精品解析：江苏省南京市六合区部分校2026-2027学年高三上学期11月期中阳光检测数学试题

高三期中阳光调研检测 2026.11 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有1个选项最符合题意． 1. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A. 6，6，6，6，6 B. 5，5，6，7，7 C. 4，5，6，7，8 D. 4，4，6，8，8 2. 设，其中，是实数，则 A. 1 B. C. D. 2 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数是定义域为、周期为2的奇函数，当时，．则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数的最大值为1，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，的定义域均为R，为的导函数．若为偶函数，且，，则（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有不止1个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 若为样本数据，，，，的中位数，则的取值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 10. 已知点的坐标为，点、在圆：上，，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 11. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 13. 设复数，满足，且，则____________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点位于双曲线的渐近线上，且．若，且，则C的离心率为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 在中，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 16. 在长方体中，，，为棱上一动点. （1）当平面时，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，求底面正方形的内切圆上点到平面距离的最大值. 17. 正项数列的前项和，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在定义域内为增函数，求的取值范围； （3）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围. 19. 某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． （1）当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”.求的值； （3）若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三期中阳光调研检测 2026.11 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有1个选项最符合题意． 1. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A. 6，6，6，6，6 B. 5，5，6，7，7 C. 4，5，6，7，8 D. 4，4，6，8，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据数据的波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小.通过观察数据的离散程度以及计算平均值和方差来得出答案. 【详解】对于A： 数据全部为6，相等，没有波动，所以方差为0. 对于B：平均数为，方差为. 对于C： 平均数为，方差为. 对于D： 平均数为，方差为. 通过比较可知，选项D的方差最大. 故选：D. 2. 设，其中，是实数，则 A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以，又，是实数， 所以， 所以. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】由于， 则， 则； 故选：B 4. 已知函数是定义域为、周期为2的奇函数，当时，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设. 5. 已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得，，设点，则， 由，可得，因为，所以解得. 6. 已知函数的最大值为1，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设可得，通过研究函数可得，随后分，两种情况讨论的最大值可得答案. 【详解】由题意，故可得：， 令，则， ， 得在单调递减，在上单调递增，从而. 当时，. 令，则在上单调递减. 注意到，则，使. 则，. 则在上单调递增，在上单调递减. 则，则时不满足题意. 当时，，令， 则在上单调递减，又， 则，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，满足题意. 综上可得：. 7. 已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，先求得最小正周期即，，再结合和在区间单调递减可求得，得到函数的解析式，代入求值即可. 【详解】由题意可知，即，则，所以， 且和是两个对称中心，且， 所以和在同一周期内， 又的一个周期内有个对称中心， 所以，即，，则， 又，解得，， 又当，时单调递减， 解得，， 所以区间为的一个子集， 所以，结合得，，可得， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数，，的定义域均为R，为的导函数．若为偶函数，且，，则（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】先由偶函数的导数为奇函数确定的奇偶性，再结合已知等式推导的周期性，进而得到的周期；利用奇偶性与周期性化简单个周期内的函数值求和，最后按周期累加得到总和. 【详解】因为是定义域为R的偶函数，即， 两边对求导得，即， 因此是奇函数，且 由，，得， 化简得，令，则， 因此是周期为4的周期函数， 由，可知同样以4为周期， 中令，得，得， 故， 由周期性，故， ，，由周期性与奇偶性，得，因此， 因此一个周期内的和为， 因为，即包含505个完整周期， 剩余3项为， 剩余3项的和为， 因此总和. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有不止1个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 若为样本数据，，，，的中位数，则的取值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意，数据从小到大排列为，即，故均有可能，不可能. 10. 已知点的坐标为，点、在圆：上，，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由直角关系把与到的距离挂钩，再用坐标展开求出的轨迹圆，从而得到的范围并判断B、C；D用"直角三角形面积不超过斜边平方的四分之一"取上界并验证等号. 【详解】由 知. 设的中点为，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得. 又，所以 ， 在中， 代入上式得，即. 设，由、得，， 代入上式得，即， 化简得，所以点在以为圆心、为半径的圆上. 对于A，，所以点在圆内，A正确. 对于B、C，由得，且，即， 于是， 所以，即， 故的最大值为（不是），最小值为（不是），B、C都错误. 对于D，为直角三角形，， 当、时、，面积恰为，D正确. 所以正确的选项是A、D. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出图象，计算出的值，结合图象可判断A选项；解不等式组，可判断B选项；由对数的运算性质可得出，求出的取值范围，结合双勾函数的单调性可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项． 【详解】函数的图象如下图所示： 对于A选项，根据图象知，，因为直线与函数的图象有四个交点，则，A对； 对于B选项，由图可知，，由，可得， 所以，B错； 对于C选项，由图可知，，则， 由得，即， 所以，化简得， 由，可得， 所以，由双勾函数的单调性可知 在上单调递减，所以， 且，当时取等号， 所以，C对； 对于D选项，由可得，所以，为方程的两根，由根与系数的关系可得， 所以 ， 当且仅当时，即时等号成立，D对． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点到线距离公式进行求解即可. 【详解】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 13. 设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：设，，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性质有，再利用模长公式计算即可得. 【详解】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点位于双曲线的渐近线上，且．若，且，则C的离心率为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】证明三角形全等，再由余弦定理求解即可. 【详解】依题意，点在的渐近线上，点在的右支上． 因为，所以． 设为坐标原点，又，分别为，的中点，则， 又，，故， 故，而，则． 在中，由余弦定理，得，解得（负值舍去）． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 在中，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 【答案】（1）证明：在中，，，设， 根据余弦定理，得， 整理得， 因为，解得（负值已舍去）， 所以， 所以为等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据余弦定理及已知可得，所以，可得结果； （2）若选择条件①，可得，可得，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若选择条件①：若 ，由（1）可知，及， 所以， 所以不存在. 若选择条件②：在中, 由, 由（1）， 所以， 解得（负值已舍去），即. 若选择条件③： 在中，由边上的高为3， 得， 由，解得. 16. 在长方体中，，，为棱上一动点. （1）当平面时，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，求底面正方形的内切圆上点到平面距离的最大值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可求线段长； （2）设内切圆上的点坐标为：，利用点到平面的距离公式结合三角函数求最值即可求解. 【小问1详解】 以为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则 ， 设，则， . 设平面的法向量为 ，则： 令，解得，故. 因为平面，所以. 即 ，解得. 所以线段的长度为1. 【小问2详解】 由（1）知，，，平面的法向量 ， 底面正方形的内切圆圆心为，半径 . 设内切圆上的点坐标为：，， 则， 所以. 点到平面距离， 设，， 则 ，其中， 当时，取最大值，为， 所以点到平面距离的最大值为. 17. 正项数列的前项和，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． 【小问2详解】 由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在定义域内为增函数，求的取值范围； （3）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入求出得到切点，再求导计算得到切线斜率，进而得到切线方程； （2）对导数式子变形、提取公因式，构造函数；由对勾函数性质得到单调性，分与两种情况讨论，判断符号，确定在定义域内恒为增函数时的取值范围； （3）利用第（2）问结论分类讨论，当时单调不减，至多一个零点，不满足条件；当时，存在两个正零点，，得到的三段单调区间，结合得到极值符号，选取特殊点与计算函数值，借助零点存在定理证明，内各有一个零点，求出的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 因为，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程是． 【小问2详解】 因为 ， 设，则在上单调递减，在上单调递增． 若，即时，则，有，，则是增函数； 若，即时，因为， 则有两个零点，记为，，不妨假设， 则，有，，则在上单调递减，不合题意； 所以的取值范围是． 【小问3详解】 当时，由（2）可知，是增函数，则在上至多一个零点； 当时，由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增．又因为，且， 所以， ． 又因为，，，， 所以在，上各恰有一个零点， 所以在区间，各恰有一个零点，所以的取值范围是． 19. 某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． （1）当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”.求的值； （3）若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】（1） 1 3 5 数学期望. （2） （3）证明：由全概率公式可知： 所以， 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概念和性质，判断随机变量可能的取值，并根据二项分布概率公式，求出分布列，进而求出数学期望； （2）根据比赛最终获胜的条件，判断在不同情况下，最后的两局胜负情况，根据条件概率计算公式，求出结果即可； （3）根据比赛最终获胜的条件，分析之间的递推关系，根据全概率公式，求出递推公式，根据的范围以及作商法比较与的大小关系，进而证明结果. 【小问1详解】 两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有， 则， ， ， 的分布列为 1 3 5 数学期望. 【小问2详解】 在前局比赛中Alpha星赢的局数时，第局全胜，最终也无法获胜，所以 ； 当时，仅当第局全胜，最终才能赢得比赛，即； 当时，第局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即 ； 当时，无论第局什么结果，都能最终赢得比赛，即 ； 综上所述， . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $