精品解析：湖南湘西土家族苗族自治州凤凰县思源实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

源实验学校2025年秋季九年级期中学情诊断 数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面物体的运动不是旋转现象的是（ ） A. 风车的转动 B. 国旗的升降 C. 钟表分针的运动 D. 拧瓶盖 2. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 6. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 12. 已知点和点关于原点对称，则的值为________． 13. 已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 14. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 16. 已知，是方程的两根，不解方程求下列式子的值： （1）______； （2）______． 17. 已知抛物线y＝x2－2x＋5经过两点A(2，y1)和B(3，y2)，则y1和y2的大小关系是______________． 18. 定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程：． 20. 一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 21. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 22. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 23. 已知一个二次函数的图像经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）点B关于轴对称的点坐标为（ ， ）； （2）请你画出关于原点O对称的； （3）若点P为轴上一动点，则的最小值等于 ． 25. 某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； （3）如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 源实验学校2025年秋季九年级期中学情诊断 数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面物体的运动不是旋转现象的是（ ） A. 风车的转动 B. 国旗的升降 C. 钟表分针的运动 D. 拧瓶盖 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的意义及在实际当中的运用． 根据在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、风车的转动是旋转，故此选项不符合题意； B、国旗的升降是平移不是旋转，故此选项符合题意； C、钟表分针的运动是旋转，故此选项不符合题意； D、拧瓶盖是旋转，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程化为，不是一元二次方程，故不符合题意； D、方程即是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 3. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 6. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：C 7. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 即， ∴， 故选：． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可求解． 【详解】解：， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的的坐标为． 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②符合题意； ③对称轴为，当和时函数值相等，都小于0， ，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 已知点和点关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 13. 已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，结合判别式公式，得到一个关于的不等式，解之，根据一元二次方程的定义，得到，解之，取两个解集的公共部分即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， 由一元二次方程定义得， 解得：， 综上可知：且， 故答案为：且． 16. 已知，是方程的两根，不解方程求下列式子的值： （1）______； （2）______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系； （1）根据根与系数的关系得到，； （2）根据计算即可． 【详解】解：（1）∵，是方程的两根， ∴，， 故答案为：； （2）； 故答案为：． 17. 已知抛物线y＝x2－2x＋5经过两点A(2，y1)和B(3，y2)，则y1和y2的大小关系是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数图像上点的坐标特征，将A(2，)和B(3，)分别代入二次函数的关系式，分别求得和的值，最后比较它们的大小即可． 【详解】解：∵抛物线经过两点A(2，)和B(3，)， ∴=4-4+5=5，即=5，=9−6+5=8，即=8， ∵5＜8， ∴＜， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 18. 定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解题中新运算定义是解答的关键．先根据题意得到方程，再根据方程解的情况得到，进而解不等式求解即可． 【详解】解：由题意，可化为，即， ∵该方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．用配方法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：，． 20. 一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【解析】 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 21. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】应邀请6个球队参加比赛． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请x个球队参加比赛，利用所有队数乘以队数减一的差得到所有数量，结合单循环除以二即可得到答案； 【详解】解：设应邀请x个球队参加比赛，由题意可得， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：应邀请6个球队参加比赛． 22. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 23. 已知一个二次函数的图像经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）先求得二次函数的顶点坐标，则可得当时，y取最小值，再结合 自变量m的范围，进而根据二次函数图像的性质求解即可； 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 根据题意得，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值， 当时，；当时，， ∴当时，n的取值范围是． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）点B关于轴对称的点坐标为（ ， ）； （2）请你画出关于原点O对称的； （3）若点P为轴上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】（1）4， （2）如图，即为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到对应点的坐标，再顺次连接即可画出； （3）作点A关于y轴对称的点，连接交y轴于点P，连接，此时的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，点关于轴对称的点坐标为； 【小问2详解】 图略 【小问3详解】 解：作点A关于y轴对称的点，连接交y轴于点P，连接，则， ∴，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 25. 某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． 【小问2详解】 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； （3）如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）由题意得可推出是等腰直角三角形，，求出直线的解析式；设，则，可得，根据 即可求解； （3）设，则，分别求出直线和的解析式，与抛物线方程联立可得，；据此即可求解； 【小问1详解】 解：令，则； 令，则，解得； ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当最大时，的面积最大； 当时，有最大值，的面积有最大值； 【小问3详解】 解：设，则， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，重点涉及了二次函数与面积问题，设点，由点的坐标表示线段的长度，进而表示图形的面积是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $