精品解析：湖南省娄底市涟源市崇文学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

崇文中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D. 是不等式的解，这是一个必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断 【详解】解：A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意； B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意； C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查 D.解：， ， 解得：， ∴是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，首先将方程常数项移到右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，即可求解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加4，可得，即． 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CDAB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5 【答案】A 【解析】 【详解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°， ∴△BCD∽△BAC；① ∴∠BCD=∠A=30°， 在Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD； 由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2； 故选：A 6. 二次函数的图象的（ ） A. 最高点在 B. 最高点在 C. 最低点在 D. 最低点在 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意可把二次函数的解析式变成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：把二次函数变成顶点式得：， ∵，即开口向上， ∴该二次函数有最低点； 故选C． 7. 分式方程 的解为（ ） A. 无解 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解完方程注意验根是关键．解分式方程需先找公分母，同时注意分母不为零的条件．方程化简后得到，并判断该值是否能使分母为0即可． 【详解】解：∵原方程：， 化简左边：， ∴方程化为：， 两边同乘，得，解得， 但时，分母，无意义， ∴原方程无解． 故选：A． 8. 若关于x的方程 有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方程有实数根的条件，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．需分情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，方程为一元二次方程，需判别式，综合两种情况得出的取值范围即可． 【详解】解：①当 时，方程为 ，解得 ，有实数根； ②当 时，方程为一元二次方程，且有实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ 且 ， 综上，． 故选：C． 9. 关于四个函数 的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最大值 D. y 随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，关键是通过系数  判断对称轴； 通过分析每个二次函数的系数，判断开口方向、对称轴、最值和增减性，找出共同点． 【详解】解：∵ 二次函数  的对称轴为 ， 对于函数 ，，对称轴为  轴； 对于函数 ，，对称轴为  轴； 对于函数 ，，对称轴为  轴； 对于函数 ，，对称轴为  轴； ∴ 所有函数的对称轴都是  轴，选项 B 正确； 函数  和  开口向下，函数  和  开口向上，故 A 错误； 函数  和  有最大值，函数  和  有最小值，故 C 错误； 所有函数在对称轴两侧增减性不同，无统一增减趋势，故 D 错误； 故选：B． 10. 某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 11. 如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质，运用勾股定理构造方程是解题的关键． 连接，根据正方形的性质及旋转的性质证明，得到，．再证明，得到．设，则，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为5的正方形， ∴，， ∴， 由旋转可得， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， 即， 解得， ∴． 故选：C． 12. 已知点在二次函数 的图象上，且对任意实数m，不等式 都成立，则（ ） A. 一定存在大于1的实数t，使 B. 一定存在大于的负数t，使 C. 一定存在小于的实数t，使 D. 一定存在大于1的实数t，使 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；由条件  对任意实数  成立，推导出二次项系数  且常数项 ，由于 ，函数开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，因此必然存在  使得 ，其他选项不一定成立，可构造反例． 【详解】解：∵ ， ， 且 对任意  成立， ∴ ， 化简得 ，即 ． ∵ 该不等式对任意  成立，且 ， ∴ （若 ，则当  很大时不等式不成立）， 且当 时，，故 ． 对于选项 D： ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小， ∴ 必然存在  使得 ． 故选项 D 正确． 选项 A、B、C 不一定成立： 反例 A：取 ，则对于 ，有 ，不存在 ． 反例 B：取 ，则对于 ，有 ，不存在 ． 反例 C：取 ，则对于 ，有 ，不存在 ． 故选：D． 二、填空题（12分） 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．则两次摸到不同数字的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出树状图，得出所有可能的结果和符合事件要求的所有可能的结果，用概率公式求得即可． 【详解】如图， ， 共有9种等可能性的结果，其中两次摸到不同数字的结果有4种， 两次摸到不同数字的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查用树状图或列表法求简单事件的概率，正确画出树状图是解题的关键． 15. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于y的一元二次方程 的两个实数根，且该菱形的面积为16，则这个菱形的边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理． 设菱形的两条对角线长分别为和，由根与系数的关系得，，又由菱形的面积为16，得，即，从而．再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求边长即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为 、， 由根与系数的关系，得，， 又菱形的面积为16，即， 所以， 因此， 菱形的边长满足， 而， 所以． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点P的“变换线段”给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M ，将点M 分别向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度得到点N，称线段为点P的“变换线段”．已知线段是点P的“变换线段”，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意正确表示出点M、点N的坐标，并用两点间的距离公式表示出、、的长，当点P、M、N共线且点M在线段上时，取得最大值，且最大值为的长度即可获解． 【详解】设点P的坐标为，则点M的坐标为，点N的坐标为． ∴， ． 由三角形的三边关系，得， 且当点P、M、N共线且点M在线段上时取等号， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对新定义的理解，关于原点对称后的点坐标表示和平移后的点坐标表示，三角形的三边关系以及两点间的距离坐标公式，正确理解题意是解题的关键． 三、解答题（72分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】因式分解，可化为的形式，令，得出方程的解． 【详解】解： 或 ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解．解题的关键与难点是将方程进行因式分解． 18. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 【答案】①，②m的值为． 【解析】 【分析】①根据“关于x的一元二次方程有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可． ②根据“x1，x2是方程的两根且”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】解：①根据题意得： ， 解得：， ②根据题意得： ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系． 19. 如图，AC为的直径，BD是弦，且于点E，连接AB、OB、BC． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）弦的长为． 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理得到，则根据圆周角定理得到，根据，得出，从而得到； （2）先计算出，再利用勾股定理计算出，然后利用垂径定理得到，从而可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴的半径为， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：弦的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕顺时针旋转后的； （3）请求出的面积． 【答案】（1） 如下图所示：即为所求； （2） 如上图所示：即为所求； （3） 【解析】 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图、坐标与图形、利用网格求三角形的面积等知识， （1）找到关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到绕顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可； （3）利用包含的梯形的面积减去周围小三角形的面积即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 21. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）如果每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定降价销售，经过两次降价后每件童装的售价为81元/件，每次降价的百分率相同，求降价的百分率 【答案】（1）每件应降价20元 （2）降价的百分率为 【解析】 【分析】（1）设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可出售件，利用服装店每天销售该品牌童装获得的总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要使顾客得到更大的优惠，即可求解； （2）设每次降价的百分率均为，利用经过两次降价后的价格原价，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可出售件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要使顾客得到更大的优惠， ∴． 答：每件应降价20元． 【小问2详解】 设每次降价的百分率均为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：降价的百分率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：销售和平均变化率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 如图， 点， ，， 在同一条直线上， ，与交于点， ， ，求证： ． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据已知得出，根据等边对等角可得，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 23. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，能根据运算顺序正确计算和因式分解是解题的关键．可先对括号内的进行通分化简，并把除法运算正确转化为乘法运算且因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 24. 某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． （1）求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ （2）若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元 （2）共有7种购买方案 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可； （2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元． 【小问2详解】 解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据题意，得 ， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴共有7种购买方案． 25. 运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； （2）求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 【答案】（1）实心球运行满足的函数关系式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，能够正确求出函数关系式是解题关键； （1）直接用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质直接求解即可． 【小问1详解】 解：如图，以为原点，为y轴，为x轴，建立直角坐标系， 由题意：，， 将两点代入得到：， 解得， ∴实心球运行满足的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴当时，取到最大值为， 答：实心球在运行过程中离地面的最大高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇文中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 2. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D. 是不等式的解，这是一个必然事件 3. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CDAB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5 6. 二次函数的图象的（ ） A. 最高点在 B. 最高点在 C. 最低点在 D. 最低点在 7. 分式方程 的解为（ ） A. 无解 B. C. D. 8. 若关于x的方程 有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 9. 关于四个函数 的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最大值 D. y 随x的增大而增大 10. 某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（） A. B. C. D. 12. 已知点在二次函数 的图象上，且对任意实数m，不等式 都成立，则（ ） A. 一定存在大于1的实数t，使 B. 一定存在大于的负数t，使 C. 一定存在小于的实数t，使 D. 一定存在大于1的实数t，使 二、填空题（12分） 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．则两次摸到不同数字的概率是______． 15. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于y的一元二次方程 的两个实数根，且该菱形的面积为16，则这个菱形的边长是________． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点P的“变换线段”给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M ，将点M 分别向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度得到点N，称线段为点P的“变换线段”．已知线段是点P的“变换线段”，则的最大值为___________． 三、解答题（72分） 17. 解方程： 18. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 19. 如图，AC为的直径，BD是弦，且于点E，连接AB、OB、BC． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕顺时针旋转后的； （3）请求出的面积． 21. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）如果每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定降价销售，经过两次降价后每件童装的售价为81元/件，每次降价的百分率相同，求降价的百分率 22. 如图， 点， ，， 在同一条直线上， ，与交于点， ， ，求证： ． 23. 化简： 24. 某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． （1）求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ （2）若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 25. 运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； （2）求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $