精品解析：浙江舟山市定海区三校联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026学年第一学期期中学科素养监测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.全卷答案必须做在答题纸相应位置上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 2. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 3. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 4. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 8. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C. 等弧就是长度相等的两条弧 D. 圆中最长的弦是直径 9. 霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是的中点，连接．动点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，如图，关于的函数图象的最低点是点，则的长是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象开口方向是________． 12. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为________． 13. 已知，两点都在抛物线上，那么________． 14. 如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么______（填“”、“”或“”）． 15. 已知二次函数，当________时，随的增大而增大． 16. 如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________． 三、解答题（本题有8小题，17-21每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 尺规作图：已知，． （1）画出它的外接圆，圆心为． （2）若，，圆的半径为________． 18. 已知抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求此函数的顶点坐标； （3）求此抛物线与轴的另一个交点坐标． 19. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围． 小胡同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则： 所以函数y的取值范围为． 小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 20. 甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 21. 如图，用长为的篱笆和一面可利用的墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边留有两个宽为的出入口．设花圃的一边长为米． （1）请你用含的代数式表示另一边的长为________m；并求出的取值范围； （2）若花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 22. 如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，交AC于点，． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 23. 已知二次函数（是常数） （1）证明：不论取何值，该二次函数图象总与轴有两个交点； （2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和的值； （3）若，在函数图象上，且，求的取值范围（用含的式子表示）． 24. 已知，正方形和它的外接圆． （1）如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，，①判断形状，并说明理由；②求的半径； （2）如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系，请写出你的结论并证明； （3）在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中学科素养监测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.全卷答案必须做在答题纸相应位置上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的， 因而这是一个不可能事件． 故选C． 【点睛】本题主要了事件，解题的关键在于能够熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 2. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵半径是5，， ∴， ∴点P在圆外， 故选：C． 3. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 4. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接令，代入，求得的值，即可得到答案． 【详解】解： 令，得． ∴ 抛物线与轴的交点坐标为． 5. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角等知识点，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 由是的直径，可得，又因为，为同弧所对的圆周角，故，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， 是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 6. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 7. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动， ∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 故选：C． 8. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C. 等弧就是长度相等的两条弧 D. 圆中最长的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、圆中最长的弦是直径，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可． 【详解】设降价元，则售价为元， ∵进价为50元， ∴每个利润为元． 又∵每降价1元，多售5个， ∴降价元，多售个，销售量为个． ∵利润= 每个利润销售量 ∴． 故选：A． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是的中点，连接．动点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，如图，关于的函数图象的最低点是点，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象在处出现转折点得到，根据点到直线的垂线段最短得到函数值最小时，此时，根据等腰三角形的性质得到最短时是的中位线，进而得到，再根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到． 【详解】解：由图象可得：函数图象在处出现转折点，对应点到达点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 如图，当点在上运动时，当时，线段的长最小，最小值为， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴在中，， ∴． 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象开口方向是________． 【答案】向下 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口方向与二次项系数符号的对应关系，结合给定函数的二次项系数符号判断开口方向． 【详解】二次函数的二次项系数， 该函数图象的开口方向向下． 12. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先统计单词的总字母数得到总等可能结果数，再统计其中字母h的个数得到符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从“”中随机抽取一个字母，每个位置的字母被抽到的可能性相等， ∴总共有8种等可能的抽取结果， ∵ 逐一枚举单词中的字母，其中字母h共出现2次， ∴抽中字母h的结果数为2， ∴抽中字母h的概率为． 13. 已知，两点都在抛物线上，那么________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解． 14. 如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据对称性找到点关于对称轴的对称点，结合性质求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 函数的对称轴为：， 点关于的对称点为：， ∵，， ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数，当________时，随的增大而增大． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数为顶点式，先确定其开口方向与对称轴，再结合开口向上时的函数增减性规律得到x的取值范围． 【详解】解：对比二次函数顶点式，可得该函数，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线，在对称轴右侧的部分，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大． 16. 如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________． 【答案】≤m≤ 【解析】 【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作AB的中点M，连接CM、QM． 在以为圆心，为半径的圆上运动， 在直角△ABC中，AB＝， ∵M是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CM＝AB＝5． ∵Q是BP的中点，M是AB的中点， ∴MQ＝AP＝． ∴在△CMQ中，5−≤CQ≤＋5，即≤m≤． 故答案是：≤m≤． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，17-21每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 尺规作图：已知，． （1）画出它的外接圆，圆心为． （2）若，，圆的半径为________． 【答案】（1）如图所示： （2）5 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 为圆的直径， 在中，， 圆的半径为5． 18. 已知抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求此函数的顶点坐标； （3）求此抛物线与轴的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知两点坐标代入抛物线解析式，求解参数，即可得到解析式； （2）通过配方法将抛物线一般式转化为顶点式，得到顶点坐标； （3）令y=0，解一元二次方程，结合已知交点坐标得到另一交点． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， 解得， ∴ 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 解：对解析式配方： ． ∴ 顶点坐标为． 【小问3详解】 解：令，则， 整理得， 解得， ∵ 已知抛物线与轴的一个交点为， ∴ 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 19. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围． 小胡同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则： 所以函数y的取值范围为． 小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】 解：小胡的解答不正确，正确的解答过程如下： ∵，， ∴当时，该二次函数有最小值2， ∵当时，则； 当时，则： ∴当时，函数y的取值范围为． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当时和当时的函数值，即可解答． 【详解】略 20. 甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 【答案】 解：（1）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3）， 则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种； （2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种， ∴P（甲）＜P（乙），则该游戏对甲乙双方不公平． 【解析】 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即可； （2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果． 【详解】略 考点：游戏公平性；列表法与树状图法 21. 如图，用长为的篱笆和一面可利用的墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边留有两个宽为的出入口．设花圃的一边长为米． （1）请你用含的代数式表示另一边的长为________m；并求出的取值范围； （2）若花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【答案】（1）， （2）花圃的长为，宽为 （3）这个花圃面积最大可以做到 【解析】 【分析】（1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出，根据，可求出x的取值范围； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可； （3）利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， ； 【小问2详解】 由题意得： 解得（舍去），， 当时，， 花圃的长为，宽为； 【小问3详解】 ， ， ， ， ， 这个花圃面积最大可以做到． 22. 如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，交AC于点，． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 【答案】（1）∵，OD是半径， ∴，， 又∵， ∴； （2）6． 【解析】 【分析】（1）由根据垂径定理可得，，由三角形中位线定理即可判定； （2）由垂径定理和勾股定理可求圆的半径OA=5， OE=3，在由中位线定理可得BC的长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵，， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题． 23. 已知二次函数（是常数） （1）证明：不论取何值，该二次函数图象总与轴有两个交点； （2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和的值； （3）若，在函数图象上，且，求的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】（1）证明：令，得一元二次方程， ∵， ∴不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该二次函数图象总与轴有两个交点； （2），二次函数解析式为 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）令，得到求二次函数与轴交点横坐标的一元二次方程，根据判别式，即可得到答案； （2）根据点的纵坐标相同，得到点关于对称轴对称，继而得到二次函数的对称轴为，代入对称轴公式即可得到的值和二次函数的解析式； （3）令，解得，进而得到对称轴为直线，点到对称轴的距离以及点关于对称轴对称的点的坐标，根据二次函数的图象和性质以及，得到满足条件的的取值范围． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：是该二次函数图象上的两个不同点， 抛物线的对称轴是：， ，解得：， 二次函数的解析式为：； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴对称轴为直线：， ∴点到对称轴的距离为：， ∴与点关于对称轴对称的点的横坐标为：， ∴与点关于对称轴对称的点的坐标为：， ∵点，在函数图象上，且，且, ∴由二次函数的对称性可得：的取值范围是． 24. 已知，正方形和它的外接圆． （1）如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，，①判断形状，并说明理由；②求的半径； （2）如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系，请写出你的结论并证明； （3）在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 【答案】（1）①是等腰直角三角形；理由如下： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形； ②的半径是； （2）， 证明：如下图，在上取点F，使，连接， 由（1）得， ， 在正方形中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； （3）点A到的距离为或 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质可证，由同弧所对的圆周角相等，可得，得，根据全等三角形的性质可得，即可得是等腰直角三角形；②作，连接，由等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出长，再根据的圆周角对的弦是直径，判断出是的直径，根据勾股定理求出的长，即可得答案； （2）作，连接，同理（1）可得，则有是等腰直角三角形，解答即可； （3）分类讨论点P的位置，再求出点A到的距离． 【小问1详解】 解：①略 ②如下图，作，连接， 是等腰直角三角形，，， ， ， 在中，， ， 是的直径， 在中，， 的半径是； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 ， 点P在以点D为圆心，1为半径的圆上， ， 点P在以为直径的圆上， 点P是这两圆的交点， ①当点P在如下图所示位置时，连接，作，垂足为H ，过点A作，交于点E， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在以为直径的圆上， ， 是等腰直角三角形， 又是等腰直角三角形，点共线，， 由（2）中的结论可得， ， ； ②当点P在如下图所示位置时，连接，作，垂足为H ，过点A作，交的延长线于点E， 同理可得：， ， ； 综上所述：点A到的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $