河南南阳市南召县2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年秋期九年级期中巩固练习 数 学 一、选择题(每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3 分，共30分) 1.下列各组式子是同类二次根式的是 与 B. 与 C. 与 与 2.下列计算中，正确的是 3.关于x的一元二次方程的两根为 该一元二次方程可能是 A. (x+1)(x+2)=0 B. (x-1)(x-2)=0 C. (x+1)(x-2)=0 D. (x-1)(x+2)=0 4.如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知 AB∥CD∥EF, AC=50cm, CE=30cm, BD=45cm, 则 BF 的长为 A. 27cm B. 50cm C. 72cm D. 80cm 5.关于x的一元二次方程. 的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 6.把方程 的两个实数根分别记为m，n，则 的值是 A. 10 B. 2 C. - 8 D.—16 九年级数学 第1页(共6页) 学科网（北京）股份有限公司 7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB 相似的是 A. ∠ADE=∠ACB B. DE∥BC 8.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车7月份的销售量为6000辆，9月份的销售量为8000辆.若8月份、9月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 A.6000(1+x)=8000 C.6000(1+2x)=8000 D.6000×2(1+x)=8000 9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点 O.若点A(-2, 1)的对应点为A'(-4, 2),则点 B(-1, 4)的对应点 B'的坐标为 A. (-2, 12) B. (-2, 8) C. (-2, 6) D. (-4, 8) 10.“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”(如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点)，汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观.若正方形“黄金格”的边长为8cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为 九年级数学 第2页(共6页) 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.在二次根式 中，x的值可以为 (写出一个符合要求的数值即可). 12.请写出一个常数c的值，使得关于x的方程 无实数根，则c的值可以是 . 13.已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为 14.如图，在边长为1 的小正方形网格中，点A、B、C、D都在网格的格点上，AB 与 CD相交于点 O,则OC= . 15.定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在△ABC中, AB=AC=10, BC=16,点 P为边 BC上一点,若△APC为“反直角三角形”,则BP的长为 . 三、解答题(10+9+9+9+9+9+10+10=75分) 16.计算: 17.用配方法解下列一元二次方程； 九年级数学 第3页(共6页) 学科网（北京）股份有限公司 18.已知关于x的一元二次方程 (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根x₁，x₂满足 求m的值. 19. 如图, 四边形ABCD为菱形, 点E在AC的延长线上, ∠ACD=∠ABE. (1)求证: △ABC∽△AEB; (2)当AB=6, AC=4时, 直接写出AE的长 20.如图，学校为美化环境，准备用总长为29m的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃ABCD，其中墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，并在边BC上留一个1m 宽的门(建在EF 处，另用其他材料).若花圃的面积为100m²，求花圃的一边AB 的长. 21. 形如 的化简, 只要我们找到两个数a, b(a>b>0), 使a+b=m, ab=n,则 那么就会有 例如 的化简就可以将5看作是m，6看作n. 九年级数学 第4页(共6页) 学科网（北京）股份有限公司 ∵3+2=5, 3×2=6, 根据上述解决问题的方法，解答下列各题. (1)化简 (2)若 且a，m，n均为正整数，求a的值. 22.阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解. ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将 变形为 ∴x(x+2)(x-2)-(x-2)=0. ∴x-2=0或 ∴原方程有三个根： ②换元法求解特殊的四次方程： 设 那么 ，于是原方程可变为. 解得 当 时, ∴x=±1; 当 时, ∴x=±2; ∴原方程有四个根： 九年级数学 第5页(共6页) 学科网（北京）股份有限公司 【应用新知】仿照以上方法，按照要求解方程： (1)(因式分解法) (2)(换元法) 【拓展延伸】 (3)已知: ，且x>0，请直接写出 的值为 . 23.【定义】从三角形的一个顶点出发作它的角平分线，在该角平分线的延长线上任取一点与三角形的其余两个顶点相连，得到一个四边形.在这个四边形中，若该角平分线所对的一个内角等于原三角形的一个内角，且这两个角位于该角平分线的两侧，则称这个四边形为自相似四边形，这个顶点叫相似顶点.例：如图1，AP为△ABD的角平分线，点C是AP延长线上一点，连接CB，CD，若∠ABC=∠ADB，则四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形. 【性质】(1)已知：如图1，四边形ABCD 是以点A为相似顶点的自相似四边形.求证: ∠BCP=∠BPC; 【判定】(2)如图2,在△ABE中,点D, C分别在边AE, BE上, AC与BD相交于点 P，若∠BCP=∠BPC, AB²=AD•AE.求证：四边形ABCD 是以点A为相似顶点的自相似四边形； 【应用】(3)在以点A为相似顶点的自相似四边形ABCD中, AB=4, AD=2,AC与BD相交于点P.当△ADP是等腰三角形时，直接写出CD的长 . 九年级数学 第 6页(共6页) 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋期九年级期中巩固练习 数学参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1-5 DCCCA:6-10 ADBBB; 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.2(答案不唯一) 12.一3（答案不唯一）. 13. 2026 18 14.5 25 15.2或11 三、解答题(10+9+9+9+9+9410+10=75分) 16.解：(1)原式=-√48÷2-3×V6 =6-只/24-/62分 =V6-2V6-V6 4分 =-2V6. 5分 (2(3-1)2-(V2+1)(2-1)+3-V12 =3+1-23-(2-1)+只V12-3 7分 =4-23-1+2V3-3. 8分 =0.10分 17.解：原方程移项可得： X2-25X=-2,2分 x2-2V5x+5=-2+5, 4分 (x-5)2=3, 6分 x-V5=±V3, .8分 x1=5+/3,x2=V5-3 9分 18.(1)证明：：△=[-(+2)P-4×2L.2分 =12+41+4-81m =2-4叶43分 =(0L-2）}2≥0，.4分 ∴.不论m为何值时，方程总有实数根： 5分 (2)根据题意得，x1+x2=什2，x1x2=2, .(x1+X2)-X1X2=3, 7分 九年级数学答案 第1页（共4页） ∴.(0+2)2-2=3， 整理得，2+2+1=0， .8分 解得%=m2=-1. 即m值为-1.9分 19.(1)证明：，四边形ABCD为菱形， .∠ACD=∠BCA,2分 .∠ACD=∠ABE, ∴.∠BCA=∠ABE, .…4分 ∠BAC=∠EAB, 5分 .∴.△ABC△AEB: .6分 (②)9..9分 解析：，△ABC△AEB, AB AC .AE AB .AB=6,AC=4, 64 .AE6, ∴.AE==9. 20.解：设AB=xm,则BC=(29+1-2x)m, 根据题意得：x(29+1一2x)=100,4分 整理得：x2-15x+50=0,5 解得：X1=5,X2=10,.6分 当x=5时，29+1-2x=29+1-2×5=20>19,不符合题意，舍去： .7分 当x=10时，29+1-2x=29+1-2×10=10<19,符合题意. .8分 答：花圃的一边AB的长为10m;9分 21.解：(1)3+5=8,3×5=15,1分 .√8-215=(5-3)23分 =5-3: .4分 (2):a+6/3=(m+3n)2, .a+63=m2+2mn3+3n2, ∴.2m=6,a=2+3m, .5分 .∴.=3， 6分 .m,n均为正整数 ∴.=1，n=3或=3，n=1, .7分 当m=1,n=3时，a=2+3=28; 8分 九年级数学答案 第2页（共4页） 当m=3,n=1时，a=2+32=12: .9分 综上所述，a的值为28或12： 22.解：(1)将x3-10x+3=0变形为x3-(9+1)x+3=0, .x3-9x-x+3=0,1分 ∴.x(x+3)x一3)-(x-3)=0, .(-3)0x2+3x-1)=0,2分 ∴.x-3=0或x2+3x-1=0, .原方程有三个根：1=3， X,X=-3+3 2 、3分 (2)设x2=y,那么x4=y2, 于是原方程可变为y2+3y-4=0,4分 解得h=1,h=一4；5分 因为x2≥0， 所以y=一4舍去.6分 当y=1时，x2=1, .∴.x=±1， .原方程有两个根：=1，x2=一1.7分 (3)/210分 解析：x2-2x一1=0， ∴.x2-2x=1. x4-2x3-3x=x26x2-2x)-3x=x2-3x=x2-2x-x=1-x. 解方程x2一2x一1=0得， x1=1+,x2=1-, .'x>0, .x=1+ x4-2x3-3x=1-(1+)=-. 23.(I)证明：·四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形， ∴.AC平分∠BAD,∠ADB=∠ABC, .∠BAP=∠DAP …2分 .∠BCP=∠APD, 3分 '∠APD=∠BPC, ∴.∠BCP=∠BPC. 4分 (2)证明：，AB2=ADAE,∠BAD=∠EAB, ∴.△ABD△AEB, .6分 .∴.∠E=∠ABD,∠ADB=∠ABC .∠BCP=∠BPC, ∴.∠ABD+∠BAC=∠E+∠CAD, 7分 即∠BAC=∠CAD. 九年级数学答案 第3页（共4页） .四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形.…8分 2V2 2W15 (3)CD的长为或3 .....10分（写对1个给1分） 解析：由题意，，四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形，AB>AD, ∴.∠BAP=∠DAP,∠ADB=∠ABC. ∴.∠BCP=∠APD, .∠APD=∠BPC, ∴.∠BPC=∠BCP, ∴.BC=BP始终成立. 当△ADP是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当DA=DP时，∠DAP=∠DPA,而∠DPA>∠BAP, 矛盾，此情形不成立 ②当AP=AD时，如图1， 此时∠ADP=∠APD, ∴.∠ABC=∠BCA. ∴.AB=AC=4,△ABC△BPC△APD, AP PD AB BP ∴.CP=2,∠CBP=∠BAP,BPPC,BCPC ∴BC=2V2, C :∠APB=∠DPC, 图1 ∴.△APB-△DPC. ∴∠BAP=∠CDP, ∴.∠CBP=∠CDP, ∴.CD=BC=2V2. ③当PA=PD时，如图2， .△BCA一△DPA, AB=AC=2 :AD AP ∴.PC=pA. ∴AD⊥CD 过C作AB边的高CF,过B作CP上的高BE, 图2 ∴.CF=CD,CE=PE. 在Rt△BCE中，设CE=x,则BC=4x, .BE=15x, 在Rt△BAE中，BE+AE2=AB2,即15x2+9x2=16, x=V6 解得3， .BEAC=CFAB, 九年级数学答案 第4页（共4页） CF=15x4x215 4 3, .CD=215 3: 综上所述，CD的长为2V2或 九年级数学答案 第5页（共4页）