精品解析：福建省福州第三中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

福州三中2026-2027学年第一学期期中考试卷 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，为正实数，且满足则（ ） A. B. C. D. 11. 对于定义域为的函数以及非空数集：若对任意，，当时，都有，则称与关联.下列说法正确的是（ ） A. 函数与关联 B. 若与关联，则是增函数 C. 若与关联，且当时，，则，都有 D. 若与关联，则与关联 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象过定点，则的坐标为__________. 13. 若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 14. 已知正实数，满足.若取得最小值时有，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 17. 某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. （1）求的函数关系式； （2）求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 18. 已知函数，，. （1）若不等式的解集为， （i）求，的值； （ii）求关于的不等式的解集； （2）若对恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，其中为实数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）给定实数，若存在两个不相等的实数，（且）使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2026-2027学年第一学期期中考试卷 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，结合条件知集合是由所有大于等于1的自然数构成的集合. 对于A，不是大于等于1的自然数，A错误； 对于B，1是元素，元素与集合的关系应使用或，B错误； 对于C，是集合，集合与集合的关系应使用或，C错误； 对于D，是集合，且3是集合中的元素，满足，D正确. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】首先，二次根式有意义的条件为被开方数非负，故成立的前提是， 对不等式两边同时平方（两边均为非负实数，平方后不等号方向不变），可得， 因此等价于. ①充分性验证：若成立，则，显然满足，故充分性成立； ②必要性验证：若成立，取反例，满足，但此时无意义，无法满足，故必要性不成立。 因此“”是“”的充分不必要条件. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，函数，对应法则不同，不是同一函数，A错误； 对于B，函数，且定义域都为R，是同一函数，B正确； 对于C，函数定义域为R，定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，函数定义域为R，定义域为，定义域不同，不是同一函数，D错误. 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，排除C，D， 当时，，排除B． 故选：A． 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】正数，满足，则， 又，即， 当且仅当，即时取等， 解得， 则的最小值为． 6. 已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，是减函数，得， 因为当时，二次函数开口向上，对称轴， 所以在上单调递减， 所以要使在上单调递减，则，解得， 故选：C 7. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 又在上单调递增， ， 即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例即可判断A，对于B，由不等式的性质即可判断；对于CD，由作差法即可判断. 【详解】对于A，当，则，故A错误； 对于B，若，则首先不可能等于0，否则矛盾， 从而，所以，故B正确； 对于C，若，则，，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 10. 已知，，为正实数，且满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】设，由为正实数可知， 根据对数定义结合换底公式得，，，其中， 因为自然对数为增函数，因此，分子为定值时，分母越大分数值越小， 故，即，即A正确，B错误； 易知， 所以，即C正确； 易知， 又显然，即, 所以，即， 又因为，所以，可得，即D正确. 11. 对于定义域为的函数以及非空数集：若对任意，，当时，都有，则称与关联.下列说法正确的是（ ） A. 函数与关联 B. 若与关联，则是增函数 C. 若与关联，且当时，，则，都有 D. 若与关联，则与关联 【答案】ACD 【解析】 【分析】先把关联的定义翻译成自变量的差属于 时函数值的差也属于 ，A 项直接作差判断，B 项构造反例，C 项利用 把自变量化到 上比较，D 项由 关联出发，把长差拆成若干段属于 的增量累加，推出与 关联. 【详解】当 时，，A 正确. 取 ，它满足题干条件且 ，而 ，所以 B 错误. 由 与 关联得 ，即 . 任取 ，写成 ，其中 ，. 则 ，所以 ，C 正确. 若 与 关联. 任取 使 ，需证 . 取 （向上取整），因 ，将区间 均分为 段后每段长 . 每段两端自变量之差都属于 ，由 与 关联知每段对应的函数值之差也都属于 . 累加这 段得 . 又 ，且由 得 ，故 ，从而 . 即 ，所以 与 关联，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象过定点，则的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为过定点， 而为向右平移个单位，向下平移个单位， 故的图象过定点. 13. 若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 14. 已知正实数，满足.若取得最小值时有，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式将问题转换为对勾函数的最值问题，根据函数的最值求解参数范围. 【详解】，而，且， 当时，，令，则问题等价于时，在处取得最小值， 因为此函数为对勾函数，所以函数在单调递减，在单调递增， 若在取得最小值，则应有，解得, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）实数的取值范围为 【解析】 【分析】（1）时，求出后直接求交集； （2）即，分和两种情况讨论. 【小问1详解】 时，，或， 故. 【小问2详解】 即， 当时，，解得； 当时，因为 ，所以，解得即， 综上可得实数的取值范围为. 16. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. （2）是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 17. 某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. （1）求的函数关系式； （2）求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 【答案】（1） （2）3.4小时 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的性质，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用每段曲线对应函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得，； 又当时，曲线是函数，（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，又，所以， 则可得，； 综上可得. 【小问2详解】 由题意知，当药物浓度大于等于4时治疗有效， 当时，令， 解得：， 当时，令， 解得：， 综上可得，， ∵， ∴该药物的有效治疗时长约为小时. 18. 已知函数，，. （1）若不等式的解集为， （i）求，的值； （ii）求关于的不等式的解集； （2）若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（i）， （ii）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求解； （ii）先对不等式左边因式分解，再根据二次项系数的取值分类讨论：当时按一次不等式求解，当时，结合二次函数开口方向和对应方程的根的大小关系确定解集； （2）先对不等式进行分离参数得，然后利用换元法结合基本不等式即可求出的最小值，即可得结果. 【小问1详解】 （i） 不等式即，其解集为，说明， 且对应一元二次方程的两根为，， 根据韦达定理： ，，解得，. （ii）代入，不等式化为，因式分解得. 当时，不等式简化为，解集为； 当时，方程的两根为和. 若即，解集为； 若即，不等式为，解集为； 若即，解集为； 当时，，解集为. 【小问2详解】 将代入不等式： ， 整理得：，因为 ，所以， 分离参数得对任意恒成立 . 令，则，， 当且仅当，即，时等号成立， 则，所以的取值范围为. 19. 已知函数，其中为实数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）给定实数，若存在两个不相等的实数，（且）使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）去绝对值，根据分界点分段讨论，求出函数在每段上的最小值，两段比较即可求得函数的最小值； （2）根据与的相对位置：，，分类讨论求出符合题意的的取值范围，最后取并集即可； （3）去绝对值求出的解析式，数形结合求解，由可知点可能在左侧抛物线上，也可能在右侧射线上，分类讨论，根据可得到之间的关系，代入化简，构造函数求值域即可求解. 【小问1详解】 当时，. 当时，，此时，的最小值为4； 当时，，此时，的最小值为. 因为，所以函数的最小值为. 【小问2详解】 ①当，即时，， 所以，，抛物线的对称轴为直线， 要使在上单调递减，需，解得. ②当，即时， 由知在处连续. （i）在上，，，要使单调递减，需； （ii）在上，，，要使在上单调递减，需，解得. 由上知，当时，满足题意. ③当，即时，， 所以，， 由一次函数的性质可知，在上单调递减，即满足题意. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 所以，又，作出的图象，如图： 由，可知. ①若点也在左侧抛物线上，则， 由抛物线的对称性及可得，所以， 所以. 令， 因为在上均单调递减，所以在上单调递减， 所以的值域为， 而， 所以的值域为. ②若点在右侧射线上，则，由二次函数的对称性可知. 由得，所以， 所以，由得. 令， 由可知均为正数，，所以， 由对勾函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，而， 所以. 由可知均为负数，下面比较两者的大小关系： 因为，所以. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $