精品解析：福建省莆田第二十五中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

莆田第二十五中学2026-2027学年上学期高一数学期中考试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，的否定（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的表达式为 A. B. C. D. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的奇函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8. 已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列图象中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则的取值范围是 C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为3 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_____________. 13. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________. 14. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 设函数，且. （1）请判断并证明的奇偶性； （2）试判断在上的单调性，并用定义加以证明； 17. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，． （1）求函数f（x）的解析式； （2）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）； （3）讨论直线y=m（m∈R）与y=f（x）的图象的交点个数． 19. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性并证明再求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2026-2027学年上学期高一数学期中考试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补的混合运算即可求解. 【详解】， 则， 则. 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的交、并、补混合运算，需掌握交、并、补的概念，属于基础题. 2. 已知命题，的否定（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由存在量词命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，. 故选：A 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，可设， 由，所以. 所以. 4. 已知，则的表达式为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，设，则，所以，所以函数的解析式为，故选B． 考点：函数的解析式． 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知，结合基本不等式，可得，从而可求出的最大值. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，整理得，即. 所以的最大值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 6. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，结合及上的值域，应用排除法确定图象. 【详解】令，其定义域为R，且， 所以是偶函数，排除A，又，排除B， 当，则，此时，当且仅当时取等号， 所以，有，则，排除C. 故选：D 7. 已知定义域为的奇函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求出a的值，再利用求出b的值，进而求得的值． 【详解】是上的奇函数， 定义域关于原点对称，即， 所以，，此时定义域为， 又，则，故， 则 故选：A 8. 已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列图象中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于选项ABC，当取一个值时，有唯一值与之对应，符合函数定义，故ABC正确； 对于选项D，当取一个值时，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故D错误. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则的取值范围是 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，若，分子相同，分母越大分数越小，则， 例如，，则； 对于B选项，因为，所以， 又因为，所以两边同乘正数，可得， ，两边同乘，可得， ，两边同乘，可得， 即，所以； 对于C选项，若，，则不能推出， 例如，，，，，，； 对于D选项，因为，所以，不等式两边同除以正数，不等号的方向不变，可得. 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为3 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A由已知不等式得，进而得，注意等号成立条件判断；B由条件得，再由并应用基本不等式求最值，注意等号成立条件判断；C由题设有，进而得，注意取值条件判断；D由，应用基本不等式及B分析求最值，注意等号成立条件判断. 【详解】A，由为正实数，则， 所以， 所以，即， 当且仅当，即时取等号， 即ab的最大值为，正确； B，由，且a、b为正实数，则， 所以， 当且仅当，即时，不等式取等号， 所以的最小值为5，错误； C，由a，b为正实数，且， 即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为，错误； D，由B有，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式分母不为零,平方根被开方数不小于零,即可求得 【详解】要使函数有意义须, 所以函数的定义域为. 故答案为: 【点睛】本题考查函数的定义域,对于函数解析式成立的条件要熟练掌握,属于基础题. 13. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次函数对称轴与区间的位置关系，即可得到答案； 【详解】函数的对称轴为，且函数开口向上， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查二次函数的性质，求解时注意二次函数对称轴与区间的位置关系问题. 14. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求出答案 【详解】由题意得，解得或， 又，即，故，解得， 综上，的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可； （2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可 【小问1详解】 由题意得： 当时， 故 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件 可得： 当时，得 解得：； 当时，，解得. 综上，的取值范围为： 16. 设函数，且. （1）请判断并证明的奇偶性； （2）试判断在上的单调性，并用定义加以证明； 【答案】（1）是奇函数，证明见解析 （2）在上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据奇偶性定义判断即可； （2）先判断，再根据单调性的定义证明即可； 【小问1详解】 是奇函数 证明：由有 有 是奇函数 【小问2详解】 解：在单调递增，证明如下： 证明：（或设） 有 ，即 在单调递增. 17. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为，且和是方程的两个根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）由（1）得到，结合基本不等式，求得，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：因为不等式的解集为或， 所以，且和是方程的两个根， 根据韦达定理，可得，解得. 【小问2详解】 解：由（1）知，则， 因为，所以， 又因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为恒成立，所以， 则，即，解， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，． （1）求函数f（x）的解析式； （2）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）； （3）讨论直线y=m（m∈R）与y=f（x）的图象的交点个数． 【答案】（1） （2） （3）当m＜0时，有2个交点；当m＝0时，有3个交点；当0＜m＜4时，有4个交点；当m＝4时，有2个交点；当m＞4时，没有交点． 【解析】 【分析】本题第（1）题利用偶函数的性质公式f（x）＝f（﹣x）可得当x＜0时的函数表达式，则即可得到函数f（x）的解析式；第（2）题可将第（1）题中函数f（x）的解析式化为顶点式，即可画出f（x）的图象；第（3）题根据第（2）题中f（x）大致图象，对m分类讨论即可得到交点个数． 【小问1详解】 由题意，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）＝﹣x2﹣4x， 又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x2﹣4x， ∴函数f（x）的解析式为： f（x）． 【小问2详解】 由（1），知： 当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4；当x≥0时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4． ∴f（x），大致图象如下 【小问3详解】 根据（2）中f（x）大致图象，可知 ①当m＜0时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有2个交点； ②当m＝0时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有3个交点； ③当0＜m＜4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有4个交点； ④当m＝4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有2个交点； ⑤当m＞4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有没有交点． 【点睛】本题主要考查根据偶函数的性质写出函数完整表达式，二次函数图象画法，数形结合思想，分类讨论思想的应用，本题属中档题． 19. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性并证明再求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）是奇函数， 证明：函数对任意实数恒有， 取，得，则， ，取，则，即， 所以为奇函数． （2）为上的减函数， 证明：任取且，则，， 因此，即， 所以为上的减函数； 当时，. 所以函数在上的最大值为6. （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法，结合奇函数定义推理得证. （2）利用函数单调性的定义判断证明函数的单调性，进而求出函数在的最大值. （3）由（1）（2）的结论求出函数在的最大值，再建立不等式并利用一次型函数性质列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得函数在单调递减，则， 由，对所有，恒成立， 得，对所有恒成立， 即，对所有恒成立， 因此，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $