精品解析：湖南娄底市市区2026年秋季学期九年级数学期中质量检测卷

2026年秋季学期九年级数学期中质量检测卷 （时量：120分钟满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 嘉嘉依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 7. 小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知，且，，则________． 12. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为．若某物体由传送带从地面A处经过60米传送到B处，则该物体被抬高了________米． 13. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，，则B点下方的琴弦长为________． 14. 如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 15. 某企业生产一种新能源汽车充电桩，该产品2023年产量为20万件，2025年产量为28.8万件．已知2024年、2025年这两年产品产量的年平均增长率相同．设这两年这种产品产量的年平均增长率为，根据题意，列方程得________． 16. 如图，在中，，，延长至，使，则 的值是___________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 18. 计算：． 19. 【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 （1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． （2）若，，求的长． 20. 如图，在的正方形网格中，将缩小得到它的位似图形． （1）在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为________；与的位似中心的坐标为________；与的相似比为________； （2）以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为，写出点的坐标； 21. 某商场以每盒120元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为160元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降x元，则每天能售出________盒；（用含x的代数式表示） （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3200元？ 22. 综合与实践 项目主题 探究三角形展示牌的制作与用料问题 生活素材 为迎接校园文化节，学校手工社团要制作一块三角形展示牌，其平面设计图由两个三角形拼接而成（如图）． 图中是等腰直角三角形，其中，；与共用斜边，且，．经测量，． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： （1）项目任务一：________°，________． （2）项目任务二：求中与的长． （3）项目任务三：制作展示牌时，要在正面给两个区域分别贴上不同颜色的卡纸：区域用红色卡纸（每平方分米0.6元），区域用蓝色卡纸（每平方分米0.4元）．社团准备了30元经费，请通过计算判断这笔经费是否够用．（参考数据：，结果精确到0.1元） 23. 阅读材料：对于一元二次方程，我们把叫做它的根的判别式．若它的根的判别式是一个完全平方式（即可以写成某个整式的平方），则称这个方程为“完美方程”．例如：方程的根的判别式为，是一个完全平方式，所以它是一个“完美方程”． 已知关于x的一元二次方程（m为实数）． （1）求证：无论m取何实数，该方程都是“完美方程”． （2）设该方程的两个实数根为，．若，求m的值． （3）如图若该方程的两个实数根恰好是一个直角三角形的两条直角边长，且斜边长为5，求m的值及这个直角三角形的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒（），过点P作轴，垂足为M． （1）求点A、点B的坐标，并求的值． （2）过点P作轴，垂足为N，用含t的代数式表示和的长． （3）连接，当t为何值时，以O、M、P为顶点的三角形与相似？求出所有符合条件的t的值． （4）设的面积为S，请写出S与t的函数表达式，并用配方法求S的最大值和此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期九年级数学期中质量检测卷 （时量：120分钟满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义列对应比例式，代入已知数值求解． 【详解】解：∵线段，，，为成比例线段， ∴． 将，，代入得， ， ， ． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从整式性、未知数个数、最高次数三个维度判断方程是否为一元二次方程． 【详解】解：A、C选项中，未知数最高次数为1，未知数最高次数为3，均不满足最高次为2的要求，不是一元二次方程； B、是分式方程，不满足整式性，不是一元二次方程； D、是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，是一元二次方程． 3. 嘉嘉依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，代入相关数据即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 5. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ． 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴，即， 解得：． 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ∴， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． 和的周长之比为． 9. 若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 10. 如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，得出四边形是矩形，可得，再解直角三角形，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图，由题意得，，，， ，， 过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即容器最高处距离地面的高度是． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知，且，，则________． 【答案】 36 【解析】 【分析】已知两相似三角形的相似比与其中一个三角形的面积，可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解另一个三角形的面积． 【详解】解：∵，且， ∴相似三角形的面积比等于相似比的平方，即， ∵， ∴， 解得． 12. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为．若某物体由传送带从地面A处经过60米传送到B处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【解析】 【分析】构造直角三角形，设铅垂高度为，根据坡度定义表示出水平宽度，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作地面于点， 设米， ∵坡度， ∴， ∴米， 在中，，米， ∴， 整理得， 解得（负值已舍去）， ∴该物体被抬高了米． 13. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，，则B点下方的琴弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】按照黄金比进行计算即可． 【详解】解：依题意可知，， ， ， ． 14. 如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，由勾股定理求出，由相似三角形的判定和性质得出，由三角形外角的定义和性质求出． 【详解】解：设正方形的边长为a， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 15. 某企业生产一种新能源汽车充电桩，该产品2023年产量为20万件，2025年产量为28.8万件．已知2024年、2025年这两年产品产量的年平均增长率相同．设这两年这种产品产量的年平均增长率为，根据题意，列方程得________． 【答案】 【解析】 【分析】已知2023年的初始年产量、2025年的最终年产量，且2024、2025两年的年平均增长率相同，需按照连续两年同比例增长的数量关系建立对应方程． 【详解】解：∵2023年的年产量为20万件，设年平均增长率为x， ∴2024年的年产量为万件， ∵2025年的年产量是在2024年产量的基础上，以相同的年平均增长率x增长， ∴2025年的年产量为万件， 又∵2025年的实际年产量为28.8万件， ∴可列方程． 16. 如图，在中，，，延长至，使，则 的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知∠BAC角度及AD=AB可计算∠D、∠DBA和∠ABC的度数，再由∠DBA和∠ABC计算可知，. 【详解】解：中，， ∴∠ABC=180°-90°-30°=60° ∵AB=AD ∴∠DBA=∠D ∵∠DBA+∠D=（三角形的外角等于其它两个内角和） ∴∠DBA=∠D=15° ∴∠DBC=∠DBA+∠ABC=15°+60°=75° ∴ 假设，则， ∵AB=AD ∴ ∴. 故答案为 【点睛】本题主要考查了 （1）三角函数的概念，sin 是对边比斜边，cos 是邻边比斜边，tan 是对边比邻边； （2）掌握直角三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中，30°所对应的直角边等于斜边的一半. 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ，则方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别化简零指数幂、有理数乘方、负整数指数幂、含特殊角三角函数的绝对值项，再合并计算结果． 【详解】解：原式 ． 19. 【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 （1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ． 点在上，点在上， ． ，． ． （2） 【解析】 【分析】（）由菱形对边平行得，进而，利用平行线的内错角相等得到两组对应角相等，由两角分别相等证明两个三角形相似． （）由菱形四边相等与已知连比求出、的长度比，再利用相似三角形对应边成比例，将与的比转化为与的比，代入求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ， ，． 四边形是菱形， ． ，． 由（）知， ． ， ， 解得． 20. 如图，在的正方形网格中，将缩小得到它的位似图形． （1）在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为________；与的位似中心的坐标为________；与的相似比为________； （2）以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为，写出点的坐标； 【答案】（1）；；． （2）如图所示，为所求： 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）先由已知两点、确定坐标轴原点与单位长度，再按格点读出的坐标；连接各组对应点，其交点即为位似中心；对应边之比即为相似比． （2）以为位似中心、相似比，、分别是、的中点，在网格上取中点连线作图，再读出的坐标． 【小问1详解】 解：由、，建立平面直角坐标系． 则，，，． 连接、、，三条直线交于点，故位似中心为． ，， 与的相似比为． 【小问2详解】 解：以点为位似中心，相似比为，即和对应边之比为． 分别取、的中点、，连接、、，则即为所求（作图略）． 是的中点，，， ，即． 同理，是的中点，． 21. 某商场以每盒120元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为160元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降x元，则每天能售出________盒；（用含x的代数式表示） （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3200元？ 【答案】（1） （2）152元或140元 【解析】 【分析】（1）根据每盒月饼降价1元，商场每天就可以多售出5盒，列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出盒，根据“每天的销售利润恰好能达到3200元”列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设售价每盒下降x元，则每天能售出盒； 【小问2详解】 设月饼每盒售价下降x元，则月饼每盒售价为元，每天能售出盒， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（元）， 当时，（元）， 答：当月饼每盒售价为152元或140元时，每天的销售利润恰好能达到3200元． 22. 综合与实践 项目主题 探究三角形展示牌的制作与用料问题 生活素材 为迎接校园文化节，学校手工社团要制作一块三角形展示牌，其平面设计图由两个三角形拼接而成（如图）． 图中是等腰直角三角形，其中，；与共用斜边，且，．经测量，． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： （1）项目任务一：________°，________． （2）项目任务二：求中与的长． （3）项目任务三：制作展示牌时，要在正面给两个区域分别贴上不同颜色的卡纸：区域用红色卡纸（每平方分米0.6元），区域用蓝色卡纸（每平方分米0.4元）．社团准备了30元经费，请通过计算判断这笔经费是否够用．（参考数据：，结果精确到0.1元） 【答案】（1）， （2）， （3）总费用约为元，这笔经费不够用． 【解析】 【分析】（）为等腰直角三角形，两锐角相等，均为，再由勾股定理求斜边． （）在中，，其所对的直角边等于斜边的一半，再由勾股定理求． （）分别计算与的面积，乘对应卡纸单价求和，再与元经费比较判断是否够用． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，，， ． ， ． ． 【小问2详解】 解：，，， ． 在中，由勾股定理， ． 【小问3详解】 解：（平方分米）． 红色卡纸费用：（元）． （平方分米）． 蓝色卡纸费用：（元）． 总费用：（元）． ， 这笔经费不够用． 23. 阅读材料：对于一元二次方程，我们把叫做它的根的判别式．若它的根的判别式是一个完全平方式（即可以写成某个整式的平方），则称这个方程为“完美方程”．例如：方程的根的判别式为，是一个完全平方式，所以它是一个“完美方程”． 已知关于x的一元二次方程（m为实数）． （1）求证：无论m取何实数，该方程都是“完美方程”． （2）设该方程的两个实数根为，．若，求m的值． （3）如图若该方程的两个实数根恰好是一个直角三角形的两条直角边长，且斜边长为5，求m的值及这个直角三角形的面积． 【答案】（1）证明：在关于x的一元二次方程中, ，，， ． 是整式的平方， 无论取何实数，该方程都是“完美方程”． （2）． （3），这个直角三角形的面积为． 【解析】 【分析】（）把方程系数代入判别式，配方化为完全平方式即可得证． （）方程左边能用十字相乘法分解为，直接写出两根与，再代入条件列方程求． （）两根即两直角边与，由勾股定理列方程，检验边长为正后再求面积． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：把方程左边因式分解，得． 方程的两个实数根为，． ， ． 解得， ． 检验：当时，方程为，两根为和，，符合题意． 【小问3详解】 解：由（）知，方程的两个实数根为和． 该方程的两个实数根恰好是一个直角三角形的两条直角边长，且斜边长为， 由勾股定理得． 解得，即． 直角边长必须为正数， ，即． 此时两条直角边长为和， 这个直角三角形的面积． 则，这个直角三角形的面积为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒（），过点P作轴，垂足为M． （1）求点A、点B的坐标，并求的值． （2）过点P作轴，垂足为N，用含t的代数式表示和的长． （3）连接，当t为何值时，以O、M、P为顶点的三角形与相似？求出所有符合条件的t的值． （4）设的面积为S，请写出S与t的函数表达式，并用配方法求S的最大值和此时点P的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，． （2），． （3）或． （4）（），的最大值为，此时点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）令、分别求直线与轴、轴的交点、，再由勾股定理求，用对边比斜边求． （2）由轴、轴得，按相似对应边成比例，用表示与． （3）与都是直角三角形，直角顶点对应，两条直角边有两种对应方式，分类列比例式求解． （4）由两直角边乘积的一半写出面积函数，配方化为顶点式求最大值，再回代求点的坐标． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点，令， ，解得，即． 直线与轴交于点，令， ，即． ，． 在中，由勾股定理，． ． 【小问2详解】 解：点从点出发沿运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ． 轴，轴， 轴，轴， ． ，． ，，， ，． 【小问3详解】 解：由（2）知，点的坐标为，垂足的坐标为． ，． 轴， ． 与均为直角三角形，按直角边的对应关系分两种情况： 情况一：与对应，与对应，即， ，即． 化简得，解得． 情况二：与对应，与对应，即， ，即． 解得． ，两个值均符合题意． 或． 【小问4详解】 解：． 化简得（）． 配方：． ，且， 当时，取得最大值． 此时，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $