精品解析：陕西西安高新第一中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试 2028届高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，所以． 由，得． 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算与共轭复数概念可得. 【详解】由， 的共轭复数是. 故选：A. 3. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 2 C. 2或6 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理得到两根的和与积，结合等比数列下标性质求出，再根据条件判断的符号，舍去负解，完成求值. 【详解】是方程的两根， 根据韦达定理，所以 【点睛】本题考查等比数列性质与韦达定理综合应用，重点检验学生对等比数列项的符号辨析能力，提醒学生在利用等比中项公式时，不能直接默认正负双解，需要结合题干条件判断符号取舍。 4. 对于实数，，，下列命题中是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则， 【答案】D 【解析】 【详解】对，若，，则错； 对，若，则，所以，即，故错； 对，，因为，所以， 所以，所以，故错； 对，因为且，所以，又，所以，且 所以，故D对. 5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面及面面的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，则或，故A错误； 对于B，当，时，满足，此时不成立，故B错误； 对于C，因为，则或相交或异面，故C错误； 对于D，因为垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 所以当，则，故D正确. 6. 某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 估计这组数据的众数为80 B. 估计成绩低于60分的有25人 C. 估计这组数据的上四分位数为82 D. 估计该校1000名学生竞赛的平均成绩为73分 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，在频率分布直方图中，最高矩形对应的区间为，所以众数为，故A错误； 对于B，成绩低于分的频率为， 所以成绩低于分的有人，故B错误； 对于C，由前四组的频率之和为， 前五组的频率之和为， 设这组数据的上四分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，平均成绩为，故D错误. 7. 函数的部分图象如图所示，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象求得函数的解析式，利用对称性可求得的值，由此可求得的值. 【详解】由图象可知，，，， 此时，又， 则，即， 又，所以，所以， 由图可知，若，且， 则，即， 所以. 故选：A. 8. 已知定义域均为的函数满足，，，若，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 为的一个周期 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项. 【详解】对于A，由，可得，又由，可得， ，所以的图象关于轴对称，故A正确； 对于B，由，可得，则得， 故，即为函数的一个周期，故B正确； 对于C，在中，令，得，在中，取, 可得，在中，取,可得， 故,故C错误； 对于D，因,，则， 故，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于3”，“掷出点数为1”，则下列说法正确的有（ ） A. B. 事件包含于事件 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】掷一枚质地均匀的正方体骰子一次,样本空间为,共6个基本事件,每个基本事件出现的可能性相同,均为. 对于A,事件含3个基本事件,则,A正确. 对于B,事件,事件,显然,即事件包含于事件,B正确. 对于C,,即事件与事件可以同时发生,二者不是互斥事件,C错误. 对于D,,,因,则事件与事件相互独立,D正确. 10. 已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若数列公差为正数，则数列是递增数列 B. 若，则的值为6 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】若数列公差为正数，则等差数列是递增数列，故A正确； 因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 若，则成等差数列， 所以，解得，故B错误； 因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列， 所以是与的等差中项， 所以，故C正确； 因为等差数列，的前项和分别为，，所以， 根据等差中项的性质知，即， 所以，故D正确. 11. 在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有（） A. 若与抛物线焦点重合，则 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设出抛物线上任意两点连线与轴交点的横坐标与该弦两端点纵坐标的固定关系，即，对于A、B选项，直接利用建立纵坐标乘积的关系式即可判定；对于C选项，将线段长度转化为交点的横坐标绝对值，结合B选项的结论进行化简；对于D选项，利用底边在轴上的三角形面积公式，将面积之比转化为线段之比与高之比，再通过纵坐标关系进行巧妙的代数替换化简，即可判断. 【详解】设抛物线上任意两点与（）， 直线的斜率，则直线的方程为， 令，解得直线与轴交点的横坐标，且当时直线垂直于轴，交点为原点； A选项：抛物线的焦点为，若为直线与轴的交点， 则，解得，故A选项错误； B选项：直线与均交轴于点，则，故，故B选项正确； C选项：直线与分别交轴于，则，，， ，又由B选项知，代入得， 又，故，C选项正确， D选项：因为， ，同理得，所以， 由，得，得， 故，所以， ，又由变形得， 代入上式得， 故面积比，故D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 13. 已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，得到渐近线的倾斜角范围，进而得到关于，的不等式，利用，进而得到关于，的不等式，可求得离心率的取值范围. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率， 即. 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱柱为一“堑堵”，是的中点，，在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，画出辅助线，判断等腰梯形存在的条件，分别计算等腰梯形边长然后求解. 【详解】 如图所示，分别取，，的中点，连接， 因为是中点，所以，且， 在直三棱柱中，且， 因为分别为中点，所以且，所以四边形是平行四边形， 所以且，所以，且， 所以四点共面，因为分别是，的中点，所以, 又平面，且不在平面内，所以， 因为，且分别是，的中点，所以， 则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形， 当不是中点时，不平行于平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形只有一个， 在等腰梯形中，，，过点作的垂线，交于点，所以， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为. （1）求出的通项公式； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，利用作差法求出时的表达式，即可得出的通项公式； （2）求出的对称轴，即可求出的最小值. 【小问1详解】 当时，， 当时，， ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在中， ，， 的对称轴为， ∴当或时，取最小值， ∵，， ∴的最小值为. 16. 已知圆，直线． （1）证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程． 【答案】（1） 直线化为， 则，解得， 所以直线 l 恒过定点， 圆心，半径， 又因， 所以点在圆C内， 所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论； （2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短， 最短弦长为， ，所以直线 l 的斜率为2， 即，解得， 所以直线 l 的方程为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角的大小； （2）若边上的中线长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理将已知等式化为边的关系,求出,再结合角的范围确定. （2）设中点为,用中线长公式求出,结合余弦定理求,再由面积公式求. 【小问1详解】 由余弦定理,. 代入,得. 整理得,即. 所以. 因为,所以. 【小问2详解】 设为的中点,则,,所以. 在中,由余弦定理,. 在中,同理,. 因为,所以,两式相加得. 由中线长公式,. 代入,,得,解得. 又由余弦定理,. 代入,,,得. 所以. 故. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）若点是线段上的动点，是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，请说明理由. 【答案】（1）证明：平面，平面，， ，，平面，平面， 平面 （2）存在点，为线段的靠近点的三分点，使得与平面所成角的正弦值为，理由如下： 以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，，，，， 点在上，设，，， 面的一个法向量为， 则，取，得， 要使与平面所成夹角的正弦值为，则， 解得，满足条件，所以，存在点，为线段的靠近点的三分点. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的计算公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，其左、右焦点分别为，.若有光束自点射出，经椭圆两次反射后回到点，其光程为8.若椭圆上有两点，，过，分别作椭圆的两条切线，. （1）求椭圆的方程； （2）若，过作的垂线交轴于，求； （3）过，作的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】(1)由椭圆定义即可得； (2)由两点间的距离公式结合点斜式即可得； (3) 利用椭圆切线的性质设出切线的方程，由点到直线距离公式表示出两焦点到切线的垂线段长度、，结合平几性质将直角梯形的面积表示为关于切线斜率的函数，化简后利用基本不等式即可求得面积最大值. 【小问1详解】 由题意可知，又因为，所以， 所以椭圆的方程. 【小问2详解】 法1：设， 解得，由对称性不妨取， 在点切线方程为其斜率为，直线斜率 由点斜式知直线为： 所以，. 法2：由光学性质：如图，在切线上取点，， 因为直线，关于对称，所以， 又因为，所以， 又因为，，所以， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 且，， 上述两方程化简可得 因为，所以，所以， 又因为，所以解得. 【小问3详解】 由题意可知直线的斜率存在，设的倾斜角为， 过作交或其延长线于点，设，则到的距离为， 由梯形的中位线可知， 因为，所以四边形为矩形， 所以 ， 所以， 联立，得， 由，化简可得， 所以， 令，则， 当，即，即时，四边形的面积有最大值，此时最大值为， 综上所述，四边形面积的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 2028届高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 2 C. 2或6 D. －2 4. 对于实数，，，下列命题中是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则， 5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 估计这组数据的众数为80 B. 估计成绩低于60分的有25人 C. 估计这组数据的上四分位数为82 D. 估计该校1000名学生竞赛的平均成绩为73分 7. 函数的部分图象如图所示，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域均为的函数满足，，，若，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 为的一个周期 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于3”，“掷出点数为1”，则下列说法正确的有（ ） A. B. 事件包含于事件 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 10. 已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若数列公差为正数，则数列是递增数列 B. 若，则的值为6 C. 若，，则 D. 若，则 11. 在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有（） A. 若与抛物线焦点重合，则 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________. 13. 已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱柱为一“堑堵”，是的中点，，在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为. （1）求出的通项公式； （2）求的最小值. 16. 已知圆，直线． （1）证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角的大小； （2）若边上的中线长为，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）若点是线段上的动点，是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，请说明理由. 19. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，其左、右焦点分别为，.若有光束自点射出，经椭圆两次反射后回到点，其光程为8.若椭圆上有两点，，过，分别作椭圆的两条切线，. （1）求椭圆的方程； （2）若，过作的垂线交轴于，求； （3）过，作的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $