精品解析：广东省上进联考2026-2027学年度上学期高二年级11月供题训练数学

高二年级11月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量与向量共线，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，共线得，所以，，则. 2. 直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线的斜率，所以. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的标准方程为，所以圆的圆心，半径， 所以，两圆外切. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将一般式化成斜截式，再利用两直线平行的充要条件列关系式. 【详解】若，和不平行，舍去； 若，和不平行，舍去； 所以、均不为，和的方程分别可化为和， 因为两直线平行，所以，得，. 5. 已知直线的一个方向向量，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， 所以点到直线的距离为． 6. 若直线与直线关于对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与的交点，再在上取点，计算出所取点关于的对称点，利用两点即可求直线的方程. 【详解】由，得，所以点在直线上， 在上取点，则点关于直线的对称点必在直线上， 所以，解得，故， 所以直线的方程为，即. 7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，则，，再判断出最大时，最大，也最大，最大，最后利用二倍角公式计算即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心，圆的半径为1， 点在直线上，点到直线的距离为， 所以. 连接，，则，， ，，则， 所以最大时，最大，也最大，最大. 当时，， . 8. 已知正方体的棱长为1，动点满足，且，，则点轨迹构成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体，利用已知条件找出点的位置，即可得到点轨迹构成的几何体. 【详解】如图，构造长方体，使得棱，，，的中点分别为，，，， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，由，， 可得点在三棱柱的表面或内部， 结合，可得点又在平面上或其上方， 所以点的轨迹是由三棱锥及三棱柱组成的组合体， 所以所求体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则（ ） A. ，，一定不共面 B. ，，可构成空间的一个基底 C. ，，可构成空间的一个基底 D. 存在不全为0的实数，，，使得 【答案】AC 【解析】 【详解】对于AD,由构成空间的一个基底，可得A正确，D错误； 对于B,因为，所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C,假设存在，使得，则无解， 所以，，不共面，可构成空间的一个基底，故C正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 不是每条直线都有斜率 B. 过不同两点，的直线方程为 C. 圆关于直线对称 D. 以点，为直径的圆的方程为 【答案】ACD 【解析】 【详解】当直线的倾斜角为时斜率不存在，故A正确； 当或时，没有意义，故B错误； 直线经过圆的圆心， 故圆关于直线对称，C正确； 设是以为直径的圆上任意一点， 易得，即，故D正确. 11. 已知直线，则（ ） A. ，直线不过原点 B. 当时，直线经过第一、二、三象限 C. 存在圆，对，与相切 D. 当在，轴上的截距之比为2时，与直线没有公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将原点代入直线方程，验证该方程不成立即可；对于B，计算出直线在轴和轴的截距，并判定符号即可；对于C， 设，可得点到直线距离为定值即可判断；对于D，利用截距关系，转化直线方程得，可判定任意点不会同时满足两直线方程，从而得到两直线没有公共点. 【详解】对于A，把代入的方程得， 因为， 所以满足的不存在，故A正确； 对于B，当时，，，在轴上的截距，在轴上的截距，所以直线经过第一、三、四象限，故B错误； 对于C，设，则点到直线的距离为，所以对，与以点为圆心、3为半径的圆相切，故C正确； 对于D，在，轴上的截距之比为2，可得， 所以，代入的方程，可得， 满足该方程的一定不满足， 即与直线没有公共点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，点，分别为，的中点，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】， 所以，，则. 13. 已知的一个方向向量的坐标为，且与直线平行，若，之间的距离为，则的一个斜截式方程为__________. 【答案】（或） 【解析】 【详解】由的一个方向向量的坐标为，可得的斜率， 因为，所以. 设的方程为，，之间的距离为，所以，解得或， 所以的方程为或， 化为斜截式为或. 14. 数学家欧拉曾发现：在任意三角形中，三边的中点、三条高的垂足、垂心与三个顶点连线的中点共圆，这个圆称为该三角形的九点圆.若，，的垂心为，则的九点圆的方程为__________；该九点圆截直线所得弦长为__________. 【答案】 ①. （写成也正确） ②. 【解析】 【分析】先根据中点坐标公式求出中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程；利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可求出弦长. 【详解】由已知可得九点圆经过的中点，的中点，的中点， 设的九点圆方程为，则 解得，，，所以九点圆的方程为. 该圆的圆心坐标为，半径为，直线的斜率为， 因为，所以的斜率为，直线的方程为， 圆心到的距离为，所以该九点圆截直线所得弦长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点. （1）若直线过点，且一个方向向量为，求的方程； （2）求以为圆心且与直线相切的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由为直线的方向向量，可得的斜率为， 因为直线过点， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为圆与相切，所以圆的半径等于点到直线的距离， 所以圆的半径， 所以圆的方程为. 16. 如图，在三棱柱中，，，. （1）用，，表示； （2）若，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的加减法运算法则，用空间基底表示待求向量； （2）先由和分别计算和的值，再将转化为基底向量，，间的运算，最后代入已知条件和已求数据求值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，，所以. 因为，所以， 又因为，，所以. 因为， 所以. 17. 已知空间四点，，，. （1）求以，为邻边的平行四边形的面积； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以，为邻边的平行四边形的面积是面积的2倍，故先求，和进而求的面积； （2）向量法求点到平面的距离，结合（1）中的面积即可求得三棱锥体积. 【小问1详解】 由已知得，， 所以，， ， ， ， 以，为邻边的平行四边形的面积是面积的2倍，为. 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，得，取，则. ，点到平面的距离， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，，四边形是边长为的正方形. （1）证明：平面平面； （2）已知，过点作的垂线交于，点为棱上一动点（含端点）. （i）若平面，求； （ii）设直线与平面所成角为，若，求的取值范围. 【答案】（1）因为，所以， 所以，因为四边形是正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用可证明，再利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可； （2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用求出点坐标，从而可求平面的法向量为，（i）设，利用即可求；（ii）利用线面角的向量求法即可求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及，可得，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设，则， 因为，所以，解得，所以. 设平面的法向量为， 则 即，取，得， 设，则， . （i）因为平面，所以， 所以，所以解得，即. （ii）由已知得， 整理得，解得或， 又因为，所以的取值范围是，即的取值范围是. 19. 已知圆，点，，对圆上任意一点，均有（为常数，且）. （1）求与的值； （2）已知圆与轴交于点，，动点在直线上，且不在轴上，直线，分别与圆交于点，. （i）证明：直线过定点，并求出该点坐标； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）， （2）（i）由（1）知圆，不妨设，，，其中，并记，． 由，且为直径，连接，得，所以． 因，不共线，且分别为与圆的另一交点，所以均不在轴上， 故且． 由，知，从而直线的斜率存在． 设，联立圆方程得， 所以，． 将的分子展开，得． 代入上述根和与根积，并同乘，得． 其中含的项合并为， 故． 又，故，从而， 所以直线恒过定点． （ii） 【解析】 【分析】（1）利用距离比列恒等式，比较系数求与． （2）（i）利用直径所对的圆周角建立斜率关系，联立直线与圆的方程求定点； （ii）用交点横坐标表示面积，确定参数范围后求值域． 【小问1详解】 设，则，由得． 该式对恒成立，比较系数得，， 解得，又，，故，． 【小问2详解】 （i）略． （ii）由（i）知，，故分居轴两侧， 四边形的面积． 代入根和与根积，得． 将代入圆方程，得，由在上， 得，即． 任给实数，该方程的判别式为，两根之积为， 故存在非零实数，所以可取任意实数． 令，则，且． 二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，故． 从而． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级11月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量与向量共线，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 2. 直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的一个方向向量，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线关于对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，动点满足，且，，则点轨迹构成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则（ ） A. ，，一定不共面 B. ，，可构成空间的一个基底 C. ，，可构成空间的一个基底 D. 存在不全为0的实数，，，使得 10. 下列结论正确的是（ ） A. 不是每条直线都有斜率 B. 过不同两点，的直线方程为 C. 圆关于直线对称 D. 以点，为直径的圆的方程为 11. 已知直线，则（ ） A. ，直线不过原点 B. 当时，直线经过第一、二、三象限 C. 存在圆，对，与相切 D. 当在，轴上的截距之比为2时，与直线没有公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，点，分别为，的中点，若，则__________. 13. 已知的一个方向向量的坐标为，且与直线平行，若，之间的距离为，则的一个斜截式方程为__________. 14. 数学家欧拉曾发现：在任意三角形中，三边的中点、三条高的垂足、垂心与三个顶点连线的中点共圆，这个圆称为该三角形的九点圆.若，，的垂心为，则的九点圆的方程为__________；该九点圆截直线所得弦长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点. （1）若直线过点，且一个方向向量为，求的方程； （2）求以为圆心且与直线相切的圆的方程. 16. 如图，在三棱柱中，，，. （1）用，，表示； （2）若，，，求. 17. 已知空间四点，，，. （1）求以，为邻边的平行四边形的面积； （2）求三棱锥的体积. 18. 如图，在三棱柱中，，四边形是边长为的正方形. （1）证明：平面平面； （2）已知，过点作的垂线交于，点为棱上一动点（含端点）. （i）若平面，求； （ii）设直线与平面所成角为，若，求的取值范围. 19. 已知圆，点，，对圆上任意一点，均有（为常数，且）. （1）求与的值； （2）已知圆与轴交于点，，动点在直线上，且不在轴上，直线，分别与圆交于点，. （i）证明：直线过定点，并求出该点坐标； （ii）求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $