精品解析：江苏省无锡市宜兴市2025-2026学年高一上学期11月期中调研考试数学试题

2025年秋学期高一期中调研考试试卷数学 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “均为有理数”是“为有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. 8 D. 9 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（　　） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 13. 已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式___________． 14. 已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，且，求实数的值； （2）已知，且，求的值． 16. 已知是定义在上的奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入200万元购进一套生产设备，预计使用该设备后，前）年的支出成本为万元，每年的销售收入112万元，设前年的总盈利额为万元． （1）写出与的函数关系式，并求出从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，以10万元价格处理该设备； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，以50万元价格处理该设备． 你认为哪种方案较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额为） 18. 对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数是否为“型函数”，并说明理由； （2）若函数是“型函数”，求的值； （3）已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围． 19. 已知函数是定义域在上的奇函数，当时，． （1）若． ①求时，的表达式； ②求不等式的解集； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期高一期中调研考试试卷数学 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助交集定义计算即可得. 【详解】由，则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系得：命题“”的否定为“”. 故选：C. 3. “均为有理数”是“为有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由均为有理数，可得为有理数，即充分性成立； 反之：取，此时为有理数，但为无理数，即必要性不成立， 所以“为有理数”是“为有理数”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，代入求得，得到，即可求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为幂函数，设， 又因为函数的图象过点，可得，可得，所以， 所以. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助排除法，判断出函数奇偶性后利用对勾函数性质得到函数单调性即可得. 【详解】由，又定义域为， 故为奇函数，故可排除B； 当时，， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 故可排除C、D. 故选：A 6. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数与对数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 7. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算可得函数在上的单调性，再利用为偶函数可得性质，再将及化为形式后，利用单调性及对称性计算即可得. 【详解】由，则， 即有，令， 则当且时，有， 故在上单调递增， 由是定义在上的偶函数， 则， 故也是定义在上的偶函数， 则，即， 又， 则可化为， 化简得，故， 即有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用全称和特称量词的命题的知识逐项分析并判断即可得. 【详解】对A：由，所以为非负整数，即自然数.故对，故A正确； 对B：例如取，则，故，故B正确； 对C：当时，，当时，， 故，故C正确； 对D：由， 故不存在，使得，故D错误. 故选：ABC 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、C、D的真假，借助消元法与二次函数性质计算可判断B的真假. 【详解】对A：， 当且仅当，即、时，等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对B：由，则，则， ， 故的最小值为，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即、时，等号成立， 故，故C错误； 对D：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，结合选项，逐项化简、判断，即可求解. 【详解】由是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 且在上均递增，则在上递减，在上递增， 对于A，由，可得， 但与的符号不能确定，所以和大小不确定， 即与大小不确定，所以A不正确； 对于B，由，因为， 又由， 因为，所以，所以 B正确； 对于C，由，则， 可得，即，所以C正确； 对于D，由， 且， 因为，可得，所以， 所以，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即可得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 13. 已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则知：， 则满足，且的一个函数解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，化为，设，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由定义在上的偶函数与奇函数满足， 可得，即， 联立方程组，解得， 由不等式，可得， 即，转化为， 设，则函数为单调递增函数，可得， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，且，求实数的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）借助指数与对数的转化，结合对数运算法则计算即可得； （2）借助立方和公式因式分解后，可得，再结合指数函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由，则， 则， 故； （2）， 则，则， 由，则在上单调递减，则，故. 16. 已知是定义在上的奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：函数是定义域上的减函数. 证明如下：由（1）知，函数，可函数的定义域为， 任取，且， 则， 因为，所以，可得， 所以，即， 所以函数是定义域上的减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，求得，再由，求得，联立方程组，即可求得的值； （2）由（1）知，函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把不等式，不等式恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数是定义在上的奇函数，可得，即， 又由，可得，即， 联立方程组，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为函数是上的奇函数， 则不等式，即为， 由（2）知函数是定义域上的单调递减函数，可得， 又因为对任意实数，不等式恒成立， 即对任意实数，不等式恒成立， 因为， 所以，即实数的取值范围为. 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入200万元购进一套生产设备，预计使用该设备后，前）年的支出成本为万元，每年的销售收入112万元，设前年的总盈利额为万元． （1）写出与的函数关系式，并求出从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，以10万元价格处理该设备； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，以50万元价格处理该设备． 你认为哪种方案较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额为） 【答案】（1），其中；第3年 （2）方案二较为合理，理由如下： 由（1）知，其中， 对方案一：由函数为二次函数， 其图象开口向下，对称轴为， 当时，可得；当时，可得， 所以当时，方案一的总获利取得最大值，最大值为万元； 对方案二：前年的平均利润为， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即时，平均利润取得最大值， 当时，可得万元， 所以方案二的总盈利为万元， 综上，可得方案一与方案二的总盈利都是万元， 当方案二更早实现收益，所以方案二更为合理，因为资金回收更早，提高了资金使用效率，降低风险. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到总收入为万元，总成本为万元，求得总盈利额为，其中，令，求得不等式的解集，即可得到答案. （2）方案一：由函数，结合二次函数的性质，求得方案一的总盈利；再由，结合基本不等式，求得时，平均利润取得最大值，求得方案二的总盈利，通过比较分析，得出答案. 【小问1详解】 解：由题意知，前的总收入为万元，总成本为万元， 所以总盈利额为，其中， 令，即，即， 解得，且，所以第3年该公司可以盈利. 【小问2详解】 略 18. 对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数是否为“型函数”，并说明理由； （2）若函数是“型函数”，求的值； （3）已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） 解：函数不是“型函数”. 理由：由函数，可得， 即，不存在实数对使得对于定义域内的任意都成立， 所以函数不是“型函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数，根据题意，得到，根据不存在使得都成立，即可得到结论； （2）由函数是“型函数”，根据题意，化简得到求得，即可求解； （3）由函数是“型函数”，可得，令，求得，满足题意；把对任意，都有，转化为任意，都有，令，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为函数是“型函数”，可得， 即对于定义域上的任意都成立， 所以，则. 【小问3详解】 解：由函数是“型函数”，可得， 令，可得，解得，满足， 又由当时，， 则时，可得，则， 要使得对任意，都有，只需对任意，都有， 令，因为，可得，且， 因为的图象开口向上，且对称轴为， 当时，即时，函数在单调递增， 则满足，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减，在递增， 则满足，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减， 则满足，解得，所以， 综上可得，满足，即实数的取值范围为. 19. 已知函数是定义域在上的奇函数，当时，． （1）若． ①求时，的表达式； ②求不等式的解集； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①令，结合奇函数定义与时解析式计算即可得；②分、及讨论即可得； （2）由奇函数定义可得，再分及进行讨论，当时，可结合奇函数定义得到函数在上的解析式，再将图象画出，结合图象计算即可得. 【小问1详解】 ①由，则当时，； 当时，有，则， 又函数是定义域在上的奇函数， 则， 故当时，； ②由题可得， 当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故； 综上所述：该不等式的解集为； 【小问2详解】 由函数是定义域在上的奇函数，则，则， 若，则当时，，当时，， 即，则，此时恒成立； 若，则当时，； 当时，有，则， 又函数是定义域为的奇函数， 则； 故， 由的图象为将函数向左平移个单位所得， 则如下图所示，要使得对于任意，都有成立， 则，解得，又，则； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $