精品解析：福建省东盛集团2026-2027学年上学期九年级期中数学试题

东盛集团2026－2027学年（上）九年级期中数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. 如图所示，该几何体的左视图是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图为： 3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与菱形的性质，掌握这两种图形的性质是关键；根据矩形与菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：矩形与菱形作为特殊的平行四边形，都具有性质：对边平行且相等；对角线互相平分；矩形特有的性质：四个角都是直角，对角线相等；菱形特有的性质：对角线互相垂直，且对角线平分对角，四边相等； 选项A、C是矩形与菱形都具有的性质；选项D是菱形特有的性质；选项B是矩形特有的性质； 故矩形具有而菱形不一定具有的性质是四个角都是直角； 故选：B． 4. 如图，在菱形中，，点P是的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且， ，，， ， ， ∵点P是的中点， ． 5. 根据表中的对应值，判断方程的一个解x的取值范围是（ ） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合表格中代数式的取值变化确定解的区间． 【详解】解：方程的解对应代数式的值为3时的值， ∵当时，； 当时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 6. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质和相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据位似图形的性质可得，，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 的值为． 故选：D． 7. 某种商品原价每件200元，连续两次降价后的售价为128元．若两次降价的百分率相同，则这个百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，根据“连续两次降价后的售价为128元”列出方程，求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这个百分率是． 8. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C．若添加，不能证明，故本选项符合题意； D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 9. 已知线段的长为2，点在线段上，若满足，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的比例关系，结合线段和差列一元二次方程求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴ 解得，， ∵线段长度为正数， ∴，即线段的长是． 10. 如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由题干条件容易得出，相加即可；对于②，延长至点，使得，利用“半角”模型与正方形的性质容易证明与，则，，由三角形外角的性质可得；对于③，作于点，连接，，容易证明与，则，，同理，，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出即可；对于④，由③可得，，，则，推出，通过导角可得，解直角三角形可计算出． 【详解】解：对于①，正方形的周长是周长的倍， ，即， ， ，， ，故①正确； 对于②，如图，延长至点，使得， 由①可得， ， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， 又，， ， ，故②正确； 对于③，如图，作于点，连接，， 由②可得，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 同理，， ，， ， 在中，，故③正确； 对于④，由③可得，，， ， 在中，， ， ，，且， ， ，即， ， ， ，即， ，故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据比例性质，设，，代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 12. 一元二次方程化为一般形式后，常数项是______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：化为一般形式为，常数项为1 13. 写出一个以和4为根且二次项系数为1的一元二次方程是___．（用一般形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，根与系数的关系式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项即可得到答案． 【详解】解：由根与系数的关系可得，一次项系数为，常数项为， ∴符合题意的一元二次方程为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如解图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点，证明，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可. 【详解】解：如图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点， ∵点，横杆两端的坐标分别为，， ∴，轴， ∴，，，， ∴， ∴. 15. 如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点B，E落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点C，G落在直线的两侧，连接．若，则的长为 ______． 【答案】13 【解析】 【分析】证明得，过点C作并延长交于M，则四边形是矩形，求出，，，然后利用勾股定理即可求解． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，， ，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 过点C作并延长交于M，则四边形是矩形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：13． 16. 在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由，得出，可求出，则AE=，再证明 △AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到AO：OB的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本题共9题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若其中一根为，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟记相关结论即可． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解； （2）能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得：， 整理得：； 解得：． 19. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC，. 又分别是、的中点， 所以BE=CF,所以（SAS）， 所以（全等三角形的对应边相等）. 【解析】 【分析】若证明线段相等，通常证明线段所在的两个三角形全等，此题通过正方形性质及已知E,F分别为AB,BC中点，利用边角边证明即可得出结论. 【详解】略 20. 如图，已知矩形中，， （1）请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）求菱形的边长． 【答案】（1） 四边形即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形： （1）连接，作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，，四边形即为所求； （2）设，利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 由作图可知：， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 设 四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得， 菱形的边长为 21. 如图，在中，对角线交于点O，且点E是边上一点，连接，若于点E，且， （1）求证：四边形为矩形； （2）延长交的延长线于点F，若，，求边的长度． 【答案】（1） 证明： 四边形为平行四边形 ∴，即， 又 ， 又四边形为平行四边形 ∴四边形为矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解一元二次方程． （1）利用平行四边形的性质求得，推出，证明，证明，即可证明四边形为矩形； （2）证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为矩形 又∵，（公共角） ∴ 设，则 整理得， 解得（舍） ∴ ∴在中，． 22. 某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场的一边长为8米，则______米； （2）若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； （3）矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）24 （2）9米 （3）解：矩形饲养场的面积不能达到240平方米，理由如下： 设米，则米， 假设矩形饲养场的面积能达到240平方米，则， 整理得， 此时， ∴原方程无解， ∴假设不成立， ∴矩形饲养场的面积不能达到240平方米； 【解析】 【分析】（1）的长度等于木栏总长减去长度的3倍，再加上3个门的长度，据此列式求解即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）设米，则米，根据矩形的面积公式建立方程，看方程是否有正实数根即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，（米）； 【小问2详解】 解：设米，则米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， 答：边的长为9米； 【小问3详解】 略 23. 为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】（1）米 （2）米 （3）1米 【解析】 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【小问1详解】 解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； 【小问2详解】 解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； 【小问3详解】 解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】（1）不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； （2）或0 （3）或 【解析】 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； 【小问3详解】 解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 25. 如图，在中，，，，Q为的中点．动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为边构造正方形，且边与点B始终在边同侧．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长为________； （2）线段的长为________（用含t的代数式表示）； （3）当正方形的顶点M落在的边上时，求t的值； （4）当正方形的边的中点落在线段上时，求t的值和正方形的面积． 【答案】（1）3 （2） （3）t的值为2或 （4）， 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理进行列式计算，即可作答． （2）结合运动方向和运动速度列式作答即可． （3）依题意，进行分类讨论，当①当点M落在上时，且结合图形，由正方形的性质得出，证明，列式计算，得出；②当点M落在上时，过点Q作于点K，由正方形的性质证明，，然后证明，得出，然后得，则，进行即可作答． （4）依题意，当点的中点F落在边上，作图，结合正方形的性质，证明，列式，结合（3）②可知，，则，计算出，则，再结合勾股定理，即可得出进行作答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：依题意，①当点M落在上时，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ②当点M落在上时，如图2， 过点Q作于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 在和中． ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴当正方形的顶点M落在的边上，t的值为2或 【小问4详解】 解：当点的中点F落在边上时，如图3， 过点Q作于点E， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（3）②可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东盛集团2026－2027学年（上）九年级期中数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的左视图是（     ） A. B. C. D. 3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 4. 如图，在菱形中，，点P是的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 根据表中的对应值，判断方程的一个解x的取值范围是（ ） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 6. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某种商品原价每件200元，连续两次降价后的售价为128元．若两次降价的百分率相同，则这个百分率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知线段的长为2，点在线段上，若满足，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若，则________． 12. 一元二次方程化为一般形式后，常数项是______． 13. 写出一个以和4为根且二次项系数为1的一元二次方程是___．（用一般形式表示） 14. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 15. 如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点B，E落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点C，G落在直线的两侧，连接．若，则的长为 ______． 16. 在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝_____． 三、解答题（本题共9题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若其中一根为，求k的值． 19. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 20. 如图，已知矩形中，， （1）请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）求菱形的边长． 21. 如图，在中，对角线交于点O，且点E是边上一点，连接，若于点E，且， （1）求证：四边形为矩形； （2）延长交的延长线于点F，若，，求边的长度． 22. 某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场的一边长为8米，则______米； （2）若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； （3）矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 23. 为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 25. 如图，在中，，，，Q为的中点．动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为边构造正方形，且边与点B始终在边同侧．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长为________； （2）线段的长为________（用含t的代数式表示）； （3）当正方形的顶点M落在的边上时，求t的值； （4）当正方形的边的中点落在线段上时，求t的值和正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $