精品解析：江苏无锡市宜兴市2026～2027学年高一上学期期中调研考试数学试卷

2026年秋学期高一期中调研考试试卷 数　学 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知全集，子集， 因此. 2. 命题：“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题，的否定为，. 3. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式 等价于 ， 解得， 所以不等式的解集为，对应选项B． 4. 已知 ，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合特值法对两个方向的推出关系逐一验证. 【详解】充分性验证：已知 ，若 ，则 ， 对不等式 两边同时除以正数 ，可得 ； 由于 ，不等式两边同时乘以 ，因此 ，故充分性成立； 必要性验证：当时，满足，但， 无法必然推出 ，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由， 则. 6. 已知函数 （且）的图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象的单调性及的范围求解． 【详解】由图象知，该函数单调递减，则， 由，得，得，可推出． 7. 已知函数，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数，， 则，故函数为偶函数， 则，而，则， 因为函数在上单调递减，所以，即. 8. 已知函数 ，对任意实数，（），都有 成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性求解． 【详解】对任意实数，（），都有 成立， 则函数在上单调递增， 则，解得，则实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中 与 表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】判断两个函数为同一函数的核心是同时满足两个条件：一是定义域完全一致，二是化简后的对应法则完全相同，二者缺一不可，据此对各选项逐一验证 【详解】选项 的定义域为； ，定义域也为，二者定义域相同、 ，对应法则与 的一致，是同一函数； 选项 的定义域为 定义域为 ，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C： 的定义域为 ，化简可得：当 时 ，当 时 为分段函数，定义域为，对应法则与 完全一致，二者是同一函数； 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数. 10. 已知正实数 ，满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 5 D. 的最大值为 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用基本不等式可判断A、B选项；利用“1的代换”可判断C选项；通过平方运算结合基本不等式可判断D选项. 【详解】由基本不等式可得：，当且仅当时取等，则A选项正确； ，当且仅当时取等，则B选项正确； ，当且仅当， 即，时取等，则C选项正确； ， 当且仅当时取等，所以的最大值为，则D选项错误. 11. 已知函数满足，其中 为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将代入，再结合奇、偶函数的定义得到，通过联立运算，求得、的解析式，分别代入各选项运算即可求解. 【详解】因为①，所以， 又因为为奇函数，为偶函数，所以②， 将①、②式联立可得：； ，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项不正确； ，则D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数满足的的性质，将转化为已知解析式对应的，代入计算即可． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，则， 又当时，所以， 所以． 13. 已知集合，，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由得.根据集合元素的互异性，，所以或. 若，则，此时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去. 若，则，解得或，其中舍去. 当时，，满足. 综上所述，. 14. 已知定义在 上的函数 为增函数，满足对于 ，都有 ，且 ，则 ______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法和函数的单调性即可求出；利用赋值法找到的递推关系，从而代值求解即可． 【详解】令，代入，得，因为，都有 ，所以可设，则有， 假设，则，与矛盾； 假设，由为增函数，且，可得，即，与假设矛盾； 综上，，所以，即； 在中，将替换为，得：， 又，整体代入得：； 因此，，即， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知 ，，用 表示 ． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1） ； （2）由换底公式可得. 16. 已知集合，集合． （1）若，求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先解出集合，代入得到，再按并集、补集、交集的规则运算； （2）必要不充分条件转化为 ，分为空集、非空两类列不等式求解. 【小问1详解】 由，得，解得，即， 当时，，所以， 或，所以； 【小问2详解】 “是的必要不充分条件”等价于 ， ， 当，满足 ，则； 当，此时区间有意义，且需完全包含在内，则，解得， 当时，，满足 ；当时，，满足 ； 综上，，即实数的取值范围为. 17. 某公司生产某种产品的固定成本为10万元，每生产万件该产品需增加投入万元，其中，若每件产品的售价为15元，且生产的产品可全部售出. （1）求利润（单位：万元）关于产量的函数解析式； （2）当产量为多少万件时，利润取得最大值？并求出最大利润.（利润=销售收入固定成本增加投入） 【答案】（1） . （2） 当产量为万件时，利润取得最大值，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）由销售收入减去两项成本，分段写出利润函数. （2）分别利用配方法和基本不等式求两段的最大值，再比较. 【小问1详解】 产量为万件时，销售收入为万元，所以 . 当时， . 当时， . 综上所述，. 【小问2详解】 当时， . 当且仅当时等号成立，且. 当时，，由基本不等式得 . 当且仅当，即时等号成立，且. 综上所述，因为，所以当产量为万件时，利润取得最大值，最大利润为万元. 18. 已知函数 （ 且 ）． （1）若函数 经过点 ，求不等式 的解集； （2）当 时，试比较 与 的大小，并说明理由； （3）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式的解集； （2）当时，可将问题转化为比较与的大小，利用换底公式和均值不等式即可求解； （3）将条件，转化为在上有解，由函数在上单调递增，得到的最小值，从而得到的范围，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 将代入，得，解得， 故，其在上单调递减，由得， 解得，故不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，，根据的解析式可得， 由于，， 所以比较与的大小等价于比较与的大小， 又，由均值不等式得，， 又，所以， 综上，，即，故，即； 【小问3详解】 由，可得，解得， 且， 即在上有解，即在上有解， 因为在上单调递增，所以， 所以，又且，解得， 故的取值范围为． 19. 对于定义在上的函数 ，定义集合 ，． （1）若 ，求 ； （2）若函数 为奇函数，当 时 ．若 ，求 ； （3）若函数 满足 恒成立，且存在 使得 ．求证：对任意的 ，“”是“ 是偶函数”的充要条件． 【答案】（1） （2） （3）证明：先证充分性： 由题可知，； 因为，故这两个集合相等； 因为，故，又，故， 则对，当时取得最小值，最小值为 也即的最小值为； ①当时，对，，故当时取得最小值，最小值为； 也即的最小值为； 因为，则的最小值等于的最小值，故，故； 也即时，可得； 同时又，故； ②当时，，对，设在上的最小值为， 又，则当时，，又，故； 又因为在上的最小值为，故，则， 也即在上的最小值为，故的最小值为， 也即的最小值为， 因为，则的最小值等于的最小值，即，也即； 综上所述，对任意的 ，都有；对任意的，显然也有；又对于，成立； 故对任意的，都有，故为偶函数. 再证必要性： 是定义在上的偶函数，则对任意的，都有； 对，， ①任取，则存在，使得， 因为为偶函数，故，这恰好符合的定义， 也即一定存在，使得，故； ②同理任取，则存在，使得， 因为为偶函数，故，这恰好符合的定义， 也即一定存在，使得，故； 综上所述，. 故对任意的 ，“”是“ 是偶函数”的充要条件. 【解析】 【分析】（1），根据的单调性，求其值域即可； （2）将求的问题转化为求在的值域，再根据是奇函数，以及函数解析式，分情况讨论以及时的值域情况即可； （3）证明充分性时，根据，可得两个函数的最小值相等，再分别求解最小值，即可推证恒成立，即可证明；证明必要性的时候，通过证明，且，即可证明. 【小问1详解】 ，对，当时，， 则，也即为函数在上的值域； 又在上单调递增，则， 则. 【小问2详解】 时，，又 时 ，为上的奇函数， 则当时，， 若 ，则，又，故， 则，也即为函数在的值域； 当时，，，此时； 当时，，此时； 综上所述，当时，的值域为； 故在的值域为，也即. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期高一期中调研考试试卷 数　学 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题：“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 已知函数 （且）的图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，对任意实数，（），都有 成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中 与 表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知正实数 ，满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 5 D. 的最大值为 2 11. 已知函数满足，其中 为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，则______． 13. 已知集合，，若，则______. 14. 已知定义在 上的函数 为增函数，满足对于 ，都有 ，且 ，则 ______；______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知 ，，用 表示 ． 16. 已知集合，集合． （1）若，求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 某公司生产某种产品的固定成本为10万元，每生产万件该产品需增加投入万元，其中，若每件产品的售价为15元，且生产的产品可全部售出. （1）求利润（单位：万元）关于产量的函数解析式； （2）当产量为多少万件时，利润取得最大值？并求出最大利润.（利润=销售收入固定成本增加投入） 18. 已知函数 （ 且 ）． （1）若函数 经过点 ，求不等式 的解集； （2）当 时，试比较 与 的大小，并说明理由； （3）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围． 19. 对于定义在上的函数 ，定义集合 ，． （1）若 ，求 ； （2）若函数 为奇函数，当 时 ．若 ，求 ； （3）若函数 满足 恒成立，且存在 使得 ．求证：对任意的 ，“”是“ 是偶函数”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $