精品解析：山西长治市上党区第一中学校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

上党区一中2026-2027学年第一学期期中考试高二 数学学科试卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，解得，故， ，解得或，故或， 故， 故． 2. 已知直线，与平行，则的值是（　　） A. 0或1 B. 1或 C. 0或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得：或，故选C. 考点：直线平行的充要条件． 3. 已知圆 ，，则圆与圆的公切线条数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， ，，圆与圆外切，圆与圆的公切线条数是. 4. 在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，. . 5. 已知两点，，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，则，因此可得当三点共线时，取最小值，进而利用两点间距离公式计算两点之间的距离即可． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 因为，所以， 当且仅当三点共线时等号成立，因此的最小值为． 6. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于,若,则双曲线的渐近线为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图像，结合双曲线第一定义和勾股定理即可求解 【详解】结合题意画出图形，如图： 由，所以为中点，结合是中点可得是的中位线， 又因为圆的切点，所以， 由题知，， ，由双曲线第一定义，故，又因为直角三角形，，即，即，由， 故，双曲线渐近线方程为： 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，双曲线的第一定义的应用，计算能力，属于中档题 7. 设等差数列的前项和为，已知，设，则数列的前项和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出等差数列的通项，再求出数列的通项公式，后利用两角差的正弦公式和叠加法即可求数列的前项和. 【详解】设数列的公差为，则，解得， 则； ， 设数列的前项和为， ， ， …… 将这个式子累加，可得. 故选：C. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得，结合，得关于的不等式，从而求出的范围. 【详解】由，得 ，得， 又，则， ∴，即， 又，∴． 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，共18分．全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错不得分） 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 当且仅当时，取得最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，， 所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前项和的最值问题，是中档题. 等差数列前项和的最值得求解常见一下两种情况： （1）当时，有最大值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定； （2）当时，有最小值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定； 10. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算可判断A；计算平面的法向量为，根据点到平面的距离公式可判断B；确定截面为，计算面积可判断C；根据线面角的向量求法可判断D. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，设，， ，，， 对A：，，故， 所以异面直线与BD所成角为，故A错误； 对B：设平面的法向量为，则， 取，则，，得到， 又，则点P到面的距离为，故B正确； 对C：如图所示，连接，则， 平面，平面，故平面，同理平面， ，平面，故平面平面， 故截面即为等边三角形，面积为，故C正确； 对D：设直线与面所成角为， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可计算数列的通项公式. 【详解】，而， 当时，， 故. 填. 【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 13. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知曲线是上半圆，直线过定点，根据先图形求临界值，进而分析取值范围. 【详解】曲线 化为，是以为圆心、半径为 1 的上半圆. 直线即，恒过定点， 当直线与圆相切时，则，解得（舍去）或； 当直线过，则，解得； 当直线过，则，解得； 根据图形可知：实数的取值范围为. 14. 已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___. 【答案】 【解析】 【详解】抛物线化为标准形式，故，焦点，准线. 设，则. 由抛物线定义，，故，即. 于是. 由，得，当为线段与抛物线交点时取等号， 故最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程； （2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程. 【答案】（1）或；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由题可设直线在x轴上的截距，可得直线方程，结合条件即得； （2）分截距为零和不为零两种情况讨论即可. 【详解】（1）设直线在轴上的截距为， 则在轴上的截距为， 由题意可知且， 则此直线的方程为. 又此直线过点（1，－1）， 所以，解得或， 故所求的直线方程为或， 可化为或. （2）①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为， 将（－5，2）代入中，得， 此时直线方程为，即； ②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为， 将（－5，2）代入中，得， 此时直线方程为， 综上所述，所求直线方程为或. 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量代换求出首项和公差，即可得到通项公式； （2）先判断当时，；当时，，再分段求和即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则由条件得， 解得，因此． 【小问2详解】 由，解得， 故当时，；当时，， 因此当时，， 当时， ， 综上，． 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，. 是底面的内接正三角形，为上一点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明： 因为， 所以是等边三角形， 设，则， 所以， 因为是底面的内接正三角形， 所以根据正弦定理，， ， 所以. 因此，从而. 又，故， 因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据是等边三角形，求出，中，根据正弦定理求出，再根据勾股定理求出,,，利用勾股定理即可证明，，即可证明结论. （2）建系，求出各点坐标，求出平面的法向量，求出坐标，即可求出向量夹角余弦值，即可求解二面角的正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设可得，，，， 所以，， 设是平面的法向量，则 ，即， 令，得，，所以， 由(1)知是平面的一个法向量，记, 则， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若均在的右支上，且的周长为，求的方程； （3）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程. （2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线：，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图： 因为，设直线：，代入得： ， 整理得：. 设，， 因为均在的右支上，所以，且，所以， . 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. 【小问3详解】 假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以. 此时. 所以存在点，使得为定值. 19. 设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 【答案】（1） （2）① ②由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）①先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ②设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. 【小问1详解】 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. 【小问2详解】 ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上党区一中2026-2027学年第一学期期中考试高二 数学学科试卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，与平行，则的值是（　　） A. 0或1 B. 1或 C. 0或 D. 3. 已知圆 ，，则圆与圆的公切线条数是（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两点，，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 6. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于,若,则双曲线的渐近线为 A. B. C. D. 7. 设等差数列的前项和为，已知，设，则数列的前项和为（　　） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错不得分） 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 当且仅当时，取得最大值 10. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 11. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________. 13. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是_____. 14. 已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程； （2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程. 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，. 是底面的内接正三角形，为上一点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若均在的右支上，且的周长为，求的方程； （3）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $