精品解析：江苏省连云港市灌南县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A、中，a可能为0，此时方程不是二次方程，故此选项不符合题意； B、含有分式，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程，符合题意； D、的最高次数为3，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．根据的半径为，点到圆心的距离为，即可求解． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，， ∴点在圆内， 故选：A． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质和三角形的内心，根据等弧的定义、垂径定理的推论、圆心角弧弦的关系及三角形的内心的性质逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、等弧需完全重合，仅长度相等不一定重合，该选项说法错误； 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，该选项说法错误； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，该选项说法错误； 、三角形的内心到三角形三条边的距离相等，该选项说法正确； 故选：． 4. 如图，中，弦、相交于点P，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 把方程转化成的形式，则的值是（ ） A. B. 5 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构，配方时需保持等式两边平衡，易错点在于左边加常数而右边忘记加相同数值，导致方程不成立；通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而确定和的值即可． 【详解】， 移项得， 配方得， 即 ， 与 比较得， ， ∴ 故选B． 6. 如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形外角定理．解题关键是利用“半径相等”将转化为等腰三角形的腰，通过外角定理推导角的倍数关系；易错点是遗漏连接辅助线，或混淆外角与内角的关系． 首先连接，由，得是等腰三角形，故；其次由三角形外角定理，得；然后由，得是等腰三角形，故；最后再由外角定理，得． 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， 而， ， ，， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理，圆心角定理，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆周角的定理，圆心角定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，线段，以O为圆心，2为半径作．点P为上的动点，连接，并将绕点A逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，作，且，连接，，证明，可得，在以点D为圆心，半径为2的圆上，结合，可得当共线时，最大，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，作，且，连接，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在以点D为圆心，半径为2的圆上， 在中，， ∴， ∵， 当共线时，最大， 即长度的最大值为. 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，三角形三边关系的应用，圆的基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 某种型号的芯片每片的出厂价为200元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，现进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为162元，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，根据降价后的出厂价为162元，列出方程． 【详解】解：根据题意，可列方程为． 故答案为：． 10. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠C＝28°，那么∠A的度数为_____． 【答案】34°． 【解析】 【分析】连接OB，由题意可得∠OBA＝90°，因为∠AOB＝2∠C＝56°，在Rt△AOB中，即可得出∠A的度数． 【详解】 解：如图，连接OB， ∵边AB与⊙O相切，切点为B， ∴∠OBA＝90°， ∵∠C＝28°， ∴∠AOB＝2∠C＝56°， ∴∠A＝90°﹣56°＝34°． 故答案为34°． 【点睛】本题考查圆的切线的性质，直角三角形的性质．解题的关键是掌握圆的切线的性质． 11. 若直角三角形的两直角边长为3、4，则该直角三角形的外接圆半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理求出斜边的长，然后再根据直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为3、4， ∴斜边长==5， ∴直角三角形的外接圆半径=． 故填：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径成为解答本题的关键． 12. 已知是方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，利用整体代入法求代数式的值．由方程根的定义可得 ，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解： 是方程 的一个根， ， 即 ， ． 故答案为：． 13. 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是__________ m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了与圆有关的计算、勾股定理、圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 14. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程、一元二次方程解的情况求参数，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 由一元二次方程定义得到，由一元二次方程有实数根得到，解不等式得到，从而确定答案． 【详解】解：是一元二次方程， ，解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ，且， 故答案为：且． 15. 如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点F，由垂径定理得，，由是的中位线，可得，由圆周角定理得，证明，推出，进而可得，最后由勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接交于点F， 是的中点， ，， 又， 是的中位线， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 的直径， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足．若，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，正方形的判定和性质等，由圆周角定理得，即得，再分当点在下方半圆上和当点在弧上两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 当点在下方半圆上时，如图，过点作于点，的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在弧上时，如图，过点作于点，的延长线于点，连接， 则， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关解方程的方法是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴． 18. 如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接．若弧的度数为，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，连接，可得，进而可得，得到，又由可得，由弧的度数为，可得，再根据三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵弧的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 19. 如图，四边形内接于，，在的延长线上取一点，连接，使．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，弧，弦，圆心角之间的关系， 先连接，再根据等边对等角及“弧，弦，圆心角之间的关系”得，，然后圆内接四边形的性质得，接下来根据“角角边”证明，可得答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴． ∵点A，B，C，D四点共圆， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 20. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，点P表示筒车的一个盛水桶，如图1．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图2．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为． （1）求该圆的半径； （2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的变为，求此时盛水桶中有水部分弓形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于点C，交于点D，由垂径定理得，设该圆的半径为，则，利用勾股定理求解即可． （2）连接，则是等边三角形，根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点O作于点C，交于点D， 依题意得，， 由垂径定理得， 设该圆的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得． 该圆的半径是； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知，， 当时， 则是等边三角形， 则， ， 即此时盛水桶中有水部分弓形AB的面积为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解直角三角形的计算，扇形的面积计算等知识，掌握垂径定理以及扇形的面积计算是解题的关键． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）先计算出根的判别式的值得到，从而可判断，然后根据根的判别式的意义可得到结论； （2）先利用求根公式得到，，再利用该方程有一个根是整数得到，然后解不等式即可． 【小问1详解】 证明： ， 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ，， 该方程有一个根是正数， ， 解得． 22. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 23. 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． （1）人行过道的宽是多少米？ （2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位．在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？ 【答案】（1）米 （2）元 【解析】 【分析】（）设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出方程解答即可求解； （）设每个摊位的月租金为元，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 答：人行过道的宽是米； 【小问2详解】 解：设每个摊位的月租金为元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽可能让利于摊主， ∴， 答：当每个摊位的月租金为元时，该夜市的月租金总收入为元． 24. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接、，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质定理，三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质和判定，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得，可得，再根据三角形外角的性质得，则此题可证； （2）先说明，可得，再根据勾股定理求出，然后根据切线长定理说明，进而得出是线段的垂直平分线，即可证明，并求出，接下来可得，求出，最后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵与相切于点D， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据勾股定理得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 根据勾股定理，得． ∵是的半径， ∴与相切． ∵与相切， ∴． ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 在中，． 25. 苏科版教材九年级上册22页有这样的内容： 一般地，在一元二次方程中，如果，那么它的两个根分别为： ，， 于是可得，， ． 由于这是法国数学家弗朗索瓦·韦达最早发现并提出的代数方程中根与系数之间的这种关系，后来人们把这个关系称为韦达定理． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若、是方程的两个实数根，则________； （2）若关于的方程（、是常数，）的两根分别为、，且其中一个根是另一个根的两倍，令，试求的最大值． （3）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，合理变形是本题解题的关键． （1）根据根与系数的关系直接求解即可； （2）根据根与系数的关系求出两根之和和积，根据两个根的数量关系，求出，的关系，代入的表达式，配方求解的最大值即可； （3）将第二个式子变形，可以得到，是同一个方程的两个根，根据求出的取值范围，再根据根与系数的关系求解要求代数式的取值范围． 【小问1详解】 解：、是方程的两个实数根， ，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：关于的方程（、是常数，）的两根分别为、， ，， 令， ，， ， ， ， 当时，有最大值4； 【小问3详解】 解：， ， ， ，是方程的两个解， ，，， ， ， ， ， ． 26. 目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①作图见解析 ，理由见解析 ② （2）证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】对于（1）①，分别作平分线，交于点I，则点I即为所求作；根据三角形的内心的性质得，再根据同弧所对的圆周角相等得，然后根据三角形外角的性质得，最后根据等角对等边得出答案；②连接，交于点L，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理求出，最后根据求出答案； 对于（2），连接，交于点E，先根据垂径定理得，，再根据“角角边”证明，可得，则答案可证； 对于（3），连接并延长交于点D，连接，先说明为等腰直角三角形，及是等腰直角三角形，再延长到点H，使得，连接，然后根据“边角边”证明，可得，进而说明，接下来说明，则答案可证． 【详解】解：（1）①如图所示； ，理由如下： ∵点I是的内心， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如图，连接，交于点L， ∵的半径是5，，且点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 所以的最大值是； （2）连接，交于点E， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，连接并延长交于点D，连接， 由题意可知平分， ∵， ∴． 由（1）得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由对称可知， ∴是等腰直角三角形， 延长到点H，使得，连接， ∵点F为的外心， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 4. 如图，中，弦、相交于点P，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 把方程转化成的形式，则的值是（ ） A. B. 5 C. 1 D. 6. 如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，线段，以O为圆心，2为半径作．点P为上的动点，连接，并将绕点A逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 某种型号的芯片每片的出厂价为200元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，现进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为162元，则可列方程为________． 10. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠C＝28°，那么∠A的度数为_____． 11. 若直角三角形的两直角边长为3、4，则该直角三角形的外接圆半径为_____． 12. 已知是方程的一个根，则的值为________． 13. 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是__________ m． 14. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围______． 15. 如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是________． 16. 如图，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足．若，，则______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）． （2）． 18. 如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接．若弧的度数为，求的度数． 19. 如图，四边形内接于，，在的延长线上取一点，连接，使．求证：． 20. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，点P表示筒车的一个盛水桶，如图1．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图2．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为． （1）求该圆的半径； （2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的变为，求此时盛水桶中有水部分弓形的面积． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为正数，求的取值范围． 22. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 23. 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． （1）人行过道的宽是多少米？ （2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位．在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？ 24. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接、，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 苏科版教材九年级上册22页有这样的内容： 一般地，在一元二次方程中，如果，那么它的两个根分别为： ，， 于是可得，， ． 由于这是法国数学家弗朗索瓦·韦达最早发现并提出的代数方程中根与系数之间的这种关系，后来人们把这个关系称为韦达定理． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若、是方程的两个实数根，则________； （2）若关于的方程（、是常数，）的两根分别为、，且其中一个根是另一个根的两倍，令，试求的最大值． （3）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 26. 目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $