广东省汕头市2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选掸性必修第一册第二章。 欧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.2020~2025年我国人均国内生产总值（单位：元）分别为73338,83111,87385,91746， 如 95677,99665,则这组数据的上四分位数是 A83111元 B.91746元 C.95677元 D.87385元 2.已知直线1的倾斜角小于牙，则1的斜率可能为 A号 B c-号 B. 3 3.已知圆M:x2+y2一ax一2ay十5=0，则a的取值范围为 A（-1,1) B.(-o∞，-1)U(1,+∞) C.（-2,2) D.（-o,-2)U(2,+∞) 4.在空间直角坐标系Oxyz中，A(一1,3,1)，B(一1，一2,2)，则点A到直线OB的距离为 A.√10 B.10 C.5 D.5 國 5.若直线l1:az-4y十5=0与直线l2:6x十8y十5=0平行，则l1与l2之间的距离为 A.-a B.a C.-ga 0& 6.已知空间向量AB=(1,2,一1)，AC=(0,1,1),AD=(1,3,),且A,B,C,D四点共面，则t= 折 A.-1 B.0 C.1 D.2 7.一条光线从点P(一3,1)射出，经过x轴反射之后，射到圆M:(x一1)2十(y一2)2=1上的点 Q,则该光线从点P到点Q所经过的路程的最小值为 A.6 B.5 C.4 D.3 [高二数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2A十cosA+cos(B-C)=2,则A的 最大值为 A晋 B骨 C. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C,D,中，E,F分别为AB,DD,的中点，以(2DA, 2D心，DD}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A.E的坐标为(1,2,0) B.B的坐标为(2,2,0) C.EC1=(-2,1,2) D,异面直线EC,与BF所成角的余弦值为号 10.已知函数f(x)=sin(uz-妥）(w>0),且fz)=f(z+x),f(x)在[0，]上单调，则u 的值可能为 A.2 B.3 C.4 D.6 -x一3，x<-3, 11.已知函数f(x)={一√一x2-4x-3,一3≤x≤一1，对任意xo∈R,定义集合D(x0)= 32,x>-1, (t∈R|xof(t)≤f(xo).设O为坐标原点，点A(x1,f(x1)(x1<0),当直线OA的斜率 取得最大值时，则 A.-4∈D(x1) B.-2∈D(x1) c.- D.∈D(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.|3-4i-2-3i=▲ 13.某游客计划从雕塑类中的石湾公仔、潮州木雕、广州榄雕与非雕塑类中的东莞莞香、肇庆端 砚这五件伴手礼中随机购买两件，则该游客至少买到一件非雕塑类伴手礼的概率 为▲ 14.在空间直角坐标系Oxyz中，A(一1,1,0)，B(2,2,0),C(2,一2,0)，D(a,b,3)均在球M的 球面上，则△ABC外接圆的半径为▲，球M半径的最小值为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APP 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知△ABC的三个顶点分别是A(一1,2)，B(2,3),C(0,4). (1)求直线AB的一般式方程； (2)设边AB上的高所在直线为L,求1与两坐标轴所围成的三角形的面积. 16.(15分) 已知EF是边长为2的正方形纸片ABCD的中位线，将该纸片沿EF折成二面角A-EF-C, 如图所示 (1)用基底(A克，AB,F式)表示向量A方，A心 (2)若二面角A-EF-C为直二面角，求A京，A乙； (3)若|AC1=√7，求二面角A-EF-C的大小. D 9 17.（15分) 已知圆O:x2十y2=1,动点M与点O的距离是它与点B(3,0)的距离的2倍.记点M的轨 迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)判断曲线C与圆O的位置关系，并说明理由； (3)若过点(3，一2)的直线L与曲线C交于E,F两点，且EF|=2√，求1的方程： CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APP 18.(17分) 将底面半径为2的圆柱沿过中心轴的平面截成两个半圆柱，将其中一个半圆柱沿截面所在 的平面向右水平平移4个单位长度，得到的立体图形如图所示，且正方形ABB1A, BCC1B1分别为半圆柱O01,O2O3的轴截面，D,D1,E分别是AB,A1B1,BC的中点. (1)证明：E03平面ODD1O1. (2)已知P为线段DD1上的一个动点. ①若PD=3PD1,求点C1到平面PEO2的距离； ②若直线B0,与平面PE0,所成角的正弦值为85，求D的值。 D B C P D 02 19.(17分) 已知圆M的圆心M在直线y=-方x上，且圆M经过C(2,2),D(2,一4)两点， 1 (1)求圆M的标准方程， (2)已知直线Z:lx十(L十1)y一4=0. ①证明：l与圆M相交， ②若L与圆M交于A,B两点，点P(6,0),直线PA,PB分别与直线x=一2交于不重 合的点E,P,且点E,F的纵坐标分别为y3,y,求|y3十y的取值范围. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ADP 高二数学参考答案 题序 10 11 12 13 ? C EC ACD 1 5 7 答案 C D B B AC 3-3i 1 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分， 【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分：第11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分.每选对一个得2分 【3】第12题，凡与答案不符的均不得分；第13题，答案还可以写成“0.7”：第14题，答对第一空 得2分，答对第二空得3分. 1.C【解析】本题考查上四分位数，考查数据处理能力， 因为6×75%=4.5，所以这组数据的上四分位数是95677元. 2.A【解析】本题考查直线的倾斜角，考查数学运算的核心素养 设1的倾斜角为a(0≤。<.由0Ca<骨，得0≤ana<1,所以1的斜率可能为号 3.D【解析】本题考查圆的一般方程，考查数学运算的核心素养 由题意得(-a)2+(-2a)3一4X5>0,得a<-2或a>2. 4.A【解析】本题考查空间中点到直线的距离，考查数学运算的核心素养。 因为OA=(一1.3,1)，OB=（一1，一2.2).所以点A到直线OB的距离为 OA+-( A·0B=√/o 5.C【解析】本题考查两条平行直线间的距离，考查敛学运算的核心素养。 由题意得8a=一4×6，得a=一3.由一3.x一4y十5=0，得6x十8y一10=0，所以11与l,之间 的距离为一10-5-3=_1 √/6+8 2=-24. 6.B【解析】本题考查四点共面，考查数学运算的核心素养。 x=1 y=1. 设AD=xAB+yAC.则(1.3.l)=(r,2.x十y,-x十y),得2.x+y=3,得{x=1. -x+y=1,=0. 7.C【解析】本题考查光线的反射、点与圆的位置关系，考查直观 想象与数学运算的核心素养 如图，设该光线与x轴交于点A.由题意得P关于x轴对称的 点为P,(-3,一1)，易得|PA=|P,A,P,M=5,所以该光 线所经过的路程为|PA十|AQ|=IP,A|+AQ=|P,QI≥ 【高二数学·参考答案第1页（共8页）】 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ADP |P,M|一1=4.故该光线所经过的路程的最小值为4. 8.B【解析】本题考查三角恒等变换、解三角形、均值不等式，考查数学运算与逻辑推理的核心 素养 2cosiA+cos A+cos(B-C)=2(1-sin'A)-cos(B+C)+cos(B-C)=2-2sinA+ 2 sin Bsin C=2,所以sin2A=sin Bsin C.由正弦定理得a2=bc,则cosA=6+c-Q= b+c2-bc_62+c2_12bc_1=1 2bc 2c一2≥2一2=2，当且仅当6=c时，等号成立，所以c0sA的最小值 为2，又A∈(0，)，所以A的最大值为5 9.BC【解析】本题考查空间直角坐标系、异面直线所成的角，考查数学运算的核心素养与空间 想象能力 由题意得E(2.1.0),C,(0.2.2),B(2.2,0),F(0,0.1).则EC=(-2.1,2).B=(-2, 一2.1)，所以异面直线EC,与BF所成角的余弦值为 EC·Bi JECBFI =号，B,C均正确A,D 均借误 10.AC【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养 设∫)的最小正周期为T,则T-石由f(x)=了x十x),得T-2张=xk∈z),则w 2kk∈z.由z∈[o.]得r-晋[-子。f] 因为函数y=si如在[-乏，]上单调递增，所以语-晋≤受得0<<1. 综上o=2或4. 11.ACD【解析】本题考查新定义、二次函数、分段函数、函数的单调性、不等式、直线与圆，考 查数学抽象、逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养 当-3≤.x≤-1时，由y=-√-x2-4z-3,得(x十2)十y2=1(y≤0)，此时.∫(.x)的图 象是圆心为C(一2.0)，半径为1的圆的下半部分，当x<0时，作出∫(x)的大致图象，如图 所示. 由图可知，当直线OA与圆的下半部分相切时.斜率最大.此时设直线 OA的方程为y=kx,则点C(一2.0)到直线OA的距离d=- |2k +1 =1,解得太=士由图可知，应取-若x,<0,则D(x)= eR≥/==eRru≥9》 当1<-3时0)=-1-8≥写，得<-3-写：当-3C≤-1时，0)≤0，不符合题 【高二数学·参考答案第2页（共8页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 意当>1时，0)=8≥号-9，得≥2 综上，D,=(-o,-3-]u[-2+) 故-1∈D(x).-2∈D(x1),2∈D(x).-2ED(x) 12.3一3i【解析】本题考查复数的模、四则运算，考查数学运算的核心素养 |3-4i-2-3i=5-2-3i=3-3i. 13.品【解析】本题考查古典概型，考查应用意识， 将雕塑类中的石湾公仔、潮州木雕，广州榄雕分别编号为1,2.3，非雕塑类中的东莞莞香、笨 庆端砚分别编号为a,b.这个试验的样本空间为(1,2).(1.3).(1，a).(1.b).(2.3),(2,a). (2.b),(3,a).(3.b).(a,b)).共包含10个样本点.记事件A=“该游客至少买到一件非雕 塑类伴手礼”.则A=(1,a)、(1.b).(2a).(2.b).(3.a).(3.b).(a,b).包含7个样本点， 所以P(A)= 7 16:号 【解析】本题考查用空间向量求球的半径，考查数学运算的核心素养与空间想象 能力. 由题意得A,B,C均在平面Oxy上.设△ABC外接圆的半径为，球M的半径为R.由题意 得B所=(-3，-1.0)，BC=(0.-4,0),AC=(3、-3.0),得co5B.BC)= BA·BC BABCI .c=36.则n,d=3yG所以r √10 lACI =√5.设点D在平面a 2sin(BA,BC) 上，且平面a平面ABC,则平面a与平面ABC间的距离为3.设点M到平面ABC的距离 r2+x2=5+x2=R 为x,点M在平面a上的投影为点M,则 DMi+(3-r2=R,消去R,得6r=4+DM. 当点D与点M,重合时，x取得最小值，R取得最小值，且x的最小值为号，R的最小值 的 15.【解析】本题考查直线的方程、直线的垂直，考查数学运算的核心素养 3-21 解：(1)因为直线AB的斜率kM=2-(-1)=3 ，…2分 所以所求直线的方程为y=号（红+1）+2. …4分 一般式方程为x一3y十7=0.… 6分 (2)由题意得1的率为三一3、…严 …8分 【高二数学·参考答案第3页（共8页）】 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 则l:y=一3江十4，…10分 令y=0,得x=号：令x=0,得y=4,… …12分 1、, 故1与两坐标轴所围成的三角形的面积为2× 8 34= 3· …13分 【评分细则】 第(1)问还可以这样求直线的方程： 因为直线AB的两点式方程为二号=二（一1》 3-22-(-1) …3分 所以所求直线的一般式方程为x一3y十7=0.…6分 16.【解析】本题考查空间向量的线性运算与数量积、二面角，考查数学运算与逻辑推理的核心 素养。 懈：(1)AF=AE十E7=A它十A它.…2分 A=A+F心=i+AB+F元.…4分 (2)因为FC⊥EF,平面ABFE∩平面EFCD=EF.二面角A-EF-C为直二面角，所以FC ⊥平而ABFE.…5分 因为AEC平面ABFE,所以FC⊥AE …6分 故AF.AC=(A它+E)·(AE+AB+FC)=A+AE.AB+AE.FC+E京，AE+ E7.A馆十Ef.FC=1十2X2=5,…9分 (3)设A与FC的夹角为a(0<a<π). 因为IAC]=V(AE+AB+FC) =√AE+AB+FC+2AE·AB+2AE·FC+2AB·FC =√1十十1十2X1X1Xc0sa=√7，…12分 所以cosa=2· 13分 又0<a<π，所以a= 3· …14分 因为FC⊥EF,BF⊥EF,平面ABFE∩平面EFCD=EF, 所以二而角A-EF-C的平面角为∠BFC, 所以二面角A-EF-C的大小为元一a=红 3 …15分 【评分细则】 第(2)问还可以这样解答： 因为FC⊥EF,平面ABFE∩平面EFCD=EF,二面角A-EF-C为直二面角，所以FC⊥平 面ABFE.…5分 因为AFC平面ABFE.所以FC⊥AF. …6分 易得AF=5,AC在A庐上的投影为A庐，所以A正.C=A=5.…9分 【高二数学·参考答案第4页（共8页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 17.【解析】本题考查圆的轨迹方程、圆与圆的位置关系、直线被圆截得的弦长，考查数学运算的 核心素养与分类讨论的数学思想， 解：(1)设M(x,y).由题意得1MO|=2MB引.则Vx+y2=2√(x-3)+y,…2分 化简得x2一8xr十y°+12=0，即曲线C的方程为(x一4)2十y2=4.…4分 (2)因为圆O的圆心为O(0.0).半径为1，圆C的圆心为C(4.0).半径为2，且1OC=4>2 十1=3、…6分 所以曲线C与圆外离。…8分 (3)设点C到l的距离为d.由|EF|=2√4-d=23,得d=1.…10分 当1的斜率不存在时，lx=3,符合题意 ，…11分 当l的斜率存在时，设l:y=k(2一3)一2，即l:kx一y一3k一2=0.…12分 由d=3二2到-1，得6=，所以4y=是x- …14分 √k+1 317 故1的方程为.x=3或y=x一 4 …15分 【评分细则】 【I】第(1)问中，曲线C的方程也可以写成“x一8x十y2+12=0” 【2】第(2)问中，只写了“曲线C与圆O外离”，未说明理由，给1分；直接写“因为|OC引=4> 2十1=3，所以曲线C与圆O外商”，不扣分， 【3】第(3)问中.l的方程也可以写成“x=3或3.x一4y一17=0” 18.【解析】本题考查线面平行、点到平面的距离、线面角，考查数学运算、逻辑推理的核心素养与 空间想象能力， (1)证明：因为D是AB的中点，所以OD⊥AB.以O为原点，DO.OC,OO,所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， …1分 则E(2.4.0).0,(0,4.4),得E03=(-2.0.4). …2分 易得平面ODD,O,的一个法向量为n=(0,1, 0）.…3分 因为EO3·n=0,所以EO为⊥n.…4分 又EO3正平面ODD,O,,所以EO,∥平面 D ODD,O,. …5分 (2)解：由(1)得O:(0.4,0).设P(-2.0,a),0≤ a≤4.得E0:=(-2,0,0),0P=(-2,-4,a). ……6分 |m·E01=-2.x=0, 设平面PEO3的法向量为m=(x,y,z),则 …8分 m·O2P=-2.r-4y十az=0, 得x=0,取y=a,则2=4，得m=(0,a,4). …9分 ①当PD=3PD1时，a=3.m=(0,3,4).因为C1(0,6,4),O:C1=(0,2,4),…10分 【高二数学·参考答案.第5页（共8页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP O,C1·m 所以点C,到平面P0,的距离为m 22 …12分 ②由(1)得B(0,2,0),B03=(0,2,4), 13分 BO3·m 5 所以直线BO,与平面PEO:所成角的正弦值为 u+8_9V√85 BO,I m ya+16 85 15分 化简得4a-17a+13=0,得a=1或号 …16分 品-或号 …17分 【评分细则】 【1第(1)问还可以这样证明： (方法二)如图，连接O:O.…1分 D 因为00/00，O:0,平面ODDO,.O0,C平A B O 面ODD,O,所以OO平面ODD,O,.…2分 因为O,E∥OD,O,Et平面ODD,O,.ODC平面 ODD,O,,所以O:E平面ODD,O1.…3分 D 因为O.O3∩O,E=O2,0,O,O,EC平面 O,O,E.所以平面OOE平面ODD,O1.… …4分 因为EO,C平面O:O,E.所以EO,平面ODD,O. …5分 (方法三)如图，连接OD,OE,DO,D,O,OO3 …1分 因为ODO:E,OD=OE,所以四边形ODO,E是 平行四边形.所以OE∥DO,OE=DO.…2分 因为DD,∥O,O,DD,=O:O,所以四边形 D DD,O,O,是平行四边形，所以D,O,∥DO,D,O, /O =D02,…3分 所以D,O,OE.D,O、=OE,所以四边形D,O,EO是平行四边形，所以EOOD,.… …4分 因为EO,平面ODD,O,.OD,C平面ODD,O,所以EO平面ODD,O1.·5分 【2】第(2)问中，平面PEO3的法向量不唯一，只要是与m=(0.a,4)平行的非零向量即可. 【3】第(2)问还可以这样解答： ①由(1)得0，(0,4,0)，P(-2.0,3),C,(0.6,4),得E0=(-2,0.0).0P=(-2.-4, 3),0.C1=(0,2,4). …6分 |m·E0:=-2.x=0. 设平面P0,的法向量为m=(xy.).则m.0,市=-2x-4y+3:=0. …7分 【高二数学·参考答案第6页（共8页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APp 得.x=0,取y=3,则2=4，得m=(0,3,4),…8分 所以u点C到平面P0,的距离为O-号 …10分 ②由(1)得B=(0.2.0).设P(-2.0,a).0≤a≤4，得O2P=(-2,-4a).B0=(0.2.4). …11分 u·EO2=-2x'=0. 设平面PEO2的法向量为u=(x'y':'),则 …12分 u·OP=-2x'-y'+a2'=0, 得x'=0,取y=0,则=4，得=(0，a,4),…13分 所以直线BO,与平面PEO,所成角的正弦值为 B0:·|=5.a+8=9/85 85 …15分 13 化简得4a°-17a十13=0，得a=1或 …16分 故品-或号 ……0…… 17分 19.【解析】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查数学运算与数学抽象的核心 索养。 (1)解：由题意得线段CD的中点为(2，一1)，则线段CD的中垂线方程为y=一1.…1分 1 由y=一2得工=2，则圆M的圆心坐标为(2，-1)半径为2-（一1）=3，…2分 y=-1. 所以圆M的标准方程为(x一2)十(y+1)=9. …3分 (2)①证明：由1x+(t+1)y-41=0,得(x+y-4)1+y=0,令 |x十y-4=0, 得x=4,… y=0. …5分 所以l经过定点(4.0).… …6分 因为(4一2)十(0十1)<9，所以点(4.0)在圆M内，所以l与圆M相交.·8分 @解：当1的斜率存在时*一1由+《十1y一=0，得y=本+0 因为-本=-1十，中-1.所以1的斜率不为-1.9分 当l的斜率为0时，点E与点F重合，不符合题意.…10分 当l的斜率不为0时，设点A(x1y1).B(x2y),l:x=my十4，m≠-1. 由仁=my+4, 得(m°+1)y°+(4m十2)y一4=0，…11分 1(x-2)2+(y+1)2=9. 得十：=一m+3 4 m2+y=- …12分 m2+1 由-mB(-2.得-安6产6得= 8y1 8y1 8y1 一-6=一my十4-6=一my,-2 …13分 【高二数学·参考答案.第7页（共8页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APP 同理可得y= 8y: iny:-2 则|y3十y= 18y1 1y=2m8228nmg二2）十y12》 (my1-2)(my-2) ·2m+2. 4m+2 2y1Jy-2(y1十y:） m2+1 m2+1 8 =8 =8 my1y2-2m(y1+y2)+4 4m? m+1+2m. 4㎡十2 2m2+m+ m2+1 +4 …15分 8 2m+》°+ 因为2(m十+≥所以0< 8 64 2(m+)+ …16分 8 又m≠-1.且m可取分，所以十，的取值范围为(0，] …17分 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样证明： 2q, 设M:(x-a)2+(y-b)?=R2.由题意得 (2-a)2+(2-b)2=R. …1分 (2-a)°+(-4-b)2=R, a=2, 得b=-1, …2分 R2=9, 所以圆M的标准方程为(.x一2)2十(y+1)=9. …3分 【2】第(2)①问还可以这样证明： 圆心M到1的距离d=12二1+1)一4=13+1 …4分 VT+(1+1) √2+21+] d-3=131+11-3V2+21+ .因为(31+1)2-9(212+21+1)=-9°-12-8=-91 V21+2+1 +号）-小K0,…6分 所以(31十1)<9(212+21十1).得|31+1|<3√21十21十1.…7分 所以4-3=3+-3V2+21币<0.得d<.故1与圆M相交.…8分 √22+21+1 【高二敌学·参考答案第8页（共8页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APP