精品解析：广东省茂名市电白区部分校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026～2027学年度第一学期期中考试 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的性质，是解题的关键． 根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：A． 2. 若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式得到，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定，根据平行四边形矩形正方形菱形的判定定理，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故A是真命题； B、有一组对角是直角且一组对边相等的四边形，可证明是平行四边形且有直角，因此是矩形，故 B是真命题； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，故C是真命题； D、仅对角线互相垂直且有一组邻边相等，不能判定四边形是菱形，菱形需要对角线互相垂直平分，或是一组邻边相等的平行四边形，存在满足条件但不是菱形的反例，故D是假命题． 故选：D． 6. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 7. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 9. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．先由三角形中位线定理证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【详解】解：若四边形为菱形，则四边形需满足的条件是，理由如下： ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， 四边形是平行四边形， ，分别是，的中点， ，， 当时， ， 四边形是菱形， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形性质证明，推出，根据三角形外角性质得到，利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，  ， ， 在中，由勾股定理得， 在和中，， ， ，  ， ， ，  即是直角三角形， 点为的中点，  ． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程两根分别是，则，进行解题即可． 【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为t， 则 ， 解得， 故答案为 12. 如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，得，然后根据相似三角形的相似比等于位似比可进行求解． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ， 的坐标为，点的坐标为， ， ． 13. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线长，，垂足为点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，根据菱形对角线互相垂直平分求出及的长，利用菱形面积公式建立等式求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 在菱形中，，，， ， ， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形， 若点 的坐标为，点 的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接、，可得与垂直平分，利用勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，，即， 轴，， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为： ． 15. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 三、解答题一：本大题共3小题，其中第16题10分，第17题6分，第18题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及直接开平方法、公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）先移项得到，然后直接开平方得到，再解一元一次方程即可得到答案； （2）先由一元二次方程一般式得到，再计算判别式，最后利用求根公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 移项得， 直接开平方得， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，即． 17. 如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，利用“”即可证明，进而得到． 【详解】略 18. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题二；本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等实数根”；（2）根据根与系数的关系，找出关于m的一元二次方程． 20. 某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． （1）若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2） 元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． (1)设月平均增长率为，根据连续两个月增长后销量为件，列方程求解； (2)设应降价元，根据要求销售该模型每天获利元，列方程求出，为了尽量减少库存，要选降价最多的方案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设应降价元，则每天的销量为件，每个模型的利润为元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 为了尽量减少库存，应降价元， 答：售价应降低元． 21. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 五、解答题三：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 矩形中，点M是对角线上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F，点O为的中点． （1）如图1，当点M与点O重合时，请你判断与的数量关系，并加以证明； （2）当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 【答案】（1） ，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及三角形的全等，熟练的运用矩形的性质，通过矩形的性质得出线段和角度之间的相等关系从而构建全等三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出线段和角度之间的等量关系，证明即可． （2）补全图形，构造全等三角形，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【问题引入】 （1）如图1，线段、相交于点，且，，连接，，求证：； 【解法探究】 为帮助学生理清思路，李老师给同学们做了如下提示：如图2，过点作，且，连接．请根据李老师给出的辅助线思路完成探究过程． 【学以致用】 （2）如图3，为某农场的一块试验田，农技员要在、边上分别布设灌溉水管的出水口、，从、两个主水管接口分别向两个出水口铺设两条等长的灌溉支管和，两条支管在点处交汇，形成的夹角，已知田间小路的长为4米，的长为米，测量得，为了做好合理预算，求灌溉支管的长度．（灌溉水管、灌溉支管、小路的宽度及出水口、水管接口的大小均忽略不计） 【答案】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． ， ． ，， ， 是等边三角形， ． 结合三角形三边关系得， 当共线时，则 即， ． （2）米 【解析】 【分析】（1）理解题意，先证明四边形是平行四边形，再结合，，得出是等边三角形，根据三边关系以及线段的等量代换，即可作答． （2）先证明四边形是平行四边形，运用，，得出，结合勾股定理列式计算得，，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，得是等边三角形，故，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，过点作，过点作，，相交于点，过点作交的延长线于点，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ，，， ， ∵ ∴ ， 即， ∴， ， ∵的长为米， ． 在中，． ，， ． ，， ， 是等边三角形， ． 故灌溉支管的长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期期中考试 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 2. 若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形 6. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 7. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________． 12. 如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 13. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线长，，垂足为点，则的长是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形， 若点 的坐标为，点 的坐标为，则点的坐标为_____________． 15. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 三、解答题一：本大题共3小题，其中第16题10分，第17题6分，第18题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 18. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 四、解答题二；本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 20. 某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． （1）若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 21. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 五、解答题三：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 矩形中，点M是对角线上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F，点O为的中点． （1）如图1，当点M与点O重合时，请你判断与的数量关系，并加以证明； （2）当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 23. 【问题引入】 （1）如图1，线段、相交于点，且，，连接，，求证：； 【解法探究】 为帮助学生理清思路，李老师给同学们做了如下提示：如图2，过点作，且，连接．请根据李老师给出的辅助线思路完成探究过程． 【学以致用】 （2）如图3，为某农场的一块试验田，农技员要在、边上分别布设灌溉水管的出水口、，从、两个主水管接口分别向两个出水口铺设两条等长的灌溉支管和，两条支管在点处交汇，形成的夹角，已知田间小路的长为4米，的长为米，测量得，为了做好合理预算，求灌溉支管的长度．（灌溉水管、灌溉支管、小路的宽度及出水口、水管接口的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $