吉林松原市吉林油田高级中学2026-2027学年高二上学期期中质量检测数学试卷

吉林省吉林油田高级中学20262027学年度上学期高二期中质量检测 数学答题卡 准考证号 学 校 [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][1][1][1][1][1][1 姓 名 [2][2][2][2][2][2][2][2][2][2 [3][3][3][3J[3][3][3][3][3][3 [4][4][4][4][4][4][4][4][4][4 班 级 [ l57 [5][5][5][5][5][5] [5] ] 6][6][6[6[6[61[6][6] [6][6 [7J[7][7J[7[7J[7[7][7] [7J1 考场 [8][8][8][8[8][8][8][8][8][8 [9]「97 「91「91[91[91[9][9][9][9 1.答题前，考生务必清楚地将白己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意2法择题必须使用2B船笔填涂：非选择题必领使用05毫米 事 黑色墨水签字笔作答，字体工整，笔迹清楚 贴条形码区 项 3. 生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：动X☐p四 缺考标记：☐ 选择题（共58分）》 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A]LB][C][D] 2LA][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11CA][B][C][D] 4A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（共92分） 12.(5分) 13.(5分)】 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二期中质量检测·数学第1页（共2页）27-T-143B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二期中质量检测·数学第2页（共2页）27-T-143B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) G 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！吉林省吉林油田高级中学2026~2027学年度上学期高二期中质量检测 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章第三章第1节3.1.1。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.化简：AB+BD+DB,= A.DA B.BA C.AD D.AB, 2.直线x一√3y+1=0的倾斜角为 A.晋 B晋 c D.晋 3,椭圆兰+步-1的焦距为 A.√/13 B.37 C.2√/13 D.237 4.圆心为(3,4)且过原点的圆的方程是 A.(.x-3)2+(y-4)2=25 B.(x-3)2+(y-4)2=5 C.(x+3)2+(y+4)2=25 D.(x+3)2+(y+4)2=5 5.两平行线2x十y-2=0与2x十y=0间的距离为 A号 &2要 C.2 D.25 6.已知平面α的一个法向量m=(1,1,2),平面3的一个法向量n=(一2，y,x),若a∥3，则y一x A.5 B.2 C.-2 D.-6 【高二期中质量检测·数学试卷第1页（共4页）】 27-T-143B 7.已知直线1过点（一2,4），且在两个坐标轴上的截距相等，则直线1的方程为 A.x+y-2=0 B.x-y+6=0 C.2x十y=0或x十y-2=0 D.2x+y=0或x-y十6=0 8.如图，平行六面体ABCD-A,B,CD1中，底面ABCD是边长为1的正方 D 形，AA,=√2，∠AAD=∠AAB=120°，则BD,的长为 A.4 B.3 C.2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量a,b,c,则 A.|a=|b是a=b的必要不充分条件 B.若a,b,c不共面，则a,b,a+c也不共面 C.若a·b=b·c,且b≠0，则a=c D.若a∥b,b∥c,则a∥c 10.已知A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,2,0),D(2,2,0),m=(1,0,0),n=(0,1,1)分别是平面 a,3的法向量，则 A.AB⊥CD B.AB∥a C.CD⊥a D.a⊥3 11.已知点P是直线l:2.x一y+5=0上一动点，过点P作圆C:(x一3)2十(y一1)2=5的切线， 切点分别为A,B,则 A.圆心C到1的距离为25 B.|PA的最小值为⑤ C.|AB|的最小值为√15 D.直线AB过定点(2，号)》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知，是椭圆C后+器=1的左，右熊点，P是C上一点，若PF=6,则P= 13.已知圆O:(x+2)2+y2=4与圆O2:(x-2)2+(y十3)2=m-4外切，则m= 14.在空间直角坐标系中，已知E(1,2,0),F(-1,2,0),G(0,1,W3),P(0,0,3),则点P到平面 EFG的距离是 【高二期中质量检测·数学试卷第2页（共4页）】 27-T-143B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知A(a,-2),B(2,1),C(4,0)三点 (1)若直线AB的倾斜角为45°，求a的值： (2)若A,B,C三点共线，求a的值. 16.(本小题满分15分)》 已知点A(-1,0),B(1,3),C(3,-1). (1)求△ABC的面积； (2)求△ABC的外接圆的方程 17.(本小题满分15分) 如图，正方体ABCD-A1BCD,的棱长为2，E,F分别为DD1,BC的中点. (1)求证：EF∥平面ABCD: D (2)求直线AF与平面BC,E所成角的正弦值. E 【高二期中质量检测·数学试卷第3页（共4页）】 27-T-143B 18.(本小题满分17分) 已知圆C:x2十y2=4,直线l过点P(2,4): (1)若直线l与圆C相切，求直线1的方程： (2)若直线l与圆C交于A,B两点，AB引=2√2，求直线I的方程. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC,AB⊥AD,AD=2CD =12,∠ADC-,E为AD的中点，PE⊥CD,PA⊥PD,PA=PD. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值； G (3)若C-CD,AG-A产，平面EFG与PB,PC分别交于点 M,N,求线段MN的长度. 【高二期中质量检测·数学试卷第4页（共4页）】 27-T-143B吉林省吉林油田高级中学2026~2027学年度上学期高二期中质量检测·数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1.DAB+BD+DB=AD+DB=AB.故选D. 之A由题意知该直线的斜率为号，放其领斜角0满足m0一号，0C[0x),所以0-吾，故适A 3.C由蓝+造-1，得a2=25,6=12,所以c2=。2-份=25-12=13，c=压，所以椭圆壳+益-1的焦距 为2c=2√13.故选C. 4.A设圆心为(3,4)的圆的方程为(x一3)2+(y一4)2=2，又原点(0,0)在圆上，则2=25，所以满足要求 的圆的方程为(x一3)2十(y一4)2=25.故选A. 5.B两平行线2x+y一2=0与2.x+y=0间的距离为 -2-01_25 √/22+1 5 故选B. -2=λ， 6.B因为a∥B,所以存在入，使得n=m,所以y=入，所以y=-2,x=一4，所以y-之=-2-（一4）=2.故 =2λ， 选B 7.C当1过原点时，斜率为=2=一2，则1的方程为2十y=0:当1不过原点时，设1的方程为后十立= a 1,代入点（一2,4），得2+4=1，解得a=2,故1的方程为x十y-2=0.综上所述，直线1的方程为2x十y =0或x十y-2=0.故选C. 8.C由题意，得|AB1=|AD1=1,|AA|=2,AB·AD=0,AA·AB=AA·AD=2×1Xcos120°= 号又丽-成+市+成=-访+访+A所以B成：=(-+A市+A=A萨+A市+ AA2-2AB.AD-2AB·AA+2AD·AA=4,即BD,=|BD|=2.故选C 9.ABa=b的充要条件是a,b的大小相等，方向相同，故由a=b>|a|=|b|,反之则不然，故A正确；假设 a,b,a十c共面，则存在实数x,y,使得a十c=a十3b,所以c=(x一1)a十b,所以a,b,c共面，与条件矛盾， 故B正确；在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件，但任何两个都不相等，故C 错误；对于D,若b=0,a,c不一定共线，故D错误.故选AB. 10.ACD由题意，得AB=(0,1,1),CD=(2,0,0),所以AB.CD=0,AB⊥CD,即AB⊥CD,故A正确：因为 AB·m=0,所以AB∥a或ABCa,故B错误；因为CD=2m,所以CD⊥a,故C正确；因为m·n=0,所以a ⊥B,故D正确.故选ACD. 1.ACD圆心C的坐标为(3,1)，C到1的距离d=6+5=25,故A正确：由切线的性质，得1PA= /2+12 √TPC2-产，又|PC≥d=2√5，r=5,所以|PA|≥√20-5=√15，当且仅当CP⊥l时，等号成立，即 |PA的最小值为V5,故B错误；因为PCLAB,PALAC,.所以Sg影m=令|PC·|AB=|PA|· 【高二期中质量检测·数学试卷参考答案第1页（共4页）】 27-T-143B AC,即A1-2P4AC=2票-2≥压，当且仅当CnL时，等号 成立，即|AB|的最小值为√15，故C正确：设P(m,2m十5)，则以CP为直径的圆的方程为 (x-m)(x一3)+(y-2m-5)(y-1)=0,与圆C相减，得(x+2y-5)m+(-3x+4y)=0,由 x+2y-5=0, x=2, 得 ,-3x+4y=0, 3所以直线AB过定点(2，号)，故D正确.故选ACD y= 2 12.10由椭圆的定义可得|PF|+|PF2|=2a=16,因为|PF,|=6,所以|PF2|=10 13.13圆O:(x+2)2+y2=4的圆心为O(一2,0)，半径r1=2,圆O2:(x-2)2+(y+3)2=m一4的圆心 为O(2,一3)，半径r2=√m-4,因为两圆外切，所以|OO2|=r十2，即5=2+√m-4,解得m=13. 因为E(1,2,0),F(-1,2,0),G(0,1,3),P(0,03),所以E萨=(-2,0,0)，Ed=(-1,-1,W3),E2 =(-1,-2,5,设平面EG的一个法向量为n=(,测则。…底=一一y十5=0 n·EF--2x=0, 令之=1，得n= (0,1D,所以点P到平面E℉G的距离4=1中.mL=【-DX0+(-2)X5+X- n √0+3+1 15.解：(1)因为直线AB的倾斜角为45°，所以直线AB的斜率kAB=tan45°=1. …3分 又kB=1)二22，所以，二2=1，解得a=一1. 2-a 2-a …6分 (2)由题意知k度二2-4=一之， …9分 因为AB,C三点共线，所以m=c,即，2=一之，解得a=8… 2-a 13分 16.解：(1)直线BC的方程为号=三3即2z十y5=0,…2分 点A(-1,0)到直线BC的距离d=-2+0-51=7 4分 √22+1卫5 |BC=/(3-1)2+(-1-3)7=25, 6分 所以△AC的面积Sr=专BC=专×2万X后=7 8分 (2)设△ABC外接圆的方程为x2+y+Dx十Ey十F=0, 9分 /(-1)2+02-D+F=0, 由题意得12+32+D+3E+F=0, ……… 11分 32+(-1)2+3D-E+F=0, D=一 7 解得E= 9 7 14分 F-- 25 故△AC的外接圆的方程为x+-9,一号)y一要=0， 15分 【高二期中质量检测·数学试卷参考答案第2页（共4页）】 27-T-143B 17.(1)证明：取BC的中点为G,连接FG,DG 因为F,G分别是BC,BC的中点，所以FGL2CC. 2分 在正方体中，DD LCC,又E为DD的中点， 所以DEL?CC=FG,四边形DEFG是平行四边形，EF∥DG. 4分 又EF￠平面ABCD,DGC平面ABCD,所以EF∥平面ABCD. 7分 (2)解：以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体ABCD-A,BCD1的棱长为2，E,F分别为DD,BC的中点， 所以A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,2),E(0,0,1),F(1,2,1),…9分 所以AF=(-1,2,1),BE=(-2,-2,1),BC=(-2,0,2), E n·BE=0,1-2x-2y十2=0， 设n=(x,y,之)是平面BCE的法向量，则 即 n·BC=0,-2x+2x=0, 令x=1,则y=一22=1，所以n=(1,-弓，1)是平面CE的一个法向量， …11分 设直线AF与平面BCE所成角为0，则sm0=1cosA市，m1=A正.m=三 1 ⑥ Am5×号 9 即直线AP与平面BC,E所成角的正弦值为5。 15分 18.解：(1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=2, 2分 此时圆心C到直线l的距离为2，所以直线（与圆C相切，符合题意；… 3分 当直线L的斜率存在时，设直线1的方程为y一4=k(x一2)， 4分 因为直线（与圆C相切，所以圆心C到直线（的距离等于半径，即工 -2k+4=2, 5分 解得=呈 …6分 所以直线1的方程为y-4=子(x-2),即3x-4y十10=0. 7分 综上所述，直线l的方程为x=2或3x一4y十10=0.… 8分 (2)由题知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y一4=k(x一2)， 圆心C到直线1的距离d-√P-(A)-E。 10分 所以d=26士4=2，。 12分 /+1 解得k=1,或k=7.…15分 所以直线1的方程为y-4=x-2或y-4=7(x一2)，即x一y十2=0或7.x一y-10=0.…17分 19.(1)证明：因为PA=PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD, 又PE⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD,…2分 又PEC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.…4分 【高二期中质量检测·数学试卷参考答案第3页（共4页）】 27-T-143B (2)解：如图，在平面ABCD内，作EH⊥AD,交CB于点H,则EH,ED,EP两两垂直， 以E为原点，EH,ED,EP所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 由题意，得P(0,0,6),A(0,-6,0),B(3√5，-6,0)，C(3√5,3,0)， G 所以AB=(35,0,0),Pi=(3/5,-6,-6),C克=(0，-9,0)， AB·m=3√3x=0, 设m=(x,y,之)是平面PAB的法向量，则 Pi.m=3/5.x-6y-6z=0, 令y=1,则x=0,之=-1，所以m=(0,1,一1)是平面PAB的一个法向量，…6分 Ci·n=-9b=0, 设n=(a,b,c)是平面PBC的法向量，则 p3.n=35a-6b-6c=0, 令a=2,则b=0,c=5,所以n=(2,0,5)是平面PBC的一个法向量，…8分 设平面PAB与平面PBC的夹角为0， 则1os0l=|cos(m,n>川=Tm·Tn2X714 m·n 542 ,sin 0-1-cos 0=154 14 即平面PAB与平面PBC夹角的正弦值为✉ 14 10分 (3)解：由(2)，得D(0,6,0),由C京=号C市，得C市=3C市=寸(-333,0)，所以F(234,0), 由AG=}A应，得AG=A2-=3(0,6,6),所以G(0,-4,2). E-(25,4,0),E元=(0，-4,2)， EF.u=23m十4=0， 设u=(0,%,o)是平面EFG的法向量，则 元·u=-4%十20=0， 令x=2,则h=-3,0=一2√5，所以=(2，一√5，一25)是平面EFG的一个法向量，…12分 由平面EFG与PB交于点M,设Pi=入Pi=A(35,-6,-6,则M(33x,-6x,6-6x),EM =(3√5x,-6x,6-6A), 因为w是平面EFG的法向量，所以u·EM=(2,-5,-25)·(33x,-6,6-6)=0, 即24x-125=0,解得=2，所以M(3,-3,3) 14分 由平面EFG与PC交于点N,设P成=uP元=u(35,3,-6),则N(33,3,6-6),耐 =(33,34,6-6）, 因为u是平面EFG的法向量，所以u…E=(2,-3,-25)·(334,34,6-6)=0, 即155：一125=0，解得A=青，所以N(25,号，号）月 …16分 所以MN= (2)+(-3-号)'+(8--9® 10 ……17分 【高二期中质量检测·数学试卷参考答案第4页（共4页）】 27-T-143B