山西运城市夏县联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年第一学期期中质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各组线段的长度中，成比例的是 A.1,2,3,4 B.2,4,4,8 C.1.5,3,4.5,6 D.3,4,5,6 2．下列方程是一元二次方程的是 A.x+2y=1 B.2x(x−1)=2x2+3 C.3x+=4 D.x2−2=0 3．下列说法正确的是 A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是平行四边形 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.有三个角是直角的平行四边形是正方形 4．如图1，云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是 5．关于x的一元二次方程(m−3)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 A.m<4且m≠3 B.m>4 C.m≥4 D.m≤4且m≠3 6．菱形ABCD的周长为60，∠ADC=120°，则BD的长为 A.10 B.15 C.20 D.30 7．为了验证光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理.如图是小孔成像原理的示意图，6cm长的蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为 A.1cm B.2cm C.3cm D.6cm 8．某足球联赛进行期间，足球成为某区热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，该区准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了55场比赛．设共邀请了x个队参加比赛，则下列方程正确的是 A.x(x−1)=55 B.x(x+1)=55 C.x(x−1)=55 D.x(x+1)=55 9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=AC，连接EF.若AC=8，则EF的长为 A.1 B.2 C.4 D.8 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2=PH·PC；④△PFD∽△HPB.其中正确的是 A.①②④ B.①③④ C.①②③④ D.②③ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11．若x=1是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则c的值为 ▲ ． 12．舞台上灯光流光溢彩，舞者如梦如幻，舞者在灯光照射下的影子属于 ▲ 投影.（填“平行”或“中心”） 13．如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为5:2.若小号地砖的边长为20cm，则大号地砖的边长为 ▲ cm. 14．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2−6x+n=0的两个根，则n的值为 ▲ ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F分别为边AB、AD的中点，BF与ED、EC分别交于点M、N.则MN的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）解方程： (1)3x2−4x−1=0； (2)2(x+3)2=x(x+3). 17．（本题7分）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数. （1）这个几何体是由 ▲ 个大小相同的小立方块搭成的； （2）请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图. 18．（本题7分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，过点C作CF∥BD，且CF=BD，连接DF、OF，求证：四边形OCFD是菱形. 19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程ax2−(a+8)x+8=0. （1）求证：无论a取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是已知方程的两个实数根，当a为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长. 20．（本题8分）如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由. 21．（本题9分）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一.在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数.现在，这样定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根均为正整数，且满足a+b+c=0，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”. 【知识理解】例如：对于方程x2−13x+12=0，两根x1=1和x2=12均为正整数，且满足1+(−13)+12=0，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程x2−5x+6=0，由于1+(−5)+6=2≠0，所以此方程不是“密码方程”；对于方程2x2−5x+3=0，两个根分别为x1=1，x2=（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”. 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： （1）请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①x2−x=0； ②x2−8x+7=0. （2）已知方程x2+mx+n=0是“密码方程”，“密码数”是31，求m和n的值； （3）在（2）的情况下，方程x2+mx+n=0的“密码数”刚好是另一个“密码方程”2x2+px+q=0的根，求p和q的值. 22．（本题13分）综合与实践 【学科融合】 如图1，在光的反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i，这就是光的反射定律. 【问题解决】 小颖很想知道学校教学楼前雕像的高度AB（含底座），于是，她带着测量工具来到雕像前进行测量.测量方案如下：如图2，小颖在C处放置一平面镜，她从点C沿BC方向后退1m到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小颖的眼睛到地面的距离DE为1.5m；然后，小颖继续沿BC方向后退到点G处，用测倾器测得雕像顶端A的仰角∠AFM=45°，此时测得EG=2.6m，测倾器的高度FG=1.5m.已知点B，C，E，G在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG. （1）求证：△ABC∽△DEC. （2）求雕像的高度AB. 23．（本题13分）综合与探究 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，点D是边AB上一点，BD=BC，点F从点A出发，沿AC向点C匀速运动，速度为1cm/s.设运动时间为ts. （1）AB的长为 ▲ cm. （2）如图1，当t为何值时，DF∥BC？ （3）如图2，连接CD、BF，当t为何值时，BF⊥CD？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年第一学期期中质量监测 九年级数学（北师大版） 参考答案 第I卷选择题（共30分）》 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A A B C C B C 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 1.312.中心13.5014.8或915.8y☒ 15 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.解：(1)a=3,b=-4,c=-1. 62-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0, 一元二次方程有两个不相等的实数根.… (3分) =4±W28-4±2万-2±万 (4分) 2×3 6 3 =2+7 3,27 3 (5分) (2)移项：2(x+3)2-x(x+3)=0.… (1分) 提公因式：(x+3)[2(x+3)-x]=0.… (3分) 化简：(x+3)(x+6)=0.… (4分) .x1=-3,x2=-6.… (5分) 17.解：(1）12… (3分) 【解析】2+3+4+1+2=12（个），即这个几何体是由12个大小相同的小立方块搭成的. (2)如图所示： (7分) 从正面看 从左面看 18.证明：.四边形ABCD是矩形， OD-BD.OC-AC,BD-AC. 0D=0C.…(2分) CF=BD,.OD=CE.. (3分) CF∥BD, .四边形OCFD是平行四边形.… (5分) .0D=0C, .四边形0CFD是菱形.…（7分) 19.(1)证明：关于x的一元二次方程ax2-(a+8)x+8=0, .△=[-(a+8)]2-4a·8=a2+16a+64-32a=2-16a+64=(a-8)2≥0.…(2分) 无论α取任何非零实数，该方程总有实数根.… (3分) (2)解：平行四边形ABCD是菱形，AB=BC.· (4分) AB,BC的长是已知方程的两个实数根， 方程有两个相等的实数根 .△=(a-8)2=0.… (6分) a=8. (7分) .一元二次方程为8x2-16x+8=0,解得x1=x2=1, .菱形的边长为1. 答：当a=8时，平行四边形ABCD是菱形，此菱形的边长为1.…(8分) 20.解：△ABC和△AEG的面积相等.…（1分) 理由：如图，过点C作CH⊥AB于点H,过点G作G0⊥EA交EA的延长线于点O,则∠0= ∠CHA=90°， ∴.∠EAG+∠GA0=180°.… (2分) ,四边形ABDE和四边形ACFG是正方形， ∴.AE=AB,AC=AG,∠EAB=∠GAC=90°. .∠EAG+∠HAC=360°-90°-90°=180°. ∴.∠GAO=∠CAH.… (4分) |∠0=∠AHC, 在△AG0和△ACH中，{∠GA0=∠CAH, AG=AC, ∴.△AG0兰△ACH(AAS).… (6分) ∴G0=CH.… (7分) AE=AB.SAB.CH.SwAEO, .△ABC和△AEG的面积相等.… (8分) 21.解：(1)①解x2-x=0得名1=1，x2=0,0不是正整数，故x2-x=0不是“密码方程”；…（1分) ②解x2-8x+7=0得x,=1,x2=7,两根均为正整数 ∴x2-8x+7=0是“密码方程”，“密码数”是71… (2分) (2)由条件可知方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1,名2=3，…(3分) 把x1=1,2=3分别代人x2+mx+n=0得： ++n=0解得m三4… (5分) 9+3m+n=0,rn=3. (3)由题意得x=31是方程2x2+px+g=0的根， ∴2×312+31p+g=0,即31p+q=-1922.… (6分) 2x2+px+q=0是“密码方程”， ∴2+p+g=0,即p+q=-2,… (7分) 解3p+g=-192 得/p-64, (9分) p+q=-2, 9=62. 22.(1)证明：如图，过点C作CH⊥BG,则∠BCH=∠ECH=90°.… …(1分) D B CE G 由题意，得∠ACH=∠DCH, .∠BCH-∠ACH=∠ECH-∠DCH,即∠ACB=∠DCE.…(3分) ,AB⊥BG,DE⊥BG,.∠ABC=DEC=90°， .△ABC△DEC.… (5分) (2)解：由题意，可得四边形BMFG、EDFG都为矩形， ∴.MB=DE=FG=1.5m,MF=BG,∠BMF=90°， ∠AMF=90°.…(7分) 又，∠AFM=45°，∠FAM=45°..∠AFM=∠FAM..AM=MF AM=BG.…(9分) AM=BG=xm,BC=BG-CE-EG=(x-3.6)m,AB=AM+MB=(x+1.5)m. .△ABC△DEC, 小0器即t56 1.5-1 (11分) 解得x=13.8 (12分) AB=x+1.5=13.8+1.5=15.3(m) 答：雕像的高度AB为15.3m.… (13分) 23.解：(1)5 (2分) 【解析】由勾股定理知，AB=√AC2+BC=√42+32=5(cm). (2)由题意知BD=BC=3cm,AF=tcm, ,AD=AB-BD=5-3=2(cm). (3分) DF∥BC, 45 (5分) 8 (6分) (3)如图，设BF交CD于点P,过点D作DE⊥AC于点E,则∠BPC=∠AED=∠CED=90°. 由题意，得AF=tcm,则CF=AC-AF=(4-t)cm, (7分) 根据(2可知AB-号cm, 六G图=AC-AC=4-号-m,DE=D-A」 P 5cm,… (9分) .5 ∠ACB=90°， ∴.LBCP+∠DCE=90°.… (10分) BPC=90°， .∠BCP+∠FBC=90°. ∠DCE=∠FBC.… (11分) 又，∠CED=BCF=90°， .△CED△BCF. 12 6 品器即 5 (12分) 34-t 解得=2 (13分)