精品解析：上海市虹口区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025学年初三第一学期期中学情调研 数学学科 （满分150分，时间：100分钟） 2025.11 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，在答题纸相应题号选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 计算：＝（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了向量运算． 直接进行向量运算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图，在中，，那么的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键． 根据锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 故选：A． 3. 在一张比例尺为的地图上，量得A、B两点的距离是10厘米，那么A、B两点的实际距离是（ ） A. 5米 B. 50米 C. 500米 D. 5000米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据比例尺的定义，图上距离与实际距离的比为，进行计算并进行单位换算即可． 【详解】∵比例尺为， ∴实际距离图上距离． ∵， ∴． ∴A、B两点的实际距离是50米． 故选B． 4. 如果，那么与也相似．这一事实的数学依据是（ ） A. 等量代换 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形相似的传递性 D. 相似三角形的预备定理 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，具体是相似关系的传递性． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据相似三角形的传递性，． 故选C． 5. 一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ） A. 15厘米、18厘米 B. 20厘米、24厘米 C. 25厘米、50厘米 D. 36厘米、60厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 6. 如图，点D、E分别在边上，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键．连接，推导出，，继而推导出，证明，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据得出，故，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 整理得， 因此， 故答案为：． 8. 两个相似三角形的对应边上的中线长之比是，那么这两个三角形的相似比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质，对应线段（如中线）的比等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：已知两个相似三角形的对应边上的中线长之比是， ∵相似三角形的对应中线之比等于相似比， ∴这两个三角形的相似比为． 故答案为：． 9. 线段长为4，点C是线段的一个黄金分割点，且，那么的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义，点C是线段的黄金分割点且时，是较长部分，与的比等于黄金比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵线段长为4，点C是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 则， 故答案为：． 10. 如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆C处时，另一端D处就会撬动石头．已知动力臂米，阻力臂米，如果杠杆D端被向上撬起米，那么此时要将杠杆的C点向下压的长度是_______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 证明，得到，代入求出的值即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 11. 如图，在中，点G是的重心，过点G且平行于，分别交于点E、F，那么的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，重心的性质，掌握知识点是解题的关键． 连接并延长，交于点，由三角形的重心的性质可知，由，根据相似三角形的判定可知，得出，最后由，得出，从而求出． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 为的重心， ， ， 过点且， 在和中， ， ， ． 又， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，在中，点D、E分别在边上，且．如果，，用向量、表示向量_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和平面向量的线性运算，掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义是解决问题的关键． 根据平面向量的三角形法则，可得和，由平行线分线段成比例可得，进而即可得解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 在等边中，是边上的高，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理的应用和向量的线性运算，掌握向量的线性运算是解决本题的关键． 设等边的边长为a，先根据勾股定理和等边三角形的性质求出，再根据向量的线性关系可得，进而通过计算模的比值即可得解． 【详解】解：设等边的边长为a， ∵， ∴是边上的中线，故H为中点， 由勾股定理得，， ∴， 由图可得，， ∵等边的边长为a， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，顶点G、F分别在边、上．如果，的面积是24，那么的长是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．作于，交于，利用三角形的面积求出，设正方形的边长为，证明，根据相似的性质即可得到答案． 【详解】解：作于，交于， 四边形是正方形， ， 的面积是24， ， ， 设正方形的边长为，则，， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 16. 定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分,称这条直线为“绝美分割线”．如图,在梯形中,, ,一条与平行的“绝美分割线”分别交边、边于点E、F,那么的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间线段成比例，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键； 过点D作，交于点M,交于点N，先证明四边形，是平行四边形，得到,，推导出，得到, 设，则，再由,得到,列方程求出k的值即可 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点M，交于点N， ∵， ∴四边形是平行四边形, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴,四边形是平行四边形， ∴，， 设， 则， ∴，即， ∵是在梯形 “绝美分割线”，, ∴, 即， 解得， ∴ 故答案为： 17. 在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至射线，点C、D的对应点分别是E、F，点E在边上，，连接交于点G，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，轴对称图形的性质，勾股定理，根据题意作出图形，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，由得到，因此，从而，设，，证明，得到，求得，由轴对称的性质可得，从而，根据勾股定理在中求得，由得到，从而，进而即可解答． 【详解】解：如图 ∵， ∴设，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵沿直线l翻折至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 18. 已知：，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式的值，解题的关键是掌握比例的性质。根据比例的性质可设，巧用未知数表示比值，转化为方程求解，解得，于是可求出的值． 【详解】解：∵ ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴． 19. 如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． （1）求的长； （2）点O是直线与的交点，如果，求的长． 【答案】（1）的长为 （2）的长为5． 【解析】 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，由，得到，即，求出，即可解答． （2）先推导出，，求出，，则，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 答：的长为． 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 答：的长为5． 20. 如图，在中，，，垂足是D． （1）如果，，求的长； （2）如果，求的正切值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，得到， ，，则，即可解答． （2）先证明，，得到，则，代值求出，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 答：的长为9． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或（不符合题意，舍去） ∴． 答：的正切值为． 21. 某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究． 现有一张直角梯形纸片（如图1），，． （1）有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ； （2）有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形． 要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l； ②写出直线l的与梯形的边的交点位置； （简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点） ③直接写出图形S与梯形的面积比． 【答案】（1）． （2） ①如图，在上截取，作直线，即直线， ②点O是的一个三等分点；③ 【解析】 【分析】本题考查直角梯形，平行线间线段成比例，矩形的判定与性质，全等三角形的判定，平行公理的推论，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，过点Q作于点E，推导出四边形是矩形，得到，继而推导出，，得到，则，得到，即可解答． （2）在上截取，证明，则符合题意；过点O作交于点P，过点H作于点M交w于点N，，四边形是矩形，四边形是矩形，得到，推导出，，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 过点Q作于点E，如图 ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 由图3，图2，可得 ， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 如图，在上截取，作直线，即直线， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴符合题意， 如下图，过点O作交于点P，过点H作于点M交于点N， 由（1），同理可得，， ∵，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即O点是的一个三等分点， ∴． 22. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E在边上，点F在线段上，，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2） 证明：如图所示， 在平行四边形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的性质，掌握这些知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，由，推导出，则，即可解答； （2）在平行四边形中，，再证明，，得到，即，推导出，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，直线分别交x轴、y轴于点，点C在直线上，且． （1）求的长； （2）如图2，已知点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，连接，． ①如果直线的表达式为，求t的值； ②延长交x轴于点D，连接，若在射线上有一点G，使得以C、B、G为顶点的三角形与相似，求点G的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）过点C作轴于点D，通过角的转换得到，则可以证明得到，根据题意证明四边形为矩形，可得，再通过勾股定理求出，进而即可求解； （2）①根据题意可得，点和点F分别为和，进而即可求出，，再证明为等腰三角形，进而即可求解；②先求出射线的解析式，则可求出点的坐标，再在的中，表达出各边的值，设点为，则在的中，表达出各边的值，以C、B、G为顶点的三角形与相似可分为两种情况，进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作轴于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C为， 设直线的解析式为， 将点和代入得，， 解得， ∴直线的方程为； 【小问2详解】 解：①∵点P在线段上，直线为且其交x轴于点E，交于点F， ∴，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 解得； ②由①得，， ∴点P为， ∵点为， 设射线为， 将和代入得，， ∴射线为， 当时， ， 解得， ∴， 在的中，，，， ∵点G在射线上， ∴设点为，， 在的中，，， 当时，则，如下图： ∴ ， 解得， ∴点为； 当时，则，如下图： ∴ ， 解得， ∴点为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、一次函数的应用和两点间的距离公式，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 24. 如图1，在中，，是边上的高，，点E在边上，，过点E作，交边于点P，． （1）求的值； （2）如图2，点F在延长线上，连接、，设． ①延长交边于点G，如果，记、的周长分别为、，求的值； ②如果，且，求m的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质求出，解直角三角形得出，从而得出，再由正切的定义即可得解； （2）①作于，连接，则，，证明，由相似三角形的性质求出，，，，从而可得，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，，从而可得为等腰直角三角形，求出，即可得解；②过点作交的延长线于，由对顶角相等可得，则，从而可得，结合勾股定理求出，，由，得出，结合正切的定义得出，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是边上的高，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，作于，连接， ， 则，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作交的延长线于， ， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、勾股定理逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年初三第一学期期中学情调研 数学学科 （满分150分，时间：100分钟） 2025.11 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，在答题纸相应题号选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 计算：＝（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图，在中，，那么的正弦值是（ ） A. B. C. D. 3. 在一张比例尺为的地图上，量得A、B两点的距离是10厘米，那么A、B两点的实际距离是（ ） A. 5米 B. 50米 C. 500米 D. 5000米 4. 如果，那么与也相似．这一事实的数学依据是（ ） A. 等量代换 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形相似的传递性 D. 相似三角形的预备定理 5. 一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ） A. 15厘米、18厘米 B. 20厘米、24厘米 C. 25厘米、50厘米 D. 36厘米、60厘米 6. 如图，点D、E分别在边上，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，那么的值是______． 8. 两个相似三角形的对应边上的中线长之比是，那么这两个三角形的相似比是_______． 9. 线段长为4，点C是线段的一个黄金分割点，且，那么的长是_______． 10. 如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆C处时，另一端D处就会撬动石头．已知动力臂米，阻力臂米，如果杠杆D端被向上撬起米，那么此时要将杠杆的C点向下压的长度是_______米． 11. 如图，在中，点G是的重心，过点G且平行于，分别交于点E、F，那么的值是_______． 12. 如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 13. 如图，在中，点D、E分别在边上，且．如果，，用向量、表示向量_______． 14. 在等边中，是边上的高，那么_______． 15. 如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，顶点G、F分别在边、上．如果，的面积是24，那么的长是_______． 16. 定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分,称这条直线为“绝美分割线”．如图,在梯形中,, ,一条与平行的“绝美分割线”分别交边、边于点E、F,那么的长是_______． 17. 在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至射线，点C、D的对应点分别是E、F，点E在边上，，连接交于点G，，则的值是_____． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 18. 已知：，，求的值． 19. 如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． （1）求的长； （2）点O是直线与的交点，如果，求的长． 20. 如图，在中，，，垂足是D． （1）如果，，求的长； （2）如果，求的正切值． 21. 某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究． 现有一张直角梯形纸片（如图1），，． （1）有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ； （2）有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形． 要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l； ②写出直线l的与梯形的边的交点位置； （简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点） ③直接写出图形S与梯形的面积比． 22. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E在边上，点F在线段上，，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，直线分别交x轴、y轴于点，点C在直线上，且． （1）求的长； （2）如图2，已知点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，连接，． ①如果直线的表达式为，求t的值； ②延长交x轴于点D，连接，若在射线上有一点G，使得以C、B、G为顶点的三角形与相似，求点G的坐标． 24. 如图1，在中，，是边上的高，，点E在边上，，过点E作，交边于点P，． （1）求的值； （2）如图2，点F在延长线上，连接、，设． ①延长交边于点G，如果，记、的周长分别为、，求的值； ②如果，且，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $