精品解析：天津市耀华中学2026-2027学年高一上学期期中学情调研数学试卷

天津市耀华中学 2026—2027 学年度第一学期期中学情调研 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时100分钟． 第Ⅰ卷（选择题　共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合 ，，，则 =（　　） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知、、、，则下列不等式一定成立的是（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 7. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 12. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题　共64分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，将答案写在答题卡上． 13. 设集合，，若，则实数a的取值集合为______． 14. 已知 ， 恒有意义，则实数 的取值集合为________． 15. 已知，则________. 16. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 17. 函数的值域是________________． 18. 设，，，则的最小值为____________. 19. 已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的有________ ①的图象关于点对称 ②的图象关于点对称 ③ ④ 20. 已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________. 三、解答题：本大题共4小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 21. 计算下列各式的值： （1）（化简）（，）； （2）； （3）； 22. 已知函数． （1）求，，的值； （2）求不等式的解集． 23. 二次函数 满足 ，且 ．． （1）求 的解析式； （2）对任意 ，都有 恒成立，求 取值范围； （3）对任意 ，存在 ，使得 成立，求 取值范围． 24. 已知函数是定义在上的奇函数，满足， （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学 2026—2027 学年度第一学期期中学情调研 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时100分钟． 第Ⅰ卷（选择题　共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合 ，，，则 =（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先求 在 中的补集，再与 求并集． 【解答】解：，， ， ． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据特称命题的否定规则，替换量词、保留变量取值范围、否定原结论即可得出答案. 【详解】因为“”的否定是“”，“”不变，“”的否定是， 所以命题“”的否定是. 3. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，解得， 因为“”是“”的充分不必要条件，则为的真子集， 所以. 4. 已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案. 【详解】的定义域为，不符合函数图像，A不满足； 的定义域为，不符合函数图像，B不满足； ，，不符合函数图像，D不满足. 故选：C 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】依据“定义域相同且对应法则相同的两个函数为同一函数”的判定规则，逐一分析各选项即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，二者定义域不同，不属于同一函数，故A错误； 对于B，函数，当时解析式为，与的对应关系不一致，不属于同一函数，故B错误； 对于C，函数和的定义域都为，二者对应关系完全一致，仅自变量的表示字母不同，属于同一函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，二者定义域不同，不属于同一函数，故D错误. 6. 已知、、、，则下列不等式一定成立的是（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 【详解】取 ，，，，则 ，故A错误； ，，两边同除以 得 ，故B正确； 取 ，，，，则 ，故C错误； 由知，，所以， 在不等式的两边同时乘以得， 然后在不等式的两边同时乘以得，故D错误． 7. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，可设， 由，所以. 所以. 8. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性判断即可. 【详解】由题可得：，解得：或，所以函数的定义域为：， 令，则在上单调递减，在上单调递增； 则在上单调递减；结合复合函数单调性可得函数的单调递减区间是； 故选：D 9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对钩函数的单调性、幂函数的单调性，结合奇函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：对于函数来说，当时，函数值都是，因此该函数在区间上不是增函数，不符合题意； B：因为函数在区间上都是增函数， 所以函数在区间上是增函数， 令，因为， 所以该函数是奇函数，符合题意； C：对于函数来说，当时，函数值都是，显然不是奇函数，不符合题意； D：对于函数来说，定义域为，显然不关于原点对称，因此该函数不是奇函数，不符合题意， 故选：B 10. 设函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 11. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】令，，则，， 则，又，， 所以，，所以， 所以的最大值为16. 12. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 第Ⅱ卷（非选择题　共64分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，将答案写在答题卡上． 13. 设集合，，若，则实数a的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得集合，根据题意，得到或，即可得到答案. 【详解】由方程，解得或，所以 因为且，所以或， 综上可得，实数的取值集合为. 14. 已知 ， 恒有意义，则实数 的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题将根式恒有意义的条件转化为被开方数在全体实数上恒非负的问题，分，求解参数范围. 【详解】要使对任意恒有意义，对，恒成立， 当时，显然，符合条件； 当时，对，恒成立，设，要使对恒成立， 需同时满足且 ，解得， 综上，，则实数 的取值集合为. 15. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【详解】设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. 16. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 17. 函数的值域是________________． 【答案】． 【解析】 【分析】先求出，再利用不等式的性质逐步求出函数的值域得解. 【详解】，且， ， ， ， ， 故函数的值域是． 故答案为： 18. 设，，，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的范围，然后，然后利用双勾函数的知识求解即可. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立 所以 所以由双勾函数的知识可得当时，的最小值为 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用，求和的最小值； （2）和定，利用，求积的最大值； （3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值. 19. 已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的有________ ①的图象关于点对称 ②的图象关于点对称 ③ ④ 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可. 【详解】选项①:函数为定义在R上的奇函数，则有，即， 又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项①错误； 方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称. 函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项①错误； 选项②:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称， 所以函数的图象关于点对称，所以选项②正确； 选项③④:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点， 所以它们的所有交点关于点对称，不妨设， 则有，， 所以，，所以选项③正确；④选项错误． 故答案为：②③. 20. 已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值. 【详解】①若时，即当时，， 因为二次函数开口向上且对称轴为直线， 所以函数在上单调递减，且， 当时，，且，此时，函数无最小值； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以，整理可得，， 解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以，整理可得， 因为，解得或（舍去）， 综上所述，实数的取值集合为. 三、解答题：本大题共4小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 21. 计算下列各式的值： （1）（化简）（，）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据分数指数运算法则逐题计算得到答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 22. 已知函数． （1）求，，的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）9，0，3 （2） 【解析】 【小问1详解】 函数， ，， 又，. 【小问2详解】 当时，，，； 当时，，，． 综上所述，不等式的解集为． 23. 二次函数 满足 ，且 ．． （1）求 的解析式； （2）对任意 ，都有 恒成立，求 取值范围； （3）对任意 ，存在 ，使得 成立，求 取值范围． 【答案】（1）​ （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，利用和差分关系比较系数确定解析式． （2）分离参数，将恒成立问题转化为小于辅助函数在给定区间上的最小值． （3）将量词条件转化为在上的值域包含于在上的值域，再利用区间包含关系求参数范围． 【小问1详解】 设（），由，得， 又，与比较同次项系数，得， 解得，，所以． 【小问2详解】 由小问1，等价于，即． 令，由二次函数的性质，在上单调递减，故其最小值为． 由于该最小值可以取得，要使对任意恒成立，必要且充分条件是． 【小问3详解】 由小问1，在上单调递增，其值域为； 在上单调递增，其值域为． 题意要求的每一个值都能被取到，等价于，即，解得． 24. 已知函数是定义在上的奇函数，满足， （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上为增函数， 证明如下：任取且， 则 因为，所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）求解含参奇函数的解析式，可优先利用 奇函数在原点处有定义则快速求得常数项参数，再结合已知函数值求解剩余参数；（2）用定义证明函数单调性，核心是作差后通过通分、因式分解变形，结合自变量的取值范围判断差的符号，进而确定函数的增减性；（3）双变量恒成立问题可分步消元：先对x求函数最值，将问题转化为单参数恒成立问题，再结合一次函数的端点最值性质求解参数范围. 【小问1详解】 函数是定义在[-3,3]上的奇函数，则，即，解得， 又因为，即， 解得，经检验可得， 符合题意.综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $