湖南省岳阳楼区通海路中学2026-2027学年九年级上学期期中测试数学试卷

通海路中学2026年下学期期中学业质量监测 九年级数学参考答案与评分标准 评分说明： 1.本答案供评卷参考，考生若用其他正确方法解答，请参照本评分标准给分。 2.选择题、填空题每小题3分，只给整数分，答对得满分，答错得0分。 3,解答题按步骤给分，若某一步出现错误，该步及以后的部分不再给分；若后续解答未改变题目的 难度和考查目的，可酌情给分。 4.解答题中未写“解“证明等字样但过程正确的，不扣分；缺少必要文字说明的，酌情扣1分。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.A2.C3.C4.B5.C6.B7.B8.C9.B10.B 【解析】 1.A.3x(x-1)=2(x+2)去括号得3x2-3x=2x+4,移项整理得3x2-5x-4=0,故二次 项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-4. 2.CP是AB的黄金分制点，且AP>PB,六AP-5.AB-5×10=5G-)≈ 2 6.18≈6.2(m). 3.C.sinA-6-号设BC-3k,AB=5k,则AC=4k,aA-船-装-录 4.B.hIh622跟即导年F=6 5.C.DE II BC,△ADE△ABC.AD:DB=1:2,AD:AB=1:3,.S△ADE:S△ABC= 1:9.S△ADE=2,S△ABC=18. 6.B.方程有两个不相等的实数根，m-1≠0且4=(-2)2-4(m-1)×1>0,即m≠1且 m<2,.m<2且m≠1. 7.B.设CD=hm.在Rt△ACD中，∠CAD=30°，÷AC=h=V:在Rt△BCD中， tan30 CBD 60,.BC==3 -号2.4C-BC=AB-20,5h-号h=20,即2号h=20,解得 h=10V3.故选B. 8.C.以原点0为位似中心把图形放大为原来的2倍，对应点的横、纵坐标都乘以2或-2.当两 图形在原点同侧时，A(4,2)在原点异侧时，A(-4,-2).故选C 9.B.过点B作BD1AC于点D.由网格得AB=V√42+22=2V5,AC=V22+42=2V5, 5ac=4x4克x4×2x2x2-x4×2=6,80=5=品-A0 AC Va62-07-20-西-8g5、a BAC-80-景放适B 10.B.AC=√62+82=10，由折叠得AF=AB=6,EF=BE,①正确；FC=AC-AF=4, 设BE=x,则EF=x,EC=8-x,在Rt△EFC中42+x2=(8-x)2,解得x=3,BE=EF=3, EC=5,②正确：S△ABE=7×6×3=9,S△ErC=2×3×4=6,∴S△ABE:S△Erc=3:2,③错 误：由折叠得∠5AF=∠5AB,tn EAF=tamL5AB一腊-名-子④正确，故选B. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.612.-313.12014.515.11+5316.3或里 【解析】 1.6.线段a、c、d成比例，名-分即号-争d=6 12.-3.把x=2代入得4+2k-6=0,k=1,·方程为x2+x-6=0,即(x+3)x-2)=0, “另一根为-3. 13.120.由非负性得2simA-1=0,V3-2csB=0,simA=多cosB=,A=30, ∠B=30°，·∠C=180°-30°-30°=120°. 14.5.由勾股定理得x2+(x+7)2=132,整理得x2+7x-60=0,即(x-5)(x+12)=0,· x=5或x=-12.边长x>0,.取x=5(此时两直角边为5、12). 15.11+5V3.分别过点A、D作AE1BC于E,DF1BC于F,则AE=DF=5,EF=AD= 6。面迎水坡8的坡安i=1v3得m8=有“0E品。三-5v属，南背水坟CD的坡度( 1 3 1:1tC1CF-5.F5651+5 (m). 16.3或票∠C=90,AB=10,4C=8,BC=6.0为AB的中点，0A=0B=5,且 0C=)AB=5.由折叠得0A=0A=5,∠P0A=LP0A.~P、Q都在AC,LPQ0≠90°.①若 ∠0PQ=90°：则0P1AC,又0A=0C=5,P0垂直平分AC,P为AC的中点，A与C重合，Q与 C重合.此时0P是△ABC的中位线，OP=BC=3,且△OPQ三边为3、4、5，与△ABC相似， 符合题意.②若∠P0Q=90°：则∠P0A=90°，∠P0A=90°，即0P1AB.此时0A与0A在同一 直线上，0A=5=0B,·A'与B重合，Q与A重合.∠P0A=∠C=90°，∠A=∠A,·△A0P~△ ABC,-0.即2g-吾0P=华综上，0P的长为3或华 三、解答题（共72分） 17.(本题满分6分) (1)a=1,b=-4,c=-2,4=(-4)2-4×1×(-2)=16+8=24>0,.1分 x=4244牡26 2×1 2 .1分 即x1=2+V6,x2=2-V6, l分 （2)移项得3X(化-1)-2(0x-1)）=0,1分 提取公因式得（化-1）(3X-2)=0,1分 2 X-1=0或3x-2=0,即X1=1，X2=写1分 18.（本题满分8分) (1)在△ABD和△CBA中， ∠BAD=∠C,LB=LB, 2分 △ABD△CBA. 2分 AB BD (2)△ABD△CBA,CB=BA 2分 64 小BC=6…BC=9. .2分 19.(本题满分8分) (1)4=(2m+1)2-4(m2+m）=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0,2分 “无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根， .1分 （2)由根与系数的关系得x1+X2=2m+1,X12X2=m2+m,1分 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m+1)2-2(m2+m)=2m2+2m+1.2分 x12+x22-5,2m2+2m+1=5,即m2+m-2=0,解得m1=1,m2=-2.…2分 20.(本题满分9分) （1)设9月至11月销售总额的月平均增长率为X,.1分 则50(1+2X)）2=72,1分 (1+x)2=1.44,“1+x=±1.2，.x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去)·.1分 答：月平均增长率为20%. .1分 (2)设售价每盒上涨x元，则日均销售(500-10x)盒，每盒利润为(40+x-30)=(10+x)元， 2分 由题意得(10十X)(500-10x)=8000,.1分 整理得x2-40x+300=0,解得x1=10,X2=30.1分 售价不超过60元/盒，∴.40+x≤60，即x≤20，∴x=30不合题意，舍去， .售价为40十10=50（元/盒）..1分 答：该礼盒每盒的售价应定为50元. 21.(本题满分9分) (1)在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=6V2, aAD=sin=62×竖=6 .3分 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=60°， 0-0=25 tan60 … 2分 (2)在Rt△ABD中，BD=AB.co=6N2×号-6， 2分 ·BC=BD+CD=6+2V3, 5△ABC=Z8C·AD=2(6+2W③×6=18+6V3. .…2分 22.（本题满分10分) (1)灯杆BC与竖直方向成30°， 点c比点B高BC,cos30°-20×号-10v3(cm) ，2分 ·灯头CD与水平方向成30°（向下倾斜）， 点D比点C低CD:sin30°=10×2=5(cm) .2分 点D到桌面的高度为AB+10V3-5=5+10V3≈5+10×1.732=22.32≈22.3(cm).2分 (2)设灯杆BC与竖直方向的夹角为，则点D到桌面的高度为 10+20c0SQ-10sin30°=5+20C0S..2分 由题意得5+20c0s似=15，C0s=2.1分 1 0以=60，.1分 答：灯头端点D到桌面的高度约为22.3c;此时灯杆BC与竖直方向的夹角为60°， 23.(本题满分10分) (1)x2-5x+6=0,即（化-2）x-3)=0,两根为2、3，.1分 两根之和为5，两根之积为6,1分 :衍生方程的两根为5和6，即x2-11x+30=0. .1分 (2)x2一7x+12=0的两根为3、4.“和与积的对应关系不确定，需分两种情形：…1分 ①若原方程两根之和为3、两根之积为4，则方程为x2-3x+4=0, △=(-3)2一4X1X4=-7<0,无实数根，不合题意；.1分 ②若原方程两根之和为4、两根之积为3，则方程为x2一4x+3=0, 两根为1、3，符合题意.∴b=一4，c=3.… .1分 (3)由根与系数的关系得a+B=-p,B=q, .1分 衍生方程的两根分别为一卫和q,… 1分 .新方程两根之和为(-p)+q=q-p,两根之积为(-p)·q=一pq,…1分 .衍生方程为x2-(q-p)x-pq=0,即x2+(m-q)x-pq=0.1分 24.（本题满分12分) （1)由旋转得AB=AD,AC=AE,LBAD=∠CAE=.1分 .4B=AD ·AC=AE1 .1分 又LBAD=LCAE,-△ABD△ACE.1分 (2)∠ACB=90°，AC1BC.AC=6,AB=V62+82=10 点A到直线BC的距离为6..1分 AD=AB=10,·.点D到垂足C的距离为V102-62=8. .2分 又BC=8,且旋转角>0时点D与点B不重合，点D在点C的另一侧， BD-Bc+CD=8+8=16由1)得2-亭CE- 5 1分 (3)过点D作DH1AB于点H. 在Rt△ADH中，DH=AD·sinz BAD=10sina, …2分 S△A5D-7AB,DH-7×10×10sina=50sina. .1分 0°<a<180°，当a=90°时，sina取最大值1， 此时S么△ABD取得最大值50.1分 当a=90°时，BD=V102+102=10V2, CE-是BD=×10N2=6v2. 1分 (说明：第21(2)题需在Rtr iangle ABC中先求出BC再求面积；第23(2)题若未分类讨论，扣1 分；第24(3)题若未说明sima取最大值的条件，扣1分。)通海路中学2026年下学期期中学业质量监测 九年级数学 制卷人：李莎审卷人：刘娜 总分120分时量120分钟 考生注意： 1.本学科试卷共分三道大题，满分120分，考试时量120分钟。 2.本试卷分为试题卷和答题卡，所有答案都须填涂或填写在答题卡规定的答题区域内。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.把方程3x(x一1)=2(x+2)化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 () A.3,-5,-4 B.3,-1,4 C.3,5,-4D.3,-5,4 2.某校艺术节的舞台AB长10，主持人站在舞台AB上靠近B端的黄金分割点P处（AP>PB)时 视觉效果最佳，则主持人到A端的距离约为()（结果精确到0.1m) A.3.8m B.4.5m C.6.2m D.6.5m 3.在Rt松ABC中，∠C=90°，若simA=则tanA的值为（） A. B.C. D. 4.如图，直线l1Ⅱ2IL3,直线AC分别交l1、L2、13于 点A、B、C,直线DF分别交l、、飞于点D、E、F.若9=， BC 3 DE=4,则EF的长为() A.4 B.6 C.8 D.10 5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE I BC.若 AD:DB=1:2,S△ADE=2,则S△ABc等于（） A.6 B.12 C.18 D.24 6.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 () A.m<2B.m<2且m≠1 C.m≤2 D.m≤2且m≠1 7.某数学小组测量旗杆CD的高度：在点A处测得旗杆顶端D的仰角为 30°，然后沿AC方向（即朝旗杆底部C的方向）前进20到达点B处，测 得仰角为60°.若A、B、C在同一条水平直线上，CD1AC,则旗杆CD的 高度为() h60° 30° B A A.10m B.10v3m C.15m D.201m 20m 8.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为(2,1).以原点O为位似中心，将△ABC放大为 原来的2倍，得到△ABC,则点A的对应点A的坐标为() A.(4,2) B.(-4,-2) C.(4,2)或(-4，-2) D.(2,4)或(-2，-4) 数学第」 9.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， △ABC的顶点都在格点上，则tan BAC的值为() B A. B. c. D. 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在边BC上，将 A 0 △ABE沿AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，连接EF.下 列结论：①AF=6;②EF=3;③S△ABB:S△EFc=2:3: ④tan EAF=子：其中正确的是（) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知四条线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm,b=3cm,c=4cm,则 d= cm 12.若关于x的一元二次方程x2+kx一6=0的一个根是2，则它的另一个根是 13.在△ABC中，若I2simA-1+(V3-2cosB)=0,则LC= 14.一个直角三角形的两条直角边长分别为x和x+7,斜边长为13，则x的值为 15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD宽6m, A 6m D 坝高5m,迎水坡AB的坡度i=1:V3,背水坡CD的坡度 i=1:1,则坝底BC的长为m, B 16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,点0为AB边的 中点，点P为线段AC上一动点.将△APO沿PO折叠，点A的对应点 为A,直线OA与线段AC交于点Q.当△OPQ与△ABC相似时，线 段OP的长为 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(6分)解下列一元二次方程： (1)x2-4x-2=0; (2)3x(x-1)=2(x-1). 页共2页 18.(8分)如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=∠C. (1)求证：△ABD~△CBA: (2)若AB=6,BD=4,求BC的长. 19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的两根x1、x2满足x12+x22=5,求m的值. 20.(9分)某超市2025年9月的销售总额为50万元，11月的销售总额为72万元，且9月至11月 销售总额的月平均增长率相同. (1)求9月至11月销售总额的月平均增长率： (2)该超市经销的某品牌月饼礼盒，每盒进价30元.当售价为每盒40元时，日均销售500盒： 售价每上涨1元，日均销量就减少10盒.若该礼盒的日均销售利润为8000元，且按市场监管部 门的指导售价不超过60元/盒，求每盒的售价. 21.(9分)如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=6V2,AD1BC于点D. 6v2 (1)求AD、CD的长： (2)求△ABC的面积. 45° 60°1 D C 22.(10分)如图是一款可调节台灯的侧面简化示意图.底座AB竖直 30° 固定在水平桌面上，灯杆BC可绕点B转动，灯头CD可绕点C转 动.已知AB=10cm,BC=20cm,CD=10cm,且灯头CD始终与水 30° 平方向成30°角（向下倾斜)·（参考数据：V3≈1.732，结果精确到 0.1cm) 蚁于第2 (1)当灯杆BC与竖直方向成30°角时，求灯头端点D到桌面的高度： (2)若将灯杆BC绕点B转动，使点D到桌面的高度恰好为15c,求此时灯杆BC与竖直方向的夹 角. 23.(10分)定义：若一元二次方程M的两根恰好等于方程N的两根之和与两根之积，那么就称方 程M是方程N的衍生方程”.例如，方程x2一3x+2=0的两根为1和2，两根之和为3、两根之积 为2，则它的衍生方程是x2-5x+6=0. (1)求方程x2-5x+6=0的衍生方程： (2)若方程x2+bx+c=0的衍生方程是x2-7x+12=0,求b、c的值； (3)设方程x2+px+q=0的两根为、B,试探究它的衍生方程（用p、q表示）· 24.（12分)综合与实践 【问题情境】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8.将△ABC绕点A顺时针旋转角 (0°<a<180°)得到△ADE,点B、C的对应点分别为点D、E,连接BD、CE(如图1). 【观察猜想】同学们在操作中发现：无论α取何值，连接出的△ABD与△ACE始终相似，并且 随着《的增大，△ABD的面积先变大后变小. 【探究验证】请完成下面的任务： (1)验证猜想：求证△ABD∽△ACE（如图1)； (2)当点D恰好落在直线BC上时（如图2），求CE的长： (3)【拓展应用】△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时CE的长；若不存 在，请说明理由（可画在备用图上）， 备用图 图2 图1 页共2页