精品解析：天津市静海区第一中学2026-2027学年高一上学期11月学生学业能力调研（期中）数学试题

静海一中2026-2027第一学期高一数学（期中） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题和第Ⅱ卷提高题两部分，含3分卷面分，满分共120分． 知 识 与 技 能 学习能力（学法） 内容 集合与逻辑 不等式 函数及性质 规律总结 关键环节 分数 20 30 67 10 10 第Ⅰ卷 基础题（共90分） 一、选择题： 每小题4分，共32分． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式进而确定全集中的元素，根据集合A，求得，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】因为全集， 集合，所以, 又因为，所以, 故选:A. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解两不等式，再根据集合的包含关系及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：解绝对值不等式可得，即， 将分式不等式变形可得，解得， 因为， 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题． 3. 已知函数，则的大致图象为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除对称性不符的图象，再通过代入特殊值排除不符合特征的选项. 【详解】已知函数，定义域为， 因为，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除B选项； 当时，， C选项，当时，函数值小于，不符合，排除C选项； D选项，当时，函数值小于，不符合，排除D选项； 综上，A选项图象符合题意. 4. 已知偶函数在上单调递减，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为为偶函数，所以，又因为， 且在上单调递减，所以 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到的单调区间，从而求出参数的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 即的单调递增区间为，故，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：A 6. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于关于的不等式的解集为，故是的两个实数根， 则，故， 变为，即， 进一步得， 利用数轴穿根法可得不等式的解为：或， 故不等式的解集为 7. 已知定义在上的偶函数满足对，且都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的性质将不等式进行转化进行求解即可． 【详解】由满足对，且都有， 可知在上单调递减； 又函数为偶函数，故在上单调递增. 若，则等价于， 因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于， 由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选： . 8. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】借助分段函数、二次函数及反比例型函数的性质计算即可得． 【详解】由题意知，解得或， 当时，的图象在处断开，不符合题意； 当时，符合题意，当时，令，得， 令，得或； 当时，令，得； 如图，作出的大致图象， 由图可知，当时，取得最大值，为4． 故选：D. 二、填空题：每小题4分，共20分． 9. 已知函数，则_______． 【答案】0 【解析】 【详解】. 10. 函数的定义域为，求的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为， 所以，对于函数有， 解得且，即. 11. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是_________，y的最小值是________． 【答案】 ①. 30 ②. 240 【解析】 【分析】根据题意得到总运费与总存储费用之和的表达式，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然， 则，当且仅当，即时取等号， 故要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则， 故答案为：30，240 【点睛】易错点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 12. 已知函数，则的单调递减区间为_______ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域后利用复合函数“同增异减”的单调性法则，外层函数是单调递增的，所以只需找到内层函数在其定义域内的单调递减区间即可. 【详解】由题可知：，整理得：， 即，解得：，故函数的定义域为， 令，这是一个开口向下、对称轴为的二次函数， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为外层函数是增函数，根据复合函数“同增异减”原则， 所以，函数的单调递减区间为. 13. 下列说法中正确的有_______． ①命题“，”的否定是“，”； ②与是同一个函数； ③函数满足，若，则实数； ④是的充要条件； ⑤若函数的定义域为，则； ⑥已知是偶函数，定义域为，则． 【答案】①③⑥ 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可判断①；求得两函数的定义域可判断②；利用整体代换法求得，计算可判断③；利用充分条件与必要条件的定义可判断④；利用对恒成立，求得的范围可判断⑤；利用偶函数的定义可求得，进而计算可判断⑥. 【详解】对于①，命题“，”的否定是“，”，故①正确； 对于②，由，得或，所以的定义域为； 由，得，所以的定义域为； 所以两函数的定义域不同，故与不是同一函数，故②错误； 对于③，由，所以， 又，所以，解得，故③正确； 对于④，若，且，可得，所以是的充分条件； 若，，则，所以是的不必要条件； 所以是的充分不必要条件，故④错误； 对于⑤，由题意可得对恒成立， 当时，不等式为，符合题意； 当时，由对恒成立，可得， 解得. 综上所述：，故⑤错误； 对于⑥，因为是偶函数，且定义域为，所以， 解得，所以，且. 因为是偶函数，所以， 所以， 所以，又，所以，所以，故⑥正确. 三、解答题：（本大题共3小题，共38分） 14. 已知幂函数（为常数）的图象经过点． （1）求的解析式； （2）设判断的奇偶性并进行证明； （3）设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论． 【答案】（1）； （2）是偶函数， 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数； （3）在区间上单调递增，证明如下， 由题意得， 任取，且，则，， 则， 即，则在区间上单调递增． 【解析】 【分析】（1）将点直接代入计算参数即可； （2）利用函数的奇偶性判定即可； （3）利用单调性的定义作差计算即可. 【小问1详解】 将点代入，得，解得，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 15. 已知集合，函数的定义域为集合. （Ⅰ）求集合. （Ⅱ）当时，若全集，求及； （Ⅲ）若，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）或，； （Ⅲ）或 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域即可得出集合B； （Ⅱ）根据题意求出集合A，由全集得出集合A和集合B的补集，利用交集运算得出； （Ⅲ）由得到集合A是集合B的子集，即集合A包含在集合B中，构造满足条件的关于的不等式组，解不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，只需满足，解得，即集合； （Ⅱ）当时，，解得集合 全集，则或，或 . （Ⅲ）①若，则，不满足. ②若，则，若，如图， ， 则，，则； ③若，则，若，如图， ， 则，则，即，综上知，此时的取值范围是或. 【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用以及集合间的基本运算，其中将集合包含关系转化区间端点间的大小关系比较，构造出关于的不等式，是解答本题的关键． 16. 关键环节学法题 （1）指出以下两个错例中的错误原因并进行改正： ①错例1 求的值域 错解：，当且仅当时等号成立．所以的值域为 ②错例2 已知，且，求的最小值． 错解：，，所以 所以最小值为 总结基本不等式求最值的注意事项： （2）结合总结的注意事项及方法解此题：已知函数为一次函数，且对均满足．已知，，且，求的最小值． 【答案】（1）错例1：错因：没有注意到的取值范围， 正解：当时，， 当且仅当时等号成立． 当，， 当且仅当时等号成立，所以的值域为； 错例2：错因：两次使用基本不等式等号成立条件不一样， 正解：， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为. 总结基本不等式求最值的注意事项：一正、二定、三相等. （2）9 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式的概念及使用条件分析计算即可； （2）设函数解析式结合条件计算解析式，再由“1”的代换计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 可得，解得，，所以． 因为，所以，即； 则 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； （3）解关于t的不等式． 【答案】（1） （2），最大值为8，此时，最小值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）由是定义在上的奇函数得到，设，则，利用已知求出，利用奇函数得到，用分段函数表示. （2）按（1）的解析式分段求值域，取并集． （3）先由（1）的解析式得出单调性，利用单调性和奇偶性求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，，则， 又，则， 则 . 【小问2详解】 ①当时，， 图象开口向下、对称轴为，故在上单调递增，此时； ②当时，， 图象开口向上、对称轴为，故在上单调递增，此时． 取并集得在上的值域为． 故的最大值为8，此时，最小值为，此时． 【小问3详解】 当时在上递增； 当时在上递增； 又时时， 故时恒有，则在R上单调递增， 由得， 由是奇函数，得，于是． 由单调性得，即，解得． 则原不等式的解集为（或写成）． 18. 已知函数满足，当时，，且. （1）求的值；并证明为奇函数； （2）判断的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；证明见解析；（2）在上为增函数；（3）. 【解析】 【分析】（1）由，可得；再由，可得，由，结合奇偶性的定义．即可得到结论； （2）可令作差，结合定义，即可得到单调性； （3）由题意可得，可得在，上恒成立，解不等式即可得到所求范围． 【详解】解：（1）令，得，得， 令，得，得； 令，得，即， 所以为奇函数. （2）令，所以， 所以 ， 因为，所以， 所以， 即在上为增函数. （3）因为，即， 又，所以， 又因为在上为增函数， 所以在上恒成立； 得在上恒成立， 当时，不等式为，此时， 当时，不等式可化简为在上恒成立， 因为， 当时，取最小值， 所以， 综上，的取值范围为. 【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2026-2027第一学期高一数学（期中） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题和第Ⅱ卷提高题两部分，含3分卷面分，满分共120分． 知 识 与 技 能 学习能力（学法） 内容 集合与逻辑 不等式 函数及性质 规律总结 关键环节 分数 20 30 67 10 10 第Ⅰ卷 基础题（共90分） 一、选择题： 每小题4分，共32分． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则的大致图象为（） A. B. C. D. 4. 已知偶函数在上单调递减，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数满足对，且都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：每小题4分，共20分． 9. 已知函数，则_______． 10. 函数的定义域为，求的定义域是_________． 11. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是_________，y的最小值是________． 12. 已知函数，则的单调递减区间为_______ 13. 下列说法中正确的有_______． ①命题“，”的否定是“，”； ②与是同一个函数； ③函数满足，若，则实数； ④是的充要条件； ⑤若函数的定义域为，则； ⑥已知是偶函数，定义域为，则． 三、解答题：（本大题共3小题，共38分） 14. 已知幂函数（为常数）的图象经过点． （1）求的解析式； （2）设判断的奇偶性并进行证明； （3）设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论． 15. 已知集合，函数的定义域为集合. （Ⅰ）求集合. （Ⅱ）当时，若全集，求及； （Ⅲ）若，求实数的取值范围. 16. 关键环节学法题 （1）指出以下两个错例中的错误原因并进行改正： ①错例1 求的值域 错解：，当且仅当时等号成立．所以的值域为 ②错例2 已知，且，求的最小值． 错解：，，所以 所以最小值为 总结基本不等式求最值的注意事项： （2）结合总结的注意事项及方法解此题：已知函数为一次函数，且对均满足．已知，，且，求的最小值． 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； （3）解关于t的不等式． 18. 已知函数满足，当时，，且. （1）求的值；并证明为奇函数； （2）判断的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $