吉林省长春外国语学校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

倒 果养分调污翠按 敦品兼修，向学笃行长春外国语学校2026-2027学年第一学期高二年级期中考试 Moral Cultivation Persistent Endeavor 数学试卷 出题人：康乐 审题人：苏钰淇 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束 后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合 题目的一项) 1.已知直线x-y-3=0和直线x-y-1=0平行，则这两条平行线之间的距离为 ( A.V2 B.v? C.2W2 D.4W2 2.直线x+V3y-2026=0的倾斜角为( A.30° B.60° C.120° D.150° 3.平面内点P到F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是 ( A.芳+号-1 B.+=1 c.+号=1 D.+=1 4.已知向量a=(-1,2,1),万=(3，x,-1),且a1万，那么x=( A.0 B.1 C.2 D.3 第1页， 5.已知点A,B,C不共线，O为平面ABC外一点，下列能够确定M,A,B,C四点共面 的是( ) A.OM=0A+0B+OC B.0M=30A-20B-0元 C.0M=0A+08+0C D.0M=0A+0B+0C 6.已知线段AB的端点B的坐标是(5,3)，端点A在圆x2+y2=4上运动，则线段AB的中 点M的轨迹方程为( A.(x-)+0-)=1 B.(x-)+(0-)=1 c.(x-)+(0+)=1 D.（x-)+(0y-到=1 7.己知平面α内有一点4(2，-1,2)，平面a的一个法向量为n=(经)，则下列四个点 中在平面a内的是( A.P1(1,-1,1) B.P2(1,-3,) C.P3(1,3) D.P4(-13,-) 8.已知点P为直线y=x+1上的一点，M,N分别为圆C:(x-3)2+(y-1)2=1与圆 C2:(x-4)2+(y-1)2=1上的点，则PM+PN的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一 个得3分：若只有3个正确选项，每选对一个得2分。) 9.下列说法正确的有( A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则点（化，b)在第二象限 B.点斜式方程y-yo=k(x-xo)可表示过点P(xo,yo)的所有直线 C.过点(2，-1)，且倾斜角为120°的直线的点斜式方程为y+1=-V3(x-2) D.斜率为-2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3 共2页 10.已知圆C:x2+y2-4x-8y+12=0和直线kx-y+k=0,则下列说法正确 的是( ) A.当k=0时，直线I被圆截得的弦长为2V6 B.当k=0时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C.存在实数k,使得直线与圆相切 D.若直线与圆相交，则实数k的取值范围为(-2,6) 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=BC+BB1,且0≤ 1≤1,0≤4≤1，则下列说法正确的是( D A B A.若1+=1，则AP1BC1 B.若+A=1,则AP/平面A1C1D D C C.若入=L=子则P到平面A,BD的距离为写 B D.若=1,0≤u≤1时，直线DP与平面A,BD所成角为0，则sin9∈[停， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若F,P是椭圆酷+号=1的两个焦点，过F,作直线与椭圆交于AB两点，△ABF, 的周长为 13.在空间直角坐标系中，已知A(0,1,2),B(2,3,2),C(3,3,1),则点A到直线BC的距离 为一· 14.直线4：y=m(x-2)+2与直线：x+my-2m-4=0交于M(x,y)点，则y。的 X-2 取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知两条直线l1:(a-1)x+y-1=0和l2:6x+ay+2=0 (1)若l11l2,求实数a的值： (2)若l1/l2,求实数a的值. 16.(15分)如图，四面体ABCD中，E,F分别为AB,DC上的点，且AE=BE,CF= 第2页， 2DF,设DA=d, DB=b,DC=c. D B (1)以{a,,为基底表示EF: (2)若LADB=∠BDC=LADC=60°，且DA=2,DB=2,DC=2,求EF 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2V3,∠BAC=120°，D为 AA1的中点，E为BC1的中点. A B D E B (1)证明：DE⊥平面B1BCC1: (2)若BB1=6,求直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值. 共2页 18.(17分)已知圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0. (1)求证：圆C1与圆C2相交： (2)求两圆公共弦所在直线的方程： (3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y一6=0上的圆的方程. 19.(17分)平面直角坐标系x0y中，点P(2,4),圆0：x2+y2=4与x轴正半轴交于点 Q (1)求过点P且斜率为3的直线被圆O截得的弦长： (2)求过点P与圆O相切的直线方程： (3)过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B,判断直线QA,QB的斜率之和是否为定 值，若是则求出该定值，若不是则说明理由： 第3页，共2页 参考答案 题号 1 2 0 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C C A C B AC ACD 题号 11 答案 BD 12.20 13.V6 14[层* 15.(1)a=9 (2)a=3 【分析】(1)利用直线与直线垂直的条件直接求解： (2)利用直线与直线平行的条件直接求解. 【详解】(1)若l11l2,则(a-1)6+1·a=0,解得：a=6分 (2)若41，则。-≠兰 当。=时，即a2-a-6=0,解得：a=3或a=-2,…10分 又≠，所以a≠-2. 综上，a=3;…13分 16.(①)F=-五-五+ (2 【分析】(1)利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； (2)先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据(1)中EF的表示式，两边取平 方，利用向量数量积的运算律计算即得： 【详解】(1)由图可得，示=D示-D元=DC-0A+D=-五-另+衣6分 (2)由题意，===3，(，)=石，）=a,）=60°， 则a·b=万·元=a·元=3×3c0s60°=3，…9分 第4页 于是，由正=-五-拓+两边取平方， 2=(-五-拓+2=2+2+2+2（ā.万-五-ā可12分 =(++分)×4+2×（任名日）×=昌 故=…15分 17. 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AM1BC,根据中位线的性质得到 EM//CC1//AD,然后得到四边形AMED为平行四边形，根据直棱柱的性质得到EM⊥ AM,最后利用线面垂直的判定定理证明： (2)利用余弦定理得到B1C1,然后建系，利用空间向量的方法求线面角： 【详解】(1) A B D 取BC中点M,连接AM,ME, 因为AB=AC,所以AM⊥BC,…2分 E为BC1的中点，所以EM为△BCC1的中位线，所以EM/CC1//AD, 又EM=CC1=AA1=AD,所以四边形AMED为平行四边形，有DE/AM, 又因为AA11平面ABC,AMC平面ABC,则AA1⊥AM,EM1AM,·4分 由于EM,BCC平面B1BCC1,EMnBC=M,所以AM⊥平面B1BCC1,…6分 又因为DE/AM,所以DE⊥平面B1BCC1·…7分 (2)由(1)可知：MA,MC,ME两两垂直，如图，以M为坐标原点，以MC所在直线为x 轴，MA所在直线为y轴，ME所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，…8分 共2页 在△A1B1C1中，由余弦定理可得：B1C=A1B+A1C-2A1B1·A1C1·C0S∠B1A1C1 则B1C1=6, 于是D(0,V3,3),B(-3,0,0),B1(-3,0,6),C1(3,0,6),A1(0,V3,6),…10分 则BA1=(3,V3,6), 设元=(x,y,z)1平面DBC1,BD=(（3,V3,3),BC1=(6,0,6), 于是：D=0,即3x++3=0, 元·BC1=0 P(6x+6z=0 令z=1,则元=(-1,0,1)，…13分 设直线A1B与平面DBC1所成角为0， 那么sing=lcos(BA,=B词=w=分 BA13_6 即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为 .…15分 8 B D E 18 【分析】(1)将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可 证明： (2)将两圆方程作差，即可求出公共弦方程； (3)首先求出两圆的交点坐标，设圆心为P(6一m,),根据|AP=|BP得到方程，即 可求出n,从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程. 【详解】(1)证明： 圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16, C2(-1,-1),r=4…1分 第5页， 圆C1:x2+y2=10的圆心坐标为C1(0,0),半径为R=V10,…2分 ICiC2l =v2, 4-√10<√2<4+√10，两圆相交：…5分 (2)由圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0, 将两圆方程相减，可得2x+2y-4=0, 即两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0;…10分 +少2200，解= (3)由x2+y2=10 则交点为A(3,-1),B(-13),…12分 圆心在直线x+y-6=0上，设圆心为P(6-n,), 则1API=1BPl,即V(6-n-3)2+(n+1)z=√(6-n+1)2+(n-3)2, 解得n=3,…15分 故圆心P(3,3),半径r=AP=4, 所求圆的方程为(x-3)2+y-3)2=16.…17分 19.(1)2W2 (2)x=2和3x-4y+10=0 (3)定值，-1 【分析】(1)计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之 间的关系求解出弦长： (2)先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆 心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； (3)设A(x1,y),B(x2,y2)以及直线AB的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达 定理形式，然后将k1+k2化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【详解】(1)过点P斜率为3的直线方程为3x-y-2=0,…2分 圆心(0,0)到该直线的距离为品 …3分 所以该直线被圆0截得的弦长为2、22-（品 (2L 6西.…4分 5 (2)圆0：x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2， 共2页 若过点P(2,4的直线l1垂直于x轴，则方程为x=2,显然与圆相切，符合题意：…6 分 若过点P(2,4④的直线L1不垂直于x轴，设直线U的斜率与k, 则直线L1方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0, 因为直线l1与圆0：x2+y2=4相切， 所以圆心到直线，的距离d=+4=2,解得k=子， √k2+1 …8分 所以切线方程为3x-4y+10=0 综上所述，切线方程为x=2和3x一4y+10=0.…9分 (3)由题意知点Q(2,0),显然直线的斜率存在，设直线方程为y一4=k(x一2)，… 11分 联立得1+2-kk=2x+2k=P-4=0, x1+x2=4k-2) 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 1+k2 (x1x2=2k-924’ 1+k2 且4=【-4k(k-22-4(1+k2)[(2k-4④2-4>0分k>圣…14分 所以k1+k-是+是=94+4 x2-2 x1-2 x2-2 =2k+ 4 x-2+-2=2k+ 4 4(x1+x2-④) x1x2-2(x1+X2)+4 2 =2k+942244 =2k-48k+9=-1,…17分 16 1+k2 1+k2 所以k1+k2是定值，定值为-1. 第6页， 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，再将其与圆的方程联立得到韦 达定理式，最后代入斜率之和的表达式化简即可 共2页