精品解析：广东省深圳市观澜第二中学教育集团2026-2027学年上学期九年级数学期中试题

观澜二中教育集团2026-2027学年第一学期期中测试试卷 九年级数学 说明： 1．全卷共20题，满分100分．考试时间90分钟． 2．答题前，请检查试卷和答题卡是否完整无破损；然后将考生信息用规定的笔填涂在答题卡的指定位置． 3．答题时将答案写在答题卡的指定位置；不得使用涂改液． 4．保持答题卡的整洁，考试结束后，只上交答题卡． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：B． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴ 或， ∴ ，． 3. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点A作于点H，交于点D，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为( ) A. B. ° C. ° D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质；根据正方形的性质可得，，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵为正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列图形中，相似多边形是（ ） A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 丙与丁 D. 乙与丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，即 解得， 综上，k的取值范围是且． 7. 如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形， ∴点为的黄金分割点， ∴， 即的长为． 8. 综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，作角平分线，作线段的垂直平分线，菱形的判定，根据菱形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案. 【详解】解：如图，根据作图过程可知：，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故A不符合题意． 如图，由作图可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，而， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故B不符合题意． 如图， 由对折可得：，， 同理可得：， ∴， ∴四边形为菱形，故D不符合题意． 无法证明C选项中的四边形为菱形，故C符合题意； 故选：C 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可设，再将代入计算可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ． 10. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 11. 若是方程的一个根，则的值为______ 【答案】2023 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到含的等式，通过整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入方程得 ， 整理得 将代入上式 可得原式． 12. 如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用等面积法求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，， ， ， 在中，，  ，  ，  ， ， ． 13. 在锐角中，，分别为的中线和角平分线，，且于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，取的中点，连接，根据三角形的中位线定理得到，根据平行线分线段成比例推出为的中位线，进而求出的长，即可得出结果. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴. 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； （2）在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）①，；② 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可； （）①根据（）所画图象解答即可；②根据①中对应点的坐标变化解答即可； 本题考查了画位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由图可得，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 故答案为：，； ②由①可得，边上任意一点的对应点的坐标为， 故答案为：． 15. 解答下列各题 （1）解方程 （2）在解一元二次方程时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：或 第五步： 问： ①小明第三步配方的依据是______； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 ②小明的解答过程从第几步开始出现错误？______； ③直接写出该方程的根是______． 【答案】（1），． （2）①A；②二；③ 【解析】 【分析】（1）利用因式分解的方法解方程即可； （2）①根据配方法的依据是完全平方公式可得答案；②根据等式的基本性质可得答案；③解方程即可得到方程的解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：①小明第三步配方的依据是完全平方公式， ∴A符合题意； ②小明的解答过程从第二步开始出现错误； ③第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：或， 第五步：． 16. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商以每个30元的价格购进某种头盔，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨3元/个，则月销售量将减少30个． （1）若售价上涨1元/个，每月销售量将减少______个此款头盔． （2）①设售价上涨元/个，每月能售出______个此款头盔． ②若此款头盔月销售利润刚好达到8000元，且售价不能超过55元/个，则该款头盔每个售价应上涨多少元？ 【答案】（1） （2）①，②该种头盔每个售价应上涨元． 【解析】 【分析】（1）根据售价每上涨3元/个，则月销售量将减少30个，可得售价上涨1元/个，每月销售量将减少个此款头盔； （2）①设售价上涨元/个，可得销量为减去减少的数量即可得到答案； ②由利润等于单件利润乘以销售数量可得，进一步解方程即可． 【小问1详解】 解：∵当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨3元/个，则月销售量将减少30个． ∴若售价上涨1元/个，每月销售量将减少个此款头盔． 【小问2详解】 解：①设售价上涨元/个，每月能售出个此款头盔． ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， 售价不能超过55元/个，而， ， 答：该种头盔每个售价应上涨元． 17. 如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：__________，使得四边形为菱形．并说明理由； （2）若四边形为菱形，，，求的长． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是先利用矩形对边平行的性质推导平行四边形，再通过添加条件满足菱形判定，第二问结合菱形面积的两种计算方法建立等式求线段长度． （1）先根据矩形性质得，推出；结合和添加的条件（如）证，得，判定四边形为平行四边形；再由，根据菱形判定定理得出结论． （2）先利用勾股定理求矩形对角线的长；设菱形边长，在中列方程求；再分别用“底高”和“对角线乘积的一半”表示菱形面积，建立等式求的长． 【小问1详解】 解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是菱形． ∴， 设，则 在中，由勾股定理得：， 即． 展开得：， 化简得：， 解得：． ∵代入得：， 化简得：， 解得：， 答：的长为． 18. 通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． （1）【画图操作】如图所示，旗杆、在光源下的影子分别为、，请在图1中画出光源O的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长； （2）【数学思考】 如图2，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为________； A． B． C． D． （3）【解决问题】 如图3，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处，测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求光源，线段即为所求影子． （2）D （3）灯杆的高度为 【解析】 【分析】（1）利用中心投影中“光线、物体顶端、影子顶端”三点共线的性质确定光源位置，进而画出影长； （2）分析小明经过路灯正下方前后，影长随距离变化的趋势（先变短后变长），从而匹配函数图像即可； （3）先证明，，利用相似三角形对应边成比例，建立关于未知线段长度的方程，求出相关线段长，进而求出灯杆高度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：小明从点A出发走向路灯C的正下方，随着他与路灯水平距离的减小，他的影长y逐渐变短；当他经过路灯正下方后继续走向点B，随着他与路灯水平距离的增大，他的影长y逐渐变长．观察选项，只有D符合． 【小问3详解】 解：，， ，， ，， ， ， ，，，， ，解得：， ， ， ， 灯杆的高度为． 19. 定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程．例是的一个根，则是常数根一元二次方程． （1）下列方程是常数根一元二次方程的有______ ① ② ③ ④ （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （3）已知关于的一元二次方程（，不等于0）是常数根方程，且其另一个根为，求的值及之间的数量关系式． 【答案】（1）②③ （2）的值为或 （3）的值为，与的数量关系式为 【解析】 【分析】（1）将各方程的常数项代入方程，验证是否为方程的根，即可判断． （2）将常数项作为根代入方程，求解关于的一元二次方程即可． （3）根据常数根定义得是方程的一个根，结合另一个根，利用根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解：①方程的常数项为，将代入左边得，故该方程不是常数根一元二次方程． ②方程的常数项为，将代入左边得 ，故该方程是常数根一元二次方程． ③方程的常数项为，将代入左边得，故该方程是常数根一元二次方程． ④方程的常数项为，将代入左边得，故该方程不是常数根一元二次方程．  综上所述，是常数根一元二次方程的有②③； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是常数根一元二次方程， ∴常数项是方程的根， 将代入方程得：  ， 提取公因式得： ，即，  解得或． 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程（，）是常数根方程， ∴ 是方程的一个根， 又∵ 方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，两根之积为， ∴ ， ∵ ，两边同时除以得： ， 解得． 根据根与系数的关系，两根之和为， ∴ ， 将代入上式得： ， 整理得． 20. 综合与探究 【探究发现】（1）小军同学对图1、2两个四边形性质进行了探究． ①如图1，在四边形中，，，，则______（填位置关系）； ②如图2，在四边形中，，于E，则______；（填“>”，“<”或“=”） 【抽象定义】小军发现上面两个四边形有一些共同特征．他把有一个内角是直角，且对角线互相垂直四边形称为“直角对垂四边形”． 【存在性】（2）如图3，在三角形中，，点D是中点，将线段绕点A逆时针旋转至，使得，连接、，与相交于点F，求证：四边形是直角对垂四边形． 【应用】（3）如图4，在长方形中，，，点E在上，点F在四边形的边上，，如果四边形是直角对垂四边形，直接写出的长． 【答案】（1）①⊥；②=； （2）证明：∵，点D是中点， ∴，， ∵， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线，即， 又即， ∴四边形是直角对垂四边形； （3）1或或或 【解析】 【分析】（1）①证明是线段的垂直平分线，即； ②证明，即可得到； （2）证明，得到，证明是线段的垂直平分线，即可证明四边形是直角对垂四边形； （3）分三种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，勾股定理以及公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线，即， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）当点F在边上， 设，则， ∵四边形是直角对垂四边形， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得，即， 解得或， ∴的长为1或； 当点F在边上，设， 作于点，且点在点右侧，如图， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，即， 整理得， 则，解得， ∵，不符合题意，舍去， ∴的长为； 当点F在边上，设， 作于点，且点在点左侧，如图， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，即， 整理得， 则， 解得， ∵，不符合题意，舍去， ∴的长为； 综上，的长为1或或或． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 观澜二中教育集团2026-2027学年第一学期期中测试试卷 九年级数学 说明： 1．全卷共20题，满分100分．考试时间90分钟． 2．答题前，请检查试卷和答题卡是否完整无破损；然后将考生信息用规定的笔填涂在答题卡的指定位置． 3．答题时将答案写在答题卡的指定位置；不得使用涂改液． 4．保持答题卡的整洁，考试结束后，只上交答题卡． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为( ) A. B. ° C. ° D. 5. 下列图形中，相似多边形是（ ） A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 丙与丁 D. 乙与丁 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 7. 如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片上作出一个菱形．同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则______． 10. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 11. 若是方程的一个根，则的值为______ 12. 如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为________． 13. 在锐角中，，分别为的中线和角平分线，，且于点，，则______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； （2）在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 15. 解答下列各题 （1）解方程 （2）在解一元二次方程时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：或 第五步： 问： ①小明第三步配方的依据是______； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 ②小明的解答过程从第几步开始出现错误？______； ③直接写出该方程的根是______． 16. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商以每个30元的价格购进某种头盔，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨3元/个，则月销售量将减少30个． （1）若售价上涨1元/个，每月销售量将减少______个此款头盔． （2）①设售价上涨元/个，每月能售出______个此款头盔． ②若此款头盔月销售利润刚好达到8000元，且售价不能超过55元/个，则该款头盔每个售价应上涨多少元？ 17. 如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：__________，使得四边形为菱形．并说明理由； （2）若四边形为菱形，，，求的长． 18. 通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． （1）【画图操作】如图所示，旗杆、在光源下的影子分别为、，请在图1中画出光源O的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长； （2）【数学思考】 如图2，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为________； A． B． C． D． （3）【解决问题】 如图3，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处，测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 19. 定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程．例是的一个根，则是常数根一元二次方程． （1）下列方程是常数根一元二次方程的有______ ① ② ③ ④ （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （3）已知关于的一元二次方程（，不等于0）是常数根方程，且其另一个根为，求的值及之间的数量关系式． 20. 综合与探究 【探究发现】（1）小军同学对图1、2两个四边形性质进行了探究． ①如图1，在四边形中，，，，则______（填位置关系）； ②如图2，在四边形中，，于E，则______；（填“>”，“<”或“=”） 【抽象定义】小军发现上面两个四边形有一些共同特征．他把有一个内角是直角，且对角线互相垂直四边形称为“直角对垂四边形”． 【存在性】（2）如图3，在三角形中，，点D是中点，将线段绕点A逆时针旋转至，使得，连接、，与相交于点F，求证：四边形是直角对垂四边形． 【应用】（3）如图4，在长方形中，，，点E在上，点F在四边形的边上，，如果四边形是直角对垂四边形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $