精品解析：广西壮族自治区贺州市八步区贺州第二高级中学2026-2027学年高三上学期11月期中检测数学试题

贺州第二高级中学2026-2027学年秋季学期期中检测 高三数学 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在中，，，，则边的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 即不充分也不必要 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，．设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时,（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面内所对应的点在第二象限 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列的通项为 C. 当时， D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，则的公比为___________． 13. 已知曲线向右平移个单位后得到的曲线对应的函数为，若为偶函数，且在上单调递增，则_________. 14. 已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. 16. 记为各项均为正数的数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 已知函数，对任意的有，且的最大值为． （1）求的值； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为． （1）求证：直线过定点，并求此定点D的坐标； （2）过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T． ①当取最大值时，求点P的纵坐标； ②证明：存在定点G，使为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺州第二高级中学2026-2027学年秋季学期期中检测 高三数学 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，， 所以. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得. 故选：C. 3. 在中，，，，则边的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理运算得解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 4. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 即不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】解对数函数不等式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 故， 故选：D 6. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可． 【详解】因为， 故可得， 由，故可得， 令，可得， 则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 7. 已知集合，．设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合、，由p是q的必要不充分条件得且，可得或解不等式可得答案. 【详解】由得，所以，即， 由得，即， 因为p是q的必要不充分条件，所以且， 所以或， 解得，所以实数a的取值范围是． 故选：A. 8. 函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时,（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，， 则 ， 可得， 又因为为递增数列，且， 所以当，可得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面内所对应的点在第二象限 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算可得，再根据共轭复数、复数的模、虚部及复数的几何意义对选项逐一分析即可. 【详解】，所以，即，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：的虚部为，故C错误； 对于D：在复平面内所对应的点为， 所以在复平面内所对应的点在第三象限，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到， 对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确. 【详解】由图可知：的最小正周期， 当时，，所以； 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根， 则，正确； 故选：ACD. 11. 过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列的通项为 C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线，方程联立由，可得，，从而结合累加法求和可判断A,B，由，可判断C，令，.可得在上递减，可知在上恒成立，可判断D 【详解】设直线，联立，得， 则由，即，得（负值舍去） 所以可得，，所以B错误； 所以，故A正确； 因为，又因为，则，即， 所以， ，故C正确； 因为，所以，令，则. 可得在上递减，可知在上恒成立. 又.所以成立.故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查圆的切线问题和数列不等式的证明问题，解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由，得出，，证明得到，从而可比较与的大小，设，利用导数得出在上恒成立，来判断与的大小，属于难题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，则的公比为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等比数列的通项列出方程，解之即可. 【详解】设公比为， 由，得， 即，解得或. 故答案为：或. 13. 已知曲线向右平移个单位后得到的曲线对应的函数为，若为偶函数，且在上单调递增，则_________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得，由为偶函数，可得，或，再根据在上单调递增，结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】解：由题意可知， 又因为为偶函数， 所以，或， 解得，， 又因为，所以， 又，所以， 又因为当时，， 当时，由在上单调递增可得：， 解得，由，可得， 由，解得， 所以， 又因为，且， 所以，解得， 所以； 当时，由在上单调递增可得：， 解得，由，可得， 由，解得，所以， 所以， 又因为得，且， 所以，解得， 所以，， 综上所述，或. 故答案为：或 14. 已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】方程恰有三个不相等的实数根可转化为与的图象的交点有个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解． 【详解】作出与的图象，如图， 当时，设与相切于点， 则，解得，所以， 由图象可知，当时，与有个交点， 又令，即， 则，所以， 则与有个交点， 即与有个交点， 当时，设与相切于点， 由可知，， 解得或舍去，此时， 而， 由图象知，当时，与有个交点． 综上，或时图象有个交点，即方程恰有三个不相等的实数根． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：数形结合研究零点问题，其中利用导数求出不同范围内函数的切线是关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可； （2）先由，求出，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可. 【小问1详解】 由， 所以函数的单调增区间是. 【小问2详解】 由，可得， 从而，所以. 所以的值域为. 16. 记为各项均为正数的数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系计算； （2）由（1）可知，然后使用裂项相消求和即可. 【小问1详解】 由题可知：，当时，， 由①，当时，②； ①-②得：， 所以，即， 所以数列是以2为首项，2为公差得等差数列. 所以，即； 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以， 所以， 则. 17. 已知函数，对任意的有，且的最大值为． （1）求的值； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由可得的对称轴为，可得，，可求出； （2）若，不等式恒成立，即恒成立，设，即，通过讨论的单调性，求出，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以的对称轴为， 所以，即， 因为的最大值为，所以， 因为，所以，即． 【小问2详解】 由（1）得， 当，不等式恒成立，则，即． 设，对任意的，且， 则， 因为，且，所以， 即，即， 故在上单调递增，同理可证，在上单调递减， 因为恒成立，即， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以． 故的取值范围为． 18. 如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 所以，即，. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 又，所以由唯一确定一个平面，故平面即平面； 又，所以是两条相交直线，且平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）； （3）存在，点的坐标为，理由如下： 由（2）得，设， 则，又，所以， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 若直线与平面所成的角为，则，即， 整理得，解得，则. 所以在线段上存在一点使直线与平面所成的角为，点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）由题证得平面平面，即可得平面； （2）建立适当空间直角坐标系，求出两平面的一个法向量，由两法向量夹角余弦值即可求解； （3）设，求出和平面的一个法向量为，由题设建立关于t的等量关系求出t即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以， 因为平面平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则可得， 所以， 所以平面与平面夹角为； 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为． （1）求证：直线过定点，并求此定点D的坐标； （2）过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T． ①当取最大值时，求点P的纵坐标； ②证明：存在定点G，使为定值． 【答案】（1）证明：设，因为，所以l斜率， 所以直线斜率，即， 所以， 所以的方程为，即， 所以直线过定点； （2）① ； ②证明：因为直线过定点平行于l，所以， 所以点H在以为直径的圆上． 设G为中点，则，且， 所以存在定点，使得为定值． 【解析】 【分析】（1）设，由题意和导数的几何意义、两点求斜率公式可得，结合点斜式方程求出直线PQ方程，即可求解； （2）①设，直线过定点N，由题意，，求出直线AB方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示， 换元法，对化简，利用导数研究函数的性质即可求解；②设G为中点，结合圆的有关性质即可证明. 【小问1详解】 证明略，顶点为； 【小问2详解】 ①， l的方程为，令，得， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点． 将与联立，得． 显然，设，则． 所以， ， 所以， 令，则， 设，则． 令，得（负根舍去），当时，单增； 当时，单减；所以当时，取得最大值， 即取得最大值，此时P的纵坐标为． ②略. 【点睛】关键点点睛：求解定值问题常见的方法一般有两种，从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．或直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $