精品解析：福建省福州第一中学2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

福州一中2026—2027学年第一学期第一学段 高一数学期中考试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先依据全集的限定条件确定全集的元素，再计算两集合的并集，最后根据补集的定义求解目标集合即可. 【详解】由题得，. 故，从而B正确. 2. 已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：由，，根据不等式基本性质，，故A错误； 选项B：取，，，此时，， 不满足，因此B不恒成立； 选项C：由，根据正数的倒数性质，可得， 又，由不等式的乘法性质，得，C正确； 选项D：对不等式， 因为，，所以，故D错误. 3. 已知函数，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A选项不符合函数定义，故A错误； 恒成立，故C错误； 令，即，因为，则其无实数根，故B错误； 对D，原函数，相当于对勾函数先向上平移1个单位， 再将轴下方部分关于轴对称即可，故D正确. 4. 若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数分析即可. 【详解】因为定义在上的函数是奇函数， 则对任意实数，都满足恒等式：  对任意实数，将代入上述性质，可得， 故的横纵坐标满足的函数关系， 因此该点一定在的图象上. 故满足. 5. 若函数的定义域是，则函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求具体函数和抽象函数的定义域的方法求解即可. 【详解】由函数的定义域是，所以， 要使函数有意义则：，解得：或， 所以函数 的定义域是. 6. 条件，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求命题成立时的取值范围，再根据集合包含关系判断选项，大范围是小范围的必要不充分条件. 【详解】，等价于， 令， 由对勾函数性质，在单调递减，在单调递增， ，，， 所以， ， 对应的集合：， 必要不充分条件要求： 选项对应集合， 对于A：，是充分不必要； 对于B：，是充分不必要； 对于C：，是充要； 对于D：，满足 ，是的必要不充分条件. 7. 已知为偶函数，若对任意（），总有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线成轴对称图形. 又对任意（）， 总成立， 所以在上单调递增. 所以. 即不等式的解集为. 8. 已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式画出函数的图象，将方程根的个数转化成函数图象交点的个数，再利用一元二次函数根的分布即可求得参数的取值范围． 【详解】由函数的大致图象如下： 若关于的方程恰有个不同的实数根， 令，则结合图象可知与的图象有个交点，， 等价于关于的方程在上恰有个不同的实数根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，函数图象与轴的交点为和，则（） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象可得，结合是方程的两根，利用韦达定理可得，即可判断ABC；代入解不等式判断D. 【详解】由图知图象开口向下，故， 又是方程的两根， 则，，故，． 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，即， 两边同除以得，解得，故D正确． 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为2 D. 有最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据基本不等式求解即可；对于B，结合二次函数的最值求解即可；对于C，结合换元法、二次函数的单调性及最值求解即可；对于D，结合“1”的代换及基本不等式求解即可. 【详解】选项A，由题意知，，，则，即，所以， 当且仅当时，等号成立，因此的最大值为，A正确. 选项B：由，得，又，，所以. ，对称轴 所以当时，取得最小值，此时，满足正实数条件，B正确. 选项C：. . 令，， 则在上单调递增，所以，则， 故，则，C错误. 选项D：由，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 联立，解得，满足正实数条件，D正确. 11. 已知函数满足：①；②若，则；③对任意，，.则（ ） A. 的值为1 B. C. 若，则 D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用赋值法求得，再用条件②进行验证； 选项B：令得到，结合基本不等式即可求解； 选项C：构造函数，得到， 再利用，依次求得，，，； 选项D：利用结合函数对称性即可求解. 【详解】选项A：令，代入得： ，即， 即，解得：或. 若，令，代入得： ，即对任意实数都成立， 与条件②若，则，相矛盾，所以舍去，故， 选项A错误； 选项B：令，代入得： ，又 故，又因为， 所以， 即，即，选项B正确； 选项C：由得：， 即，令， 则，且 因为，所以， ， 故，又，所以， 又，所以，选项C正确； 选项D：令，则， 又选项B中推导的可得：， 故函数的图象关于点中心对称，选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数满足，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合即可求解. 【详解】令，则，由于，即，解得. 13. 已知函数，，则函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分离常数法化简给定的分式函数，结合定义域利用不等式的基本性质推导函数值的取值范围，进而求得函数的值域. 【详解】由， 因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以当时，函数的值域为. 14. 已知定义在上的单调函数满足，则函数的解析式为________；若对，（），使得成立，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先设，其中为常数，从而结合即可求出的解析式，进而利用结论：，若恒成立，则即可求解． 【详解】因为，且是定义在上的单调函数， 设，其中为常数，所以， 由，则，解得， 所以，是上的单调函数， 由，（），使得， 所以 当时，， 当时，，则， 所以，即，， 则的最小值为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意得出，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 因为全集，所以，故. 【小问2详解】 由得：，因为，则，所以，则， 由得，解得，即实数的取值范围为. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） ，； （2） 当时，不等式的解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理求解； （2）分类讨论解一元二次不等式. 【小问1详解】 由题可知是方程的解， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以不等式等价于， 当时，不等式可化为，解得， 当时， 当，即时，解得； 当时，解得，此时不等式化为，解得； 当时，即时，解得； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 17. 福建省城市足球联赛（简称"闽超"）是福建省内一项重要的业余足球赛事，以"福聚八闽、爱拼会赢"为理念，深受当地球迷喜爱.年首届赛季，某公司获得授权，销售一款闽超联赛纪念品.根据市场调研，若定价为元/件，可售出万件；当销量超过万件时，定价（元/件）与销量（万件）满足关系式，其中.该公司前期投入固定成本万元.订购量不超过万件时，每件产品的采购成本为元；订购量超过万件时，总利润（万元）与销量（万件）满足.（假设所有订购的产品均可按计划售价全部售出.）请根据以上信息，回答下列问题： （1）当订购万件产品时，利润是多少？ （2）写出利润（万元）关于订购量（万件）的函数关系式； （3）公司订购多少万件产品时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）利润是200万元 （2） （3）公司订购40万件产品时利润最大，最大利润为910万元 【解析】 【分析】（1）依题意，当订购万件产品时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，结合定价（元/件）与销量（万件）满足关系式计算； （3）计算出各段函数的最大值进行比较，当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【小问1详解】 依题意，当订购万件产品时，利润是万元； 【小问2详解】 当时，； 当时，由，则， 所以 当时，； 所以； 【小问3详解】 由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元， 因为， 所以当订购40万件产品时，利润最大，此时利润是910万元. 18. 已知函数为奇函数，函数满足，且． （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若在区间上的最小值为2，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义，即，即可求得的值； （2）由及即可化简得，并验证即可； （3）先通过定义法判断的单调性，再通过换元，将转化为二次函数在闭区间上的最小值问题，再根据对称轴的位置讨论参数即可. 【小问1详解】 由题可得的定义域为R， 因为函数为奇函数， 所以， 解得：. 【小问2详解】 由（1）知的解析式为，则， 当，即时，由， 可得， 又，符合题意，所以的解析式为． 【小问3详解】 将函数代入， 则 由于，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则，所以在上单调递增， 则，即， 令，则， 所以在区间上的最小值为2， 等价于在区间的最小值为2， 由于的对称轴为， 当，即，解得，满足条件； 当，即，方程无解； 当，即，解得，不满足条件， 综上可得：． 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差（ 表示函数在区间上的最大值）.若存在使得，则称为直线的偏差点.记， 若存在使得（表示对所有实数能取到的最小值），则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点 （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）求函数()在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. 【答案】（1）偏差为，偏差点为 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解； （2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解； （3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，分类讨论的取值情况，求解，即可得解. 【小问1详解】 记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； 【小问2详解】 设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. 【小问3详解】 令. 当，，其最大值只会在区间端点处产生， 则， 表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数 1， 从而此时，取等号时； 当时，， 令，设，其中， 因为，则其最大值可能在时产生， 从而，设， 所以， 所以 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，此时，； 当且时，因为， 则的最大值可能在时产生， 从而，设， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以. 综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2026—2027学年第一学期第一学段 高一数学期中考试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域是，则函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 条件，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为偶函数，若对任意（），总有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，函数图象与轴的交点为和，则（） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为2 D. 有最小值为 11. 已知函数满足：①；②若，则；③对任意，，.则（ ） A. 的值为1 B. C. 若，则 D. 函数的图象关于点中心对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数满足，且，则________. 13. 已知函数，，则函数的值域为________. 14. 已知定义在上的单调函数满足，则函数的解析式为________；若对，（），使得成立，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集. 17. 福建省城市足球联赛（简称"闽超"）是福建省内一项重要的业余足球赛事，以"福聚八闽、爱拼会赢"为理念，深受当地球迷喜爱.年首届赛季，某公司获得授权，销售一款闽超联赛纪念品.根据市场调研，若定价为元/件，可售出万件；当销量超过万件时，定价（元/件）与销量（万件）满足关系式，其中.该公司前期投入固定成本万元.订购量不超过万件时，每件产品的采购成本为元；订购量超过万件时，总利润（万元）与销量（万件）满足.（假设所有订购的产品均可按计划售价全部售出.）请根据以上信息，回答下列问题： （1）当订购万件产品时，利润是多少？ （2）写出利润（万元）关于订购量（万件）的函数关系式； （3）公司订购多少万件产品时，利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数为奇函数，函数满足，且． （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若在区间上的最小值为2，求的值． 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差（ 表示函数在区间上的最大值）.若存在使得，则称为直线的偏差点.记， 若存在使得（表示对所有实数能取到的最小值），则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点 （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）求函数()在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $