精品解析：浙江省绍兴鲁迅中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

绍兴鲁迅中学高一年级（普通班）数学学科2026学年第一学期期中考试试卷 考生须知：1、本卷共四大题，19小题，满分150分，时间120分钟. 2、请将班级、姓名分别填写在答题卷相应位置上，本卷答案必须答在答题卷相应位置上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则使成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若存在最大值，则a的最小值为（   ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中恒过定点的有（ ） A. （为常数） B. （且） C. （且） D. （为非零常数） 10. 已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 的最小值为8 D. 的最小值为 11. 已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上为增函数 D. 若，且，则实数a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 13. 已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是________ 14. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 不等式的解集为，集合． （1）求集合； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. （1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）设函数，求函数的解析式及值域． 17. 已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. （1）求函数的单调区间； （2）若 ，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 18. 已知定义在R上的函数． （1）当时，求的值域； （2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是函数的局部对称点，求实数m的取值范围． 19. 设函数的定义域为，．定义集合． （1）设，求； （2）若，且对任意，都有，求的最小值； （3）设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绍兴鲁迅中学高一年级（普通班）数学学科2026学年第一学期期中考试试卷 考生须知：1、本卷共四大题，19小题，满分150分，时间120分钟. 2、请将班级、姓名分别填写在答题卷相应位置上，本卷答案必须答在答题卷相应位置上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】将集合化简，再由补集的运算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得或， 即或，则. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于函数，则有，解得且， 所以函数的定义域为. 3. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴，要求f（x）在上具有单调性，列出不等式，从而求出k的范围； 【详解】∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x， ∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在上具有单调性， 根据二次函数的性质可知对称轴x， 解得k≥40； ∴k∈ [40，+∞）， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及其性质的应用，属于基础题． 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】探讨函数的性质，借助函数奇偶性、单调性即可判断得解. 【详解】函数的定义域为， ，函数是奇函数，A错误； 当，且时，，C错误； 当时，，函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，B错误，选项D符合题意. 5. 已知，则使成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A：已知，由基本不等式得， 故，无法推出，排除A； 对于B：已知，由基本不等式得， 可推出，符合要求； 对于C：已知，由基本不等式得， 即，由指数函数单调性得，解得， 无法推出，排除C； 对于D：已知，两边同除以得， 则， 取，满足，但，无法推出，排除D. 6. 已知函数，若存在最大值，则a的最小值为（   ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】按分类，结合一次函数及二次函数性质列式求解. 【详解】易知函数在上单调递减，在此区间上的函数值集合为， 当时，函数在上单调递增，在上的函数值集合为， 由函数存在最大值，得，此不等式无解； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上的函数值集合为， 由函数存在最大值，得，解得，因此， 所以a的最小值为0. 7. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分情况去掉不等式中的因式，再利用偶函数的单调性求解. 【详解】若，则可化为，又为偶函数，， 所以不等式可化为，又在单调递增， 所以，解得，又，所以此时的取值范围为. 若，则可化为，又为偶函数，， 所以不等式可化为，又在单调递增， 所以，解得或，又，所以此时的取值范围为. 综上，满足的的取值范围为. 8. 用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的新定义，由判断或3，结合集合的元素组成分类讨论求解并验证，求得实数a的所有可能的值即可. 【详解】根据题意，已知，则， 又由，可知或3，即方程有1个根或3个根； 由，可得或， 若，可得或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为0和，此时有两类情况： ①有两等根且根不为0和，由，解得， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意. ②当是的根时，解得； 若，则，，符合题意； 若，则， ，符合题意. 综上，可得a可取的值为0，，． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中恒过定点的有（ ） A. （为常数） B. （且） C. （且） D. （为非零常数） 【答案】ACD 【解析】 【分析】将点逐一代入四个选项的函数中验证即可. 【详解】对于A，，所以（为常数）恒过定点，A选项正确， 对于B，，所以（且）不过，故B选项错误， 对于C，，所以（且）恒过定点，C选项正确， 对于D，因为，所以，当时，，故恒过定点，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据已知条件判断出，然后判断的符号，然后利用基本不等式的性质以及二次函数的性质计算C,D选项即可. 【详解】已知对任意的，不等式恒成立， 若，则对任意，故恒成立，此时要求对所有恒成立， 当时，若，不满足条件； 若仅在时成立，无法覆盖所有， 故不可能，因此，B正确； 当时，方程的负根为，要使乘积恒非负， 一次函数的零点必须与上述负根重合，即. 由于，故，得，A正确； 将等式两边平方得，即且. 将其代入得，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最小值为8，C正确； ，令，由于，所以. 则表达式变为，根据二次函数的性质可知，无最小值， 即无最小值，D错误. 11. 已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则（ ） A. B. 若，则 C. 在上为增函数 D. 若，且，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过取特值的方法判断ABC三个选项，结合函数单调性的性质，解不等式判断D选项. 【详解】选项A：令，，或， 当时，任取，与矛盾，，A正确. 选项B：令，，， 当时，，B错误. 选项C：任取，令，，. ，，令， ，与同号， 当时，有，. 又，任取，都有. ，， 函数在上为增函数，C正确. 选项D：由，，. 由，， 由函数在上为增函数，，解不等式得或， 实数a的取值范围为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由题意知：，即，解得：或， 所以函数的定义域是. 14. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 不等式的解集为，集合． （1）求集合； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知不等式，等价于，解得，所以. 【小问2详解】 已知是的充分不必要条件，所以是的真子集，集合， 当时，，要使 ，需，即， 当时，，所以，因为，所以满足条件， 综上. 16. （1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）设函数，求函数的解析式及值域． 【答案】（1）；（2），值域为． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解析式. （2）先用换元法求解析式，再根据二次函数的性质判断单调性并求出值域. 【详解】解：（1）设， 因为，， 所以，即． 所以，解得． 所以． （2）令，则，所以，所以． 因为，所以， 所以的解析式为． 因为函数开口向下且对称轴为，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以． 所以的值域为． 17. 已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. （1）求函数的单调区间； （2）若 ，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时， ；当时，. 【解析】 【分析】（1）先判断函数的单调性，再根据“同增异减”判断复合函数的单调性； （2）分情况讨论二次函数在给定区间的最大值. 【小问1详解】 因为定义在上的二次函数满足，且有最小值， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为函数在上单调递减，由“同增异减”可知， 在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 设，则 ，则， 则 . 因为的区间中点为， 当，即时， ； 当，即时， . 18. 已知定义在R上的函数． （1）当时，求的值域； （2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是函数的局部对称点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则可转化为，通过换元法把求的值域转化为求二次函数的值域； （2）由是函数的局部对称点，得，，代入整理得，令，则，那么，把问题转化为求解关于的函数的值域. 【小问1详解】 当时，， 令，则可转化为， 即， 的值域为． 【小问2详解】 由是函数的局部对称点， 得，， 代入整理得．① 令，则，当且仅当时取等号， 则， 代入①式得，即． 在上单调递增， ，， ∴实数m的取值范围为． 19. 设函数的定义域为，．定义集合． （1）设，求； （2）若，且对任意，都有，求的最小值； （3）设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 【答案】（1） （2）0 （3） 必要性证明： 若，是偶函数， 则任意，. 则， 故必要性得证； 充分性证明： 若对任意实数，都有，下面用反证法证明是偶函数. 假设不是偶函数，则，使得， 取， ①若，则， 由且， 得，且， 所以，这与矛盾； ②若，则， 则由且， 得，且， 而与同时成立是矛盾的； 故由①②可知，假设错误，即是偶函数， 故充分性得证. 综上所述，“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义可得，结合函数解析式得，解不等式，可得答案； （2）由题意可得所有和所有，有，由函数在上非减，进而分类讨论与两类，结合函数的单调性，即可求解； （3）根据充要条件的要求，结合集合新定义从必要性以及充分性两方面，进行证明.必要性利用偶函数定义可证，充分性利用反证法证明，结合的任意性取特值，从而构造与关系证明即可. 【小问1详解】 由题意知，则， 又，即， 得，解得， 故； 【小问2详解】 由题意知，，且对任意，都有， 对任意和任意，令，则， 即任意，，都有， 故函数在上单调（非严格）递增， ①当时，则， 函数，令，则， 则，由在上单调递增； 则由函数与复合而成， 故由复合函数单调性可知，在上单调递增， 又，对任意，则，所以恒成立， 故； ②当时，，， 函数， 当，令，则， 则，由在上单调递减； 则由函数与复合而成， 故由复合函数单调性可知，在上单调递减， 又，取，则存在正数，使得， 则成立，故，这与任意，都有矛盾， 故时不满足题意； 综合①②可知，的最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $