精品解析：河南省南阳市南召县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋期九年级期中巩固练习 数学 一、选择题(每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分) 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键；因此此题可根据最简二次根式的条件“被开方数不能含有开得尽方的数或因式及被开方数不能含有分母”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，不最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元二次方程根的判别式对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； B、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； C、∵， ∴， ∴方程有两个相等实数根，此项正确； D、， ∴， ∴方程没有实数根，此项错误； 故选：C． 3. 如图，要测定被池塘隔开的两点的距离，可以在外选一点C，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵D、E分别、的中点，， ∴， ∴． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为； ∴方程必有一根． 故选：B 6. 已知一元二次方程可配成，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 7. 若实数a，b满足，，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，、是方程两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”可解此题．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握“，”是解题的关键． 【详解】解：由可知， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ， 故选：C． 8. 小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由可得；由可得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故选：B 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．一个机器人（看成点）从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；机器人照此规律跳下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性以及找出点的循环数是解题的关键．根据中心对称的性质可得，，，，，坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：点，，的坐标分别为，，， 又与点关于点成中心对称， 点坐标为， 与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 个点一循环， ， 点的坐标为， 故选：D． 二、填空题(每小题3 分，共15分) 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出、的值是解题的关键，根据二次根式有意义列出，求出的值，即可求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ， ， 故答案为：． 12. 若方程 的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∵， ∴， ∴， ∴另一个根为， 故答案为：． 13. 定义新运算： 若， 则x的值为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法的应用，根据新运算的定义，将代入公式得到方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：由新运算定义，， 根据题意，， 整理得：， 因式分解得：， 解得：或， 故答案为：或． 14. 将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，如图，由题意可知，，，，，证明，得到，即，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知，，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，四边形的面积是四边形面积的倍，则四边形与四边形为，从而可得出点的坐标，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的倍， ∴四边形与四边形为， ∵， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 三、解答题((10+9+9+9+9+9+10+10=75分) 16. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 对于（1），先算二次根式的乘除，再算二次根式的加减； 对于（2），根据二次根式的乘法法则运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程∶ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 用公式法解一元二次方程． 详解】解：， ，，， ， 所以， 即，． 18. 如图，在 中，，请用尺规(不写作法，保留作图痕迹)在边上找一点 D，使得线段将分成的两个小三角形相似，并证明． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查作图—相似变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形．过点C作于点D，然后利用相似三角形的判定证明和相似即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D，点D即为所求， 由作图知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19. 【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：； 【变式探究】 （3）若，且均为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或22 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）仿照小明的方法求解即可； （2）仿照小明的方法，将化成，再代入求解即可； （3）利用所给的方法进行分析，即可求解 【详解】解：（1） ； （2）∵ ， ∴ ； （3）， 或， 或． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）求得一元二次方程的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关系即可得出结论； （2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，，再利用勾股定理求得，再利用完全平方公式可得，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴k无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时， ∴，， ∴， 在中，，即， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 当时，，不符合题意；故舍去． 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及与系数的关系是解题的关键． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）50元；（2）八折 【解析】 【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设每件的售价定为x元， 则有：， 解得：(舍)， 答：每件售价为50元； （2）设该商品至少打m折， 根据题意得：， 解得：， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 22 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】（1）4 （2） （3）当时，多项式有最大值，最大值为20 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 23. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． （1）__________； （2）当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； （3）设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值． 【答案】（1）10 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）根据题意分当，，时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理，得, ∴， 故答案为：10． 【小问2详解】 解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【小问3详解】 解：当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级期中巩固练习 数学 一、选择题(每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分) 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，要测定被池塘隔开的两点的距离，可以在外选一点C，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程中a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程可配成，则值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 7. 若实数a，b满足，，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．一个机器人（看成点）从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；机器人照此规律跳下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3 分，共15分) 11. 已知，则_____． 12. 若方程 的一个根为，则另一个根为______． 13. 定义新运算： 若， 则x值为__________ 14. 将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则________． 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为______． 三、解答题((10+9+9+9+9+9+10+10=75分) 16. 计算∶ （1） （2） 17. 解方程∶ 18. 如图，在 中，，请用尺规(不写作法，保留作图痕迹)在边上找一点 D，使得线段将分成的两个小三角形相似，并证明． 19. 【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：； 【变式探究】 （3）若，且均为正整数，求的值． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 22. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 23. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． （1）__________； （2）当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； （3）设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $