精品解析：山东省青岛第三十九中学2026-2027学年第一学期高一数学期中检测题

青岛39中2026-2027学年第一学期高一数学期中检测题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合即得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题的否定为. 3. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的真子集个数公式可求得集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 所以，集合的真子集个数为. 故选：A. 4. 若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用幂函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】因为在上为减函数，故，即， 又在上为增函数，故，即，故. 故选：C. 5. 若，则x＋y＋z的值为(　　) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据“对数的真数等于1时对数值为0”这一结论，可分别求得x,y,z的值，然后可得结果． 【详解】∵log2(log3x)＝0， ∴log3x＝1. ∴x＝3. 同理y＝4，z＝2. ∴x＋y＋z＝9. 故选A． 【点睛】本题考查对数的性质，解题时注意结论的应用，属于基础题． 6. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数是减函数列出限制条件，求解即可. 【详解】若函数在上单调递减， 则，解得， 即实数的取值范围是. 7. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，设，则，分析得出，，结合一次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】如下图所示，，则， 由已知可得，由图可知，，则，则， 且、是方程的两个根，所以， 所以. 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，全选对得6分，选对但不全得部分分，选错或不答得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 函数的值域为 【答案】BC 【解析】 【详解】若，取，则，故A错误； 已知，则且，故，故B正确； 已知，则，故C正确； 函数，令，则， 即函数的值域为，故D错误. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及二次函数的性质，逐一分析判断各选项的最值． 【详解】， ，，故， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； ，， ，二次函数开口向下，对称轴为， 的最大值为，但时，，与矛盾，故B错误； ， ， ， ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； ， ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，定义，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则必有 C. D. 存在，满足，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分段函数的图象，以及函数的性质求函数的值域，判断A，再结合函数的新定义，判断BCD． 【详解】对于A：当时，单调递增,，时,， 当时，单调递减，，所以函数的值域是,故A正确； 对于B：若，则不存在，使, 即任意，，则为函数的最大值， 因为最大值为3，即,故B错误； 对于C：，且， 所以由单调性可知，，得或， 解得：或，即，故C正确； 对于D：由C可知，当时，,， 由B可知，当时，，， 当，这时，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若幂函数在上是增函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助幂函数定义可得或，再利用增函数性质排除即可得. 【详解】由幂函数定义可得， 即，解得或， 当时，，在上是增函数，符合题意； 当时，，在上是减函数，不符合题意，舍去； 综上所述：. 13. 是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数解析式可得在上的单调性，再结合偶函数定义计算即可得. 【详解】当时，，故在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，故有， 即或，解得或， 即不等式的解集是. 14. 已知函数，，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合图像分析的取值情况，结合指数函数“爆炸式”增长特点进行分析，即可得出结果. 【详解】作出的图像如图所示， ； ， 由，得 则， 所以当时， ， 根据指数函数的“爆炸”增长速度可知， 当时，此时令，最大， 此时，所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置．） 15. 已知集合， （1）时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别求得和，再由并集的定义求得； （2）由是成立的充分条件，得，再分和两种情况分析可得. 【小问1详解】 当时,， 由，得或， 所以或； 【小问2详解】 是成立的充分条件，. ①若，则，解得； ②若，由得，解得. 综上所述，的取值范围是或. 16. 某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式； （2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？ 【答案】（1）；（2）100台时，850万元 【解析】 【分析】（1）利用利润等于销售额减去成本可得利润函数. （2）利用二次函数的性质和基本不等式可求利润的最大值. 【详解】（1）依题意有. （2）当时， 此时时，取得最大值万元； 当时， 当且仅当时，即时，取得最大值万元． 综上可知当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元． 【点睛】本题考查函数的应用，一般地，函数应用题应根据题设条件合理构建数学模型，并利用常见函数的性质、导数或基本不等式去求数学模型的最值. 17. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）确定是方程的两个根，结合韦达定理即可求解； （2）分，，，，讨论求解. 【小问1详解】 由题意知，是方程的两个根，且， 则，则. 【小问2详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为, 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 已知奇函数的定义域为． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增，证明： 由（1）可知，， 任取，且， 则， ，又， 在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）令，，转化为在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 为定义域为的奇函数， ，即， ，整理得， ，解得，故， 函数的定义域为，则，解得， 所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，由可得， 即当时，，令， 则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，则， 实数m的取值范围. 19. 定义在上的函数，满足对于任意，成立，且不恒为． （1）求的值，判断的奇偶性，并证明． （2）求证：． （3）如果，．定义“若存在非零常数T，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以T为周期的周期函数”．试证明：函数是以为周期的周期函数，并求出的值． 【答案】（1） ，函数是偶函数. 证明：令，得，所以. 因为的定义域为，所以函数是偶函数. （2）令，得， 即对任意实数都成立. 用替换，即用替换，可得. （3）因为，对于任意成立， 所以， 所以； 且， 所以. 所以，函数是以3为周期的周期函数 . 【解析】 【分析】（1）直接采用赋值思想，令即可求出的值，令即可得奇偶性； （2）先令，再用替换，即可得结果； （3）先证，再证即可得周期，先求，再求，，结合周期性即可得结果. 【小问1详解】 函数是偶函数，令，得， 即. 因为不恒为，所以，即 证明略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明略 因为，所以，即. 所以. 所以. 由（2）得，. 所以，所以，即，解得或. 因为，所以，所以， 所以. 又， 所以. 因为 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛39中2026-2027学年第一学期高一数学期中检测题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则x＋y＋z的值为(　　) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，全选对得6分，选对但不全得部分分，选错或不答得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 函数的值域为 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 11. 已知函数，定义，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则必有 C. D. 存在，满足，使得 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若幂函数在上是增函数，则___________． 13. 是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集是___________． 14. 已知函数，，若，则的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置．） 15. 已知集合， （1）时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 16. 某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式； （2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？ 17. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式：. 18. 已知奇函数的定义域为． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 19. 定义在上的函数，满足对于任意，成立，且不恒为． （1）求的值，判断的奇偶性，并证明． （2）求证：． （3）如果，．定义“若存在非零常数T，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以T为周期的周期函数”．试证明：函数是以为周期的周期函数，并求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $