广西壮族自治区来宾市合山高级中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

合山高级中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.试卷分为试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效。 2.答题前，请在答题卡上填写姓名、考号和座位号。 3.考试结束后，仅将答题卡交回。 一、单选题（共40分）：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求 1.已知集合A={1,2,3},B={xx>2,则A∩B=() A.{3} B.{2,3} C.{xx≥1} D.x>2 2.若(3-4i)==5i,则z的共轭复数z=() 4+ B D青 3.已知2≤a≤4，-1≤b≤3，则a-2b的取值范围是() A.[-8,2] B.[-3,1] c.[-4,6] D.[-7,7] 4.已知sm(经引剥a(行（) 4g B.9 c.j D.g 5,尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，己经对地震有所了解，例如，地震时释放出 来的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgP=4.8+1.5M,黄海是我国东部中强地震 多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0 级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的()倍.（精确到1） (参考数据：1g29.5≈1.470,1g30.5≈1.484,1g31.5≈1.498,1g32.5≈1.512) A.29 B.30 C.31 D.32 6.已知数列a}的前n项和为Sm,4=4=1且2S,=a+2-1(n∈N),则S。=() A.170 B.315 C.512 D.682 7.已知函数y=/(2x-1)的定义域是[-1,3)，则y=f四 的定义域是() √x+2 A.(-2,5] B.(-2,3] c.[-1,3] D.[0,2] 试卷第1页（共4页） e-Inx,0 8.已知函数f(x)= e+e,x<0，若f(冈=a存在两个不相等的实数根，，则k-的最小值为 () A.e B.2e C.2e+1 D. e 二、多选题（共18分）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知正数a,b满足ab=a+b,则下列选项正确的是() A.1+=1 B.8+2b≥5 C.a+b≥4 D.d+b2≥8 10.在单位圆中，O为圆心，AB为直径，P为圆上任意一点，MN为直径AB上（含端点）相异的两 点.下列说法正确的是() A.PA+PB=2 B.制a1+OP啡5，则向量OA,OP的夹角为后 C.|PM+PNl∈(0,4) D.若PM=PN,则PM·PN∈[O,1) 11.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△ABM,连接BD,N为BD 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是() B B A.不存在某个位置，使得CN⊥AB, B.翻折过程中，CN的长是定值 C.若AB=BM,则AM⊥B,D D.若AB=BM=1,当三棱锥B-AMD的体积最大时，其外接球的表面积是4π 三、填空题（共15分)：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.设曲线f(x)=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线与直线y=2x-1平行，则a= 13.已知平面向量ā6，满足2-，a与6的夹角为子，b在a方向上的投影狗量为 试卷第2页（共4页） 14.设m,n∈N,m≤10，n≤10，函数f(x)=emr-m(e是自然对数的底数，e≈2.718).从有序实数对 (,)中随机抽取一对，使得f(x)恰有两个零点的概率为 四、解答题（共77分)：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=Asin(ox+p)+b(A>0,o>0,0<p<)的部分图象如图所示. 7π 12 12 (1)求f(x)的解析式： (②将国图象上的所有点向右平移音个单位长度，得到西数8()的图象，求8)在[0没 上的值域。 16.(15分)某中学初一男生共有400人，为了了解初一男生的体重（单位：千克）情况，随机抽取部分 初一男生测量体重，将数据按照[36,40)[40,44)，[44,48)，[48,52)，[52,56]，分成5组，画成如图所示的频 率分布直方图. 频率 组距 0.09 0.07 0.05 0.03 0.01 364044485256体重/千克 (1)用样本估计总体，估计这400名男生中体重在区间[44,48)之间的人数； (2)用样本估计总体，估计这400名男生的平均体重（同组数据用该组区间中点值作代表）. 17.(15分)直三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC=A4=6,∠BAC=120°.点D为棱BC上一点，且 AC⊥DC1. 试卷第3页（共4页） B D (I)求证：平面AB,D⊥平面ACCA: (2)求DC1与平面ABD所成角的正弦值. 18.(17分)已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+ailnx,a∈R (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程 (2)若∫(x)在x=1处取得极值，求f(x)的极值： (3)若f(x)在[1，e]上的最小值为-2a,求a的取值范围. 19.(17分)定义：对于任意大于零的自然数，满足条件+2≤a1且a,≤M(M是与n无关的常 2 数)的无穷数列{a}称为M数列. (1)若等差数列b}的前n项和为S,且b=-3,S,=-18,判断数列b}是否是M数列，并说明理由： 1 1 (2)若各项为正数的等比数列c,的前项和为工，且9，=26=6，证明：数列红}是M数列： (3)设数列{dn}是各项均为正整数的M数列，求证：d≤d+· 试卷第4页（共4页） 《合山高级中学2026一2027学年秋季学期期中考试（高三数学试题）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A 0 A D 0 A B ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1.A 【详解】集合A=1,2,3},B={xx>2}表示大于2的实数， 在A中大于2的元素只有3，故A⌒B={3}. 2.D 【珠1利5：则6店专 =5+5, 故=-43 551 3.C 【详解】因为2≤a≤4，-1≤b≤3，所以-6≤-2b≤2， 由不等式的性质可得-4≤a-2b≤6. 因此，a-2b的取值范围是[-4,6]. 故选：C 4.A 【详解1因为径引r后)受所以m侣m及（倍引即©后分) 又因为cw任-co2倍）2o{倍号}-1=2周)-1=-g 5.D 1gE1=4.8+1.5×5 【详解】由题意得 lgE2=4.8+1.5×4’ 两式相减得le会-15，而1g3151498, 故是15a如 故选：D 6.D 【详解】由于2a=2Sn+1-2Sn=(a+3+1)-(a+2+1)=a+3-a+2,故 答案第1页（共10页） 4+3+4+2=4+3-4+2+2a+2=2a+H1+20+2=2(a+H1+4+2) 而4=2S+1=3,，故4+4=4=2(4+4)，这表明对任意正整数均有4+1+a+2=2(a+4+1)，而 4+凸=1+1=2，故4+4+1=2” 所以 S0=(4+4)+(4+a4)+(4+45)+(4+4)+(4,+40)=2+23+23+2+2=2+8+32+128+512=682. 故选：D 7.A 【详解】因为函数y=f(2x-1)的定义域是[-1,3]，所以x∈[-1,3]，2x-1∈[-3,5]， 所以y=f(x)的定义域为[-3,5]，又因为x+2>0,即x>-2,所以-2<x≤5， 所以函数y= f() 的定义域为(2,5]. Vx+2 故选：A. 8.B 【详解】当x>0时，∫s)=e-nx单调递减：当x<0时，f()=e+°单调递减， 1化 当x→-0时，e+9→e,当x→0时，e+ +e→-0，e-lnx→+o0, 当x→+o时，e-lnx→-o,则f()的图象如图所示， y=a y=f(x) 所以当f(x)=a存在两个不相等的实数根，x3时，a<e,且假设，<0<x3, 所以31-x3=x2-1. 所以e-h=a,x=e;e+9=a,5= a-e, 所以为-飞=ea-e=e0+e a-e e-a 设e-a=1>0,M0-d+月，则0=E-月. 令g0=e片，则g0=e+台>0，所以0在0+单调道增. 又N(1)=0,所以当0<t<1时，H(t)<0;当t>1时，h(t)>0. 答案第2页（共10页） 所以)=e+在(0,1)上单调递减，在1，+∞)上单调递增， 所以h(t)≥h(1)=2e, 所以为-名=e-e的最小值为2e. a-e 故选：B 9.ACD 【详解】对于A,由正数a,b满定b=a+b,得。+1，A正确 对于B,由ab,得a=名b>1,则号沙=。20-0+222+2 当且仅当0=1+5时取等号，而2W2+2<5,B错误： 2 对于C,a+b=ab≤2，白，解得a+b24,当且仅当a-b-2时取等号，C正痛， 对于D,d+b=a+b+a-b≥a+b≥8，当且仅当a-b=2时取等号，D正确 2 2 故选：ACD 10.ACD 【详解】由已知，|PA+PB月曰2PO=2,A正确. 若引OA+OP=√5，则OA+OPP=3, 设向量OA,OP的夹角为8，则OA+oP2+20:0Pcos0=3, 01=0P-1,解得cow0=行0=子敢B错误 1 设N的中点为D,则PM+PN=2PD,则PM+PW=2PD, 当M、NP三点很贴近时，|PD长度接近0，所以PM+PN>0: 当M、N很贴近且PW为直径时，PD的长度接近直径，所以PM+P<4,故C正确 因为PM=PN,由已知，当M、N分别为直径AB上两个端点时，PM⊥PN, 答案第3页（共10页） 则PM.PN=0,此时PM.PN取得最小值， 当M、N无限靠近AB的中点，即原点时，PM.PV最大，趋近于1， 所以PM·PN∈[O,1),故D正确. 故选：ACD 11.ABD 【详解】对于A,取AD的中点为E,连接CE交MD于F,则四边形MCDE为平行四边形，如图， B DF为MD的中点，由于N为B,D的中点，则EIAB,NFIIMB, B 如果CN⊥AB,,则EN LCN, 由于AB⊥MB,则EN⊥NF, 由于E,NF,NC共面且共点，故不可能有EN⊥CN,EN⊥NF同时成立， 即不存在某个位置，使得CN⊥AB,A正确 对于B,结合A的分析可知∠NEC=∠MAB,且E=】AB,AM=EC, 在△CEN中，NWC2=NE2+EC2-2NE.EC.cos∠NEC, 由于EN,EC,∠EC=∠B,AM=∠BAM均为定值，故NC为定值， 即翻折过程中，CN的长是定值，B正确： 对于C,如图，取AM中点为O,由于AB=BM,即AB=BM,则AM⊥B,O, 若AM⊥BD,由于BO∩BD=B,B,O,BDC平面ODB,故AM⊥平面ODB, ODc平面ODB,故AM⊥OD,则AD=MD, 由于AB=BM,故AD=2AB,DC=CM,则MD=√2CD=√2AB, 故AD≠MD,与AD=MD矛盾，故C错误； 答案第4页（共10页） 对于D,由题意知，只有当平面B,AM⊥平面AMD时，三棱锥B,-AMD的体积最大： 设AD中点为E,连接OE,BE,ME,由于AB=BM=1,则AB,=B,M=1, 且AB,⊥B,M,B,O⊥AM,而平面BAM⌒平面AD=AM,BOC平面BAM, 故B,O⊥平面AMD,OEc平面AMD,故B,O⊥OE, 则w5.a04w9ogaw4M9 2 从而EB, =1,则EA=ED=EM=EB,=1, 即AD的中点E即为三棱锥B,-AMD的外接球球心，球的半径为1， 故外接球的表面积是4π，D正确， 故选：ABD 12.3 【详解】因为曲线f(x)在点(0,0)处的切线与直线y=2x-1平行，且f(x)=a- x+1 所以f"(0)=a-1=2,所以a=3. 故答案为：3 13.-a 4 【详解】因为a与6的夹角为2 所以cos(a,b）=-2 1 所以6在a上的装响为aa®骨1(》aa 故答案为：-a 4 14.20015 3 【详解】由题意知，有序实数对(m,)有100个. 由f)=e-m,得f()=mea-n, 令f'(=0→=11n(凸) mm 所以x∈(-m,in》,f0的<0，x∈2h凸，+o.f'e>0, mm mm 故函数fw)在(，上h(凸》上单调递减，在(（凸，+）上单调递增， mm 答案第5页（共10页） 且x→-0时，∫(x)→+0；当x→+0时，f)→+0， 所以fm=f2h》=e3-nn凸=”-2n凸=4-n, mmmmmm 要使f)有两个零点，则f已n(凸)=”1-n1<0, 即1-ln(2)<0,得n>cm,即n≥3m. 172 满足该条件的有序实数对有： 对于m=1,n可以取3,4,5,6,7,8,9,10，共8个； 对于m=2,n可以取6,7,8,9,10，共5个： 对于m=3,n可以取9,10，共2个： 对于m=4到m=10,没有满足题意的n. 所以所求事件的概率为153 10020 故答案为： 3 20 15.f=2sm2x+写1 (2)1-3,3] [A+b=3 【详解】(1)由A>0,根据图象可知 4+b-1解得1=2 b=1 设西数f)的最小正周期为7，由图可知沿吾-受，又®>0， 即可得T-2开=元，解得0=2， 代入侣)-22音+1=3.可用名+p=号+ate2 即0号2点keZ,又0<9<元，所以p=背 因此f(x)=2sim2x++1, 3 2由题可得)-2母月1=2m(2x81, 图w 所以2x+663] π_「π4π 当2x+君至即x君时，8)取得最大值石3 6 当2+名行，即x晋，8侧取得景小值 12/1-V5 7π 故0在[0哥 上的值域为[1-5,3]： 答案第6页（共10页） 16.(1)144人 (2)45.04千克 【详解】(1)频率分布直方图中，体重在区间44,48)的频率为0.09×4=0.36， 则这400名男生中体重在区间[44,48)之间的人数约为400×0.36=144人： (2)x=38×0.03×4+42×0.07×4+46×0.09×4+50×0.05×4+54×0.01×4=45.04, 故可估计这400名男生的平均体重为45.04千克. 17.(1)连结AC,因为AC=A4,所以四边形ACCA为菱形，则AC⊥AC, 又DC⊥AC,且AC,DCC平面ADG,AC∩DC=C,所以AC⊥平面ADC1, 因为ADC平面ADC,所以4C⊥AD, 因为直棱柱ABC-AB,C1,所以AA⊥平面ABC, 因为ADC平面ABC,所以AA⊥AD, 因为A4,ACC平面ACC1A,A4∩AC=A, 所以AD⊥平面ACC1A, 因为ADC平面AB,D,所以平面AB,D⊥平面ACCA: (2)305 35 【详解】(1)略 (2)因为AD1平面ACCA,ACC平面ACCA,所以AD⊥AC, 以A为坐标原点，AD,AC,AA分别为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系， 2孙 因为AB=AC=6,∠BAC=120°，则∠ABC=∠ACB=30°，AD=2W3, 所以D(2√5,0,0)，C(0,6,,B,3V5,-3,6), 所以AD=(2√5,0,0)，AB=(3v5,-3,0,DC=(-23,6,6, 答案第7页（共10页） 设平面ADB,的法向量m=(x,y,z),直线DC1与平面ADB所成角为日， 则m.AD=0 2V5x=0 ,所以 mAB.=0 ，取m=(0,2,1), 3V3x-3y+6z=0 则sm8=lcs<DG,i84×535 18 3V105 故DC与平面A8D所成角的正弦值为310时 35 18.(1)3x-y-4=0 包极大值/付)h2,极小值了1=2： (3)(-0,1] 【详解】(1)若a=0,则f(x)=x2-x,则f'(x)=2x-1, 故f(2)=2,f"(2)=3, 故曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为y-2=3x-2),即3x-y-4=0; (2)f(x)=x2-(2a+1)x+alnx,a∈R定义域为(0，+o), 则f'(x)=2x-(2a+1)+a, 由于f(x)在x=1处取得极值，故f'(1)=2-(2a+1)+a=0,.a=1, 则f(x)=2x-3+1=2x2-3x+1_(2x-10x-1) 令了)>0，则0<X<2或x>1,函数f()在0》0+上均单调递增 2 令)k0,则片<<1，函数/)在上单调递减。 5-2, 故当x时f取到吸大)吃 当x=1时，f(x)取到极小值f(1)=1-3=-2: (3)由于f)=2x-(2a++g-2x--@,x∈[，e, 当a≤1时，f'(x)≥0，仅在a=l,x=1时等号取得，f(x)在[1，e上单调递增， 则f(x)m=f0)=-2a,符合题意： 当1<a<e时，则1<x<a时，f(x)<0,f(x)在[1，a上单调递减， a<x<e时，f"(x)>0,f(x)在[a,e]上单调递增， 答案第8页（共10页） 故f(x)n=f(a网<f四=-2a,不符合题意： 当a≥e时，f'(x)<0,f(x)在[1，e]上单调递减， 故f(x)m=f(e)<f①=-2a,不符合题意： 综上，可知a的取值范围为(-o,], 19.(1){b}不是M数列，理由： 由题意知5，=%+9X8d=-27+36d=-18,故d=} 2 则63-”，板6的心 n-13,n+2-13 4--12=4 2 2 4 但等差数列b,}为严格增数列，当n→+o时，b,→+，所以{b}不是M数列： 8证明：由6}则c6cg3,则g}有49子则6=1 1 11 =2- 21-1 2 1 1 2- 则T+T2= 2-1+2、 2 2 03<24 25 20*21 1 又T=2- 2<2, 即对任意大于零的自然数，满足条件I+业<T,且X<2, 2 即数列{T}是M数列： (3)证明：假设存在正整数k使得d>d成立， 由数列{dn}的各项均为正整数，可得d.≥dh+1,即dx+≤d。-1, 因为4+42sdu,所以d≤2d-d,≤2(d--d=d-2, 2 由dep≤2dh-de及d>d+1得d+2<2dxH-dk+1=d+1, 故de≤du-l,因为4十起≤d2, 2 所以d3≤2d+2-dx+H≤2(d+1-1)-deh=dx+1-2≤d。-3, 由此类推可得d+m≤d4-m(m∈N*), 因为又存在M,使d,≤M, 答案第9页（共10页） ∴当>M时，d+m≤d。-m<0,这与数列{dn}的各项均为正数矛盾，所以假设不成立， 即任意大于零的自然数，都有d,≤d,+1成立. 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 答案第10页（共10页）