精品解析：湖南省岳阳市岳阳县2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025年下学期期中质量监测试题 九年级数学 时量：120分钟总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列y关于x的函数中，y是x的反比例函数的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数是反比例函数，直接判断各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A．符合反比例函数定义，是反比例函数，符合题意； B．不符合反比例函数定义，不是反比例函数，不符合题意； C． 分母是，不是x，不符合题意； D． 分母是，不是x，不符合题意， 故选：A． 2. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 为任意数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是掌握二次项系数不为零的条件． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵方程 是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：C． 3. 若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形的周长的比为， 故选B． 4. 解方程的适当方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程两边均含有表达式，通过移项后因式分解，可简化为两个一次方程求解，因此因式分解法最适当． 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：或， 解该方程的适当方法是因式分解法， 故选：D． 5. 各有一个角为的两个直角三角形一定（ ） A. 全等 B. 相似 C. 既全等又相似 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，两个直角三角形都有一个角为，因此两组角对应相等的两个三角形相似，又因为边的大小未知，无法保证全等，即可作答． 【详解】解：∵两个直角三角形都有一个角为， ∴ 两个直角三角形相似（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∵边的大小未知，无法保证全等， ∴两个三角形不一定全等， 故选：B． 6. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 7. 某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的辆增加到三月份的辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用) ，解题关键是找准等量关系． 根据平均每月增长率的定义，三月份销售量是一月份销售量的倍，直接列方程即可． 【详解】解∶设平均每月增长率为x， 则二月份销售量为，三月份销售量为． ∵三月份销售量为， ∴， 故选：B． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 9. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则( 　　) A. AP2＝AB·PB ； B. AB2＝AP·PB ； C. PB2＝AP·AB ； D. AP2＋BP2＝AB2. 【答案】C 【解析】 【详解】∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB， 根据黄金分割的定义得PB2=AP•AB． 故选C． 点睛：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 10. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（ ） A. 2或3 B. 3或5 C. 2或5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， ∴， 整理得， 解得：或． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 12. 若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 13. 如图，已知，若，则的长为 __． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 14. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 【答案】16000 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 16. 若函数与的图象有一个交点是，则另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称，因此它们的交点也关于原点对称，据此解答即可． 【详解】解：∵函数与的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∵其中一个交点的坐标为， ∴另一个交点为． 故答案为：． 17. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系． 根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 故答案为 0． 18. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则________． 【答案】1或2 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：1或2． 三、解答题：（共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法），解题的关键是根据方程结构选择对应解法：缺少一次项的方程用直接开平方法，二次项系数为1的方程用配方法． 【小问1详解】 解： 移项得：， 系数化为1得：， 开平方得：， 即，． 【小问2详解】 解： 移项得：， 配方（两边加1）得：， 即． 开平方得：， 解得：，． 20. 如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由BD∥AC，得∠EAC=∠B；由此可根据SAS判定两个三角形相似． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 21. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离为多少米时，才能发现C处的儿童？ 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理等知识﹒ 先证明，根据勾股定理求出米，米﹒证明得到，求出米，即可求出米﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，米， 在中，米﹒ ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴米﹒ ∴米﹒ 答：汽车从A处前行的距离为米时，才能发现C处的儿童﹒ 22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现：售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元． 【答案】（1） （2）3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为； （2）8； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴的交点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把点B的坐标代入代入反比例函数解析式中得， 解得， ∴， 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，设直线与y轴交于点C， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，关于x的不等式的解集为或． 24. 已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为1，求的值； （2）当为何值时，是矩形． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定． （1）将代入方程，求出的值即可； （2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根， ∴当的长为1时，， 解得：； 【小问2详解】 ∵的两对角线，， ∴当时，是矩形， 方程有两个相等的实数根， ， 解得，即的值为1． 25. 新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能， 【解析】 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念判断即可； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ∴是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①知， ，即． ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 26. 若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． （1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； （2）若直线与x轴交于点，与双曲线交于，两点，且点A关于y轴对称的点D坐标为求证：B，C，D三点的横坐标构成“和谐三组数”； （3）已知三点均在函数（k为常数，）的图象上． ①若M，N，R这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数t的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点M，N，R分别向坐标轴作垂线，交于点P，Q，连接，若与相似，求k的值． 【答案】（1） 解：实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”，理由如下： ∵，，， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2） 证明：在中，当时，， ∴， ∴， ∵点A和点D关于y轴对称， ∴， ∴； 联立得， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴构成“和谐三组数”； （3）①或或2；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“和谐三组数”的定义求解即可； （2）先求出点A的坐标，进而求出点D的坐标，再联立直线和反比例函数解析式，由根与系数的关系得到，据此求出和的结果即可证明结论； （3）①根据题意求出，进而求出，根据定义可得或或，据此讨论求解即可；②可得，可证明只存在，则，求出，进而得到，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①∵三点均在函数（k为常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵构成“和谐三组数”， ∴或或， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为或或2； ②∵， ∴； 由题意得，， ∵一条直线与反比例函数最多有两个交点，且点M、N、R都在反比例函数图象上， ∴M、N、R三点不共线， ∴， ∵， ∴， ∴与相似时，只存在， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得或（舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中质量监测试题 九年级数学 时量：120分钟总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列y关于x的函数中，y是x的反比例函数的是（） A. B. C. D. 2. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 为任意数 3. 若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 解方程的适当方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 5. 各有一个角为的两个直角三角形一定（ ） A. 全等 B. 相似 C. 既全等又相似 D. 无法确定 6. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 7. 某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的辆增加到三月份的辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则( 　　) A. AP2＝AB·PB ； B. AB2＝AP·PB ； C. PB2＝AP·AB ； D. AP2＋BP2＝AB2. 10. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（ ） A. 2或3 B. 3或5 C. 2或5 D. 2 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 12. 若，则的值为________． 13. 如图，已知，若，则的长为 __． 14. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 15. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 16. 若函数与的图象有一个交点是，则另一个交点坐标是________． 17. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 18. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则________． 三、解答题：（共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE 21. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离为多少米时，才能发现C处的儿童？ 22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现：售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 24. 已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为1，求的值； （2）当为何值时，是矩形． 25. 新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 26. 若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． （1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； （2）若直线与x轴交于点，与双曲线交于，两点，且点A关于y轴对称的点D坐标为求证：B，C，D三点的横坐标构成“和谐三组数”； （3）已知三点均在函数（k为常数，）的图象上． ①若M，N，R这三点的纵坐标构成“和谐三组数”，求实数t的值； ②在①的条件下，当时，如图，以点M，N，R分别向坐标轴作垂线，交于点P，Q，连接，若与相似，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $