精品解析：湖南省A佳c13联盟2026-2027学年11月初中学业水平适应性检测九年级数学试卷

2026年11月九年级上学期质量抽检 数学 （本试卷共6页，24题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：选项A，方程含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B，方程是一元二次方程，符合题意； 选项C，方程未说明，不一定是一元二次方程，不符合题意； 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用设k法进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 3. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦的定义，利用定义直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵在中，，是的对边，是斜边， 又，，根据锐角正弦的定义：， ． 4. 如图，已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 5. 用配方法解方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由， 两边同除以2得， 移项得， 两边加1得， 即. 6. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点、点、点三点在同一直线上 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质：位似图形一定是相似图形；对应顶点的连线相交于位似中心；对应边互相平行；对应点到位似中心的距离之比等于位似比，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到， ，点、点、点三点在同一直线上，， 故选项，，说法正确； 位似比为， ，即， 由图可知点在、之间， ， ， 故选项说法错误． 7. 将一副三角尺按如图所示摆放，其中点，，在同一条直线上，，，，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中，，，分别求出，，再根据即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴，， ∴，， ∴． 8. 一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限确定的符号，再结合根的判别式判断即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，直线经过第二、三、四象限， ∴， 在方程中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 9. 柳叶湖坐落于湖南常德，因湖面形状酷似柳叶得名，被誉为“中国城市第一湖”，民间传说《刘海砍樵》的故事就起源于此．某数学兴趣小组利用无人机测量柳叶湖湖面两端，之间的宽度．如图，无人机水平飞行至距离湖面的点处，从点测得湖面上点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖面，两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点 作 于点 D，利用三角函数分别求出 和 的长，进而求出 的长． 【详解】解：过点 作 于点 D，则 ， 由题意可知， ， ， ， 在中，， ， ． 10. 如图，在中，、分别为、边上的中点，与相交于点，分析下列四个结论：①；②；③；④（表示周长）；⑤（表示面积）；⑥．其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，进而判定相似三角形，利用相似三角形的性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）逐一判断即可． 【详解】解：在中，、分别为、边上的中点， 是的中位线， 且，故①正确； ，， ，故②正确； ，不是，故③错误； ，故④正确； ，即，故⑤正确； ， ，， ， ， 又， ，故⑥正确． 综上可知，正确的结论有5个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若是方程的一个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，建立关于的等式即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，左右两边相等， 即， 计算得， 解得：． 12. 已知，，，是成比例线段，其中，，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】按照成比例线段的顺序关系列等式，代入已知线段长度计算d的值． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， 将，，代入上式得：， 交叉相乘得：， 解得：． 13. 屈原是战国时期楚国伟大的爱国诗人，写下《离骚》《九歌》等不朽诗篇，他的爱国精神千古流传．湖南某学校校园内立有屈原人物雕塑，工匠参考人体美学进行造型设计：人体的肚脐是身高的黄金分割点，肚脐到脚底的高度与人物全身高度之比为黄金分割比．若该屈原雕塑人物全身高为，以肚脐作为黄金分割点，则雕塑肚脐到头顶的高度约为_________．（结果保留两位小数） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，肚脐到脚底高度占全身高度的，则肚脐到头顶高度占全身高度的，再代入数据计算即可． 【详解】解：∵肚脐到脚底的高度与人物全身高度之比为， ∴肚脐到头顶的高度与人物全身高度之比为， ∵雕塑人物全身高为， ∴雕塑肚脐到头顶的高度为， ∴雕塑肚脐到头顶的高度约为． 14. 如图，已知点，以为位似中心，把放大为原来的倍，且图形在轴的右侧，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的性质，若以原点为位似中心，相似比为k，则对应点坐标为原坐标乘以k 或，结合图形在 y 轴右侧这一条件确定，解答即可． 【详解】解：，以原点O为位似中心，把放大为原来的3倍，且图形在y轴的右侧， ，即． 15. 桔槔（jié gāo）俗称“吊杆”“秤杆”，是我国春秋战国时期发明的汲水工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆．其中米，是杠杆，且米，当点位于最高点时，，此时点位于最高点时到地面的距离是_________米．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 如图，作，于，则，（米），然后根据点A位于最高点时到地面的距离为，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，于， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴点A位于最高点时到地面的距离为米． 16. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出点D为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，即， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分．17、18题各6分，19、20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，解答应写出文字说明，证明过程或推导步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】代入各特殊角的三角函数值，再按混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴或 解得： 19. 如图，点、分别在边，上，，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，再代入数据计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴． 20. 2024年3月，习近平总书记考察常德河街，强调要传承好地方特色传统文化，推动文旅融合发展．在相关政策带动下，河街文旅热度持续走高．据统计，2024年国庆长假期间，河街共接待游客约80万人次，2026年国庆长假期间接待游客达到万人次． （1）求河街2024至2026年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率． （2）河街文创店售卖具有常德地方特色的文创书签，每个进价25元．当售价为每个35元时，每周可售出400个．市场调查发现：售价每上涨1元，每周销量就减少20个．若该文创店计划一周获得利润4500元，则每个书签的售价应为多少元？ 【答案】（1）年平均增长率为 （2）每个书签的售价应为40元 【解析】 【分析】（1）设河街2024至2026年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程并求解即可； （2）设每个书签的售价应为y元，则销售量为个，即可列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设河街2024至2026年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：河街2024至2026年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每个书签的售价应为y元， 根据题意，得， 解得， 答：每个书签的售价应为40元． 21. 周末，亮亮一家到太阳山游玩．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡坡度为，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内．（参考数据：，，） （1）求亮亮一家步行上升的垂直高度． （2）若步行速度为每分钟，登山缆车的速度为每分钟，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟．（换乘登山缆车的时间忽略不计．） 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）过点B作，垂足为E，就是步行段上升的垂直高度，根据坡度设，，根据勾股定理求出a的值，即可求出的值； （2）过点B作，可知四边形是矩形，得到，进而求出，根据三角函数求出，分别计算两段路程耗时，相加即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作，垂足为E，就是步行段上升的垂直高度． ∵山坡的坡度为，坡度定义为坡面垂直高度与水平宽度的比值， ∴． 设，， 由勾股定理可得斜边． 已知，代入得， 解得， 因此； 【小问2详解】 解：过点B作，垂足为F． 由、、，可知四边形是矩形， 因此． ∵， ∴段的垂直上升高度． 在中，缆车的行驶路线与水平面的夹角， ∴． 分别计算两段路程耗时： 步行耗时：分钟 缆车耗时：分钟 总耗时分钟． 22. 大唐司马楼（图1）坐落于常德武陵区柳叶湖畔，是纪念唐代诗豪刘禹锡的仿唐建筑，刘禹锡被贬朗州（今常德）期间，写下《秋词》《竹枝词》等传世佳作．九年级（1）班数学兴趣小组组长小颖决定利用相似三角形的知识测量司马楼的高度，带上测角仪、平面镜、皮尺等工具，经过测量并绘制了测量示意图（图2）．小颖同学站在处用测角仪测得司马楼顶的仰角，从处沿方向前进到达处，在处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），随后从处沿方向前进到处，站在处恰好从平面镜中看到司马楼顶端的像，测得眼睛到地面的高度，已知测角仪的高度，，，，点，，，在同一水平线上，求司马楼的高度．（提示：根据光的反射原理，反射角等于入射角．） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于M，则四边形是矩形，得到，，，根据等角对等边得到，证明，得到，进而得到，求出，即可求出大楼的高度． 【详解】解：如图，延长交于M，则四边形是矩形． ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ∵，，，， ，， ， 解得， ， 答：大楼的高度为． 23. 综合与实践． 材料1：弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程（），如果方程的两根为、，则，，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 材料2：如果实数m、n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料3：若、、是一元三次方程（）的三个根，则原方程可变形为，则有：，，． 材料4：利用韦达定理逆向构造．举例：如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】方程的两个实数根为，，则_________，_________． （2）【类比应用】已知实数a，b满足，，且，求的值． （3）【类比拓展】已知一元三次方程的三个根分别为m，n，，求的值． （4）【思维拓展】已知实数m，n满足，，求的值． 【答案】（1）2， （2） （3）4 （4）19 【解析】 【小问1详解】 解：在方程中，，，， ，； 【小问2详解】 解：实数a，b满足，， 可以将a，b看作方程的两个实数根， 将方程化为一般形式， 则，， ； 【小问3详解】 解：一元三次方程的三个根分别为m，n，， ，，， ； 【小问4详解】 解：， ， ，是一元二次方程的两根， 解方程得，， 或， 对于方程组①，m，n可以看作一元二次方程的两根， 但此方程，无解； 对于方程组②，m，n可以看作一元二次方程的两根， 此方程， ． 24. 综合与实践． 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．对正方形纸片进行以下操作： 【操作一】如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕． 【操作二】如图1，点为边上的一点，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在上，点为边上一点，沿直线折叠，使点的对应点也为点． （1）则_________（直接写出结果）． 【操作三】如图2，同样将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再展开，得到折痕．沿折叠，得到点的对应点，延长交于点． （2）求证：． 【操作四】如图3，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时． （3）求的值． 【答案】（1） （2）证明：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设正方形纸片的边长为1， 则． 设，则，， 在中，根据勾股定理得． ∴． 解得． ∴． ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠和正方形的性质，得出，从而得出为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可得出答案； （2）连接，利用证明，得；设正方形纸片的边长为1，设，在中，由勾股定理列方程可得x的值，进而解决问题； （3）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，，，证明，得出，令，设，则，，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， 根据折叠可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年11月九年级上学期质量抽检 数学 （本试卷共6页，24题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点、点、点三点在同一直线上 C. D. 7. 将一副三角尺按如图所示摆放，其中点，，在同一条直线上，，，，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 9. 柳叶湖坐落于湖南常德，因湖面形状酷似柳叶得名，被誉为“中国城市第一湖”，民间传说《刘海砍樵》的故事就起源于此．某数学兴趣小组利用无人机测量柳叶湖湖面两端，之间的宽度．如图，无人机水平飞行至距离湖面的点处，从点测得湖面上点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖面，两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，、分别为、边上的中点，与相交于点，分析下列四个结论：①；②；③；④（表示周长）；⑤（表示面积）；⑥．其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若是方程的一个根，则的值为_________． 12. 已知，，，是成比例线段，其中，，，则_________． 13. 屈原是战国时期楚国伟大的爱国诗人，写下《离骚》《九歌》等不朽诗篇，他的爱国精神千古流传．湖南某学校校园内立有屈原人物雕塑，工匠参考人体美学进行造型设计：人体的肚脐是身高的黄金分割点，肚脐到脚底的高度与人物全身高度之比为黄金分割比．若该屈原雕塑人物全身高为，以肚脐作为黄金分割点，则雕塑肚脐到头顶的高度约为_________．（结果保留两位小数） 14. 如图，已知点，以为位似中心，把放大为原来的倍，且图形在轴的右侧，则点的对应点的坐标为_________． 15. 桔槔（jié gāo）俗称“吊杆”“秤杆”，是我国春秋战国时期发明的汲水工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆．其中米，是杠杆，且米，当点位于最高点时，，此时点位于最高点时到地面的距离是_________米．（结果精确到米，参考数据：，，） 16. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．17、18题各6分，19、20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，解答应写出文字说明，证明过程或推导步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，点、分别在边，上，，若，，，求的长． 20. 2024年3月，习近平总书记考察常德河街，强调要传承好地方特色传统文化，推动文旅融合发展．在相关政策带动下，河街文旅热度持续走高．据统计，2024年国庆长假期间，河街共接待游客约80万人次，2026年国庆长假期间接待游客达到万人次． （1）求河街2024至2026年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率． （2）河街文创店售卖具有常德地方特色的文创书签，每个进价25元．当售价为每个35元时，每周可售出400个．市场调查发现：售价每上涨1元，每周销量就减少20个．若该文创店计划一周获得利润4500元，则每个书签的售价应为多少元？ 21. 周末，亮亮一家到太阳山游玩．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡坡度为，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内．（参考数据：，，） （1）求亮亮一家步行上升的垂直高度． （2）若步行速度为每分钟，登山缆车的速度为每分钟，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟．（换乘登山缆车的时间忽略不计．） 22. 大唐司马楼（图1）坐落于常德武陵区柳叶湖畔，是纪念唐代诗豪刘禹锡的仿唐建筑，刘禹锡被贬朗州（今常德）期间，写下《秋词》《竹枝词》等传世佳作．九年级（1）班数学兴趣小组组长小颖决定利用相似三角形的知识测量司马楼的高度，带上测角仪、平面镜、皮尺等工具，经过测量并绘制了测量示意图（图2）．小颖同学站在处用测角仪测得司马楼顶的仰角，从处沿方向前进到达处，在处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），随后从处沿方向前进到处，站在处恰好从平面镜中看到司马楼顶端的像，测得眼睛到地面的高度，已知测角仪的高度，，，，点，，，在同一水平线上，求司马楼的高度．（提示：根据光的反射原理，反射角等于入射角．） 23. 综合与实践． 材料1：弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程（），如果方程的两根为、，则，，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 材料2：如果实数m、n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料3：若、、是一元三次方程（）的三个根，则原方程可变形为，则有：，，． 材料4：利用韦达定理逆向构造．举例：如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】方程的两个实数根为，，则_________，_________． （2）【类比应用】已知实数a，b满足，，且，求的值． （3）【类比拓展】已知一元三次方程的三个根分别为m，n，，求的值． （4）【思维拓展】已知实数m，n满足，，求的值． 24. 综合与实践． 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．对正方形纸片进行以下操作： 【操作一】如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕． 【操作二】如图1，点为边上的一点，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在上，点为边上一点，沿直线折叠，使点的对应点也为点． （1）则_________（直接写出结果）． 【操作三】如图2，同样将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再展开，得到折痕．沿折叠，得到点的对应点，延长交于点． （2）求证：． 【操作四】如图3，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时． （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $