性成立， 若，，解得或，不能推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，A正确； B选项，的否定为，B正确； C选项，是对勾函数， 当时，，当时，，没有最小值，C错误； D选项，，对称轴为，开口向上， 区间在对称轴左侧，函数在内为单调递减区间， 当时，，当时，， 则值域为，D正确. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 集合，，若，则______． 【答案】0或 【解析】 【详解】因为集合，， 若，可知或，经检验满足集合中元素的互异性， 故或. 13. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论. 【详解】解：幂函数在上单调递减， ，且，求得， 故答案为： 14. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）已知：，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算法则计算可得结果； （2）先由可计算出，再平方可计算出，分别代入计算可得结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由平方得，即， 将平方得，即， 所以． 16. 已知集合． （1）求； （2）若集合满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由交集的定义计算即可； （2）由可得，结合集合大小范围求参数即可. 【小问1详解】 由条件可得， ∴． 【小问2详解】 由条件可得，而， 则，即实数a的取值范围为． 17. 已知函数（且）经过点． （1）求的值； （2）①求值；②若，求的值． （3）画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 【答案】（1）2 （2）①；②6 （3）函数图象为： 值域为，单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）直接将点代入函数解析式即可求解； （2）①先得到，再代值计算即可； ②由题设建立方程即可求解； （3）先得到，根据指数函数的图象画图即可，再根据图象求解值域及单调区间. 【小问1详解】 由题意，得， 而且，则. 【小问2详解】 ①由（1）知，， 则，即. ②由，解得. 【小问3详解】 由（1）知，， 则函数的图象为： 由图可知，函数在上的值域为， 单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. （2）是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 19. 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足求的最小值； （2）若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】（1） （2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. （3）的最大值为，此时． 【解析】 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【小问1详解】 因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $