山西省太原市山西大学附属中学校2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

山西大学附中 2026~2027学年第一学期高二年级期中考试 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：薛奇远 审核人：高二数学组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．两平行线与间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 3．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 5．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 6．已知直线（不同时为0）与圆相切，若点在圆O外，则c的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 8．已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且. 若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点， 则下列说法正确的有（      ） A．的周长为 16 B．内切圆半径的最大值为 2 C．若点，则的最大值 9 D．若，则 三、填空题（本题共3 小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12.已知椭圆：的右焦点，则________； 13．已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 14．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为__________；当最小时，直线的方程为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15（13分）．在平面直角坐标系中，已知椭圆，P为椭圆E上一点，为椭圆的左焦点， (1)求椭圆的长轴长和焦点坐标； (2)已知，，为椭圆的右焦点，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 16（15分）．在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为． （1）若，求直线BC的方程； （2）若，求直线BC的横截距． 17（15分）．已知，圆． (1)若，判断圆与圆的位置关系； (2)若，判断直线与圆C的位置关系； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 18（17分）．已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的左顶点的距离为1． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 19（17分）．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件. (1)求点的轨迹的方程； (2)在点的轨迹上存在两点、，使得以为直径的圆恰与交于点，过点作直线的垂线，垂足为. （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在点左侧时，若是上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切.若存在，求；若不存在，说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2026~2027学年第一学期高二年级期中考试数学评分细则 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：薛奇远 审核人：高二数学组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】必要性：点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则为定值，且，故必要性成立. 充分性：当为定值，且时，点的轨迹是线段； 当为定值，且时，无轨迹； 当为定值，且时，点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 所以“为定值”推不出“点的轨迹一定是椭圆”，故充分性不成立. 综上，“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的必要不充分条件. 2．两平行线与间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B【分析】根据两条平行线间距离公式，即可求解. 【详解】两平行线与间的距离为，故B正确． 3．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得，即，可化为； 解得，即.故选：A 4．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，则关于对称点为，又因为在上，所以，即。 5．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为4. 6．已知直线（不同时为0）与圆相切，若点在圆O外，则c的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】直线（不同时为0）与圆相切， 所以，即，所以，又因为点在圆O外，所以， 所以，解得或，所以c的取值范围为.故选：C. 7．曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】当时，曲线为，即， 表示圆心为半径，位于第一和第四象限内以及轴上的圆弧， 由于圆心为半径，所以圆与轴的交点为， 所以圆与轴相交的弦所对的圆心角为，故圆弧所对的圆心角为，故弧长为， 由于曲线关于轴对称，因此所得曲线的长度也是，因此曲线的长度为. 8．已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设，则. 在中，， 化简，得，故，或（舍去）.， ， 在中，，整理得. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确.故选：ACD． 10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】ABD 【详解】因为，所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示， 所以的最大值为，故A项正确； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示， 设，即，由题意直线与圆C有公共点， 故圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为，故B项正确； 对于选项C：设，则直线方程为， 当直线与圆C有公共点时，圆心到直线的距离 ，即， 即，解得，所以的最小值为，故C错误； 对于D项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故D项正确； 11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 【答案】ACD 【详解】由 ，知. 所以 的周长为， 故A正确； 设内切圆半径为，，的周长为， 面积为，所以，得. 所以 内切圆半径的最大值小于 2，故B错误； 由椭圆的定义，得，所以， 当为延长线与椭圆的交点时取等号，故最大值为，故C正确； 设，由 ，得，所以. 当直线的斜率不存在时，其方程为，代入，得，. 所以，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得.所以. 因为，所以， 即，，所以或. 当时，，无解；当时，，，， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3 小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12.已知椭圆：的右焦点，则________； 【答案】 【分析】根据椭圆中的的关系求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 又， 解得 13．已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 【答案】【详解】由得，圆心，半径.如图， 因为，所以圆心到直线即的距离为.所以，所以. 14．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为__________；当最小时，则直线的方程为__________. 【答案】 【详解】因为圆可化为，可知圆心为，半径， 又因为是圆的两条切线，则， 可知四点共圆，且，， 因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 可设直线的方程为， 代入点可得，即，所以直线的方程为， 联立方程，解得，即， 则的最小值为，所以的最小值为； 又因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 此时，，且线段的中点为， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为，即， 因为圆，两圆相交，所以两圆方程相减即为直线的方程. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在平面直角坐标系中，已知椭圆，P为椭圆E上一点，为椭圆的左焦点， (1)求椭圆的长轴长和焦点坐标； (2)已知，，为椭圆的右焦点，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 【答案】(1)长轴长，焦点 (2) 【分析】（1）根据离心率及焦点求出即可得解； （2）求出直线的方程，联立椭圆方程求出点，即可求三角形面积. 【详解】（1）因为， 所以,，则长轴长，焦点 一个给2分，共6分 （2） 椭圆的标准方程为 由，可得， 所以直线：，……9    由 ，解得（舍），或， 所以.……11 因为，， 所以三角形的面积为.……13 16．在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为． （1）若，求直线BC的方程； （2）若，求直线BC的横截距． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题边AB，AC所在直线的方程分别为． 的交点就是……3， 若，……5，所以直线BC的方程：即；……7 （2）设， 所以解得，所以……11写对一个给2分 所以直线的方程为，即，……13 令得，直线BC的横截距.……15 17．已知，圆． (1)若，判断圆与圆的位置关系； (2)若，判断直线与圆C的位置关系； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)圆C与圆相外切 (2)直线与圆C相离 (3)或 【分析】（1）求得两圆圆心的距离，结合圆心距与半径的关系可得结论； （2）求得圆心到直线距离，可判断直线与圆的位置关系； （3）求得圆心的坐标并消去参数，从而求得圆心的轨迹方程，求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）若，则圆，所以圆心，半径. 由圆，可得圆心，半径.……2 所以， 所以圆与圆相外切；……4 （2）若，则圆，可得圆心，半径.……6 所以点到直线的距离， 所以直线与圆相离；……8 （3）由圆，所以圆心，半径为， 即，消去，得，所以圆心的轨迹方程为.……10 设直线l交圆于两点，设到直线l的距离为， 则，假设存在符合题意的定直线， 则，所以，所以，解得，……12 即圆心与直线l的距离恒为，而圆心的轨迹方程为， 所以可设直线l的方程为……13，且， 所以，解得或， 所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或.……15 18．已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的左顶点的距离为1． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即，即， 又因为左焦点到左顶点的距离为，代入得，， 所以，则椭圆的标准方程为.……3 （2）（ⅰ）由（1）知，，设点， 则，因为，则， 因为，所以，即……4，代入椭圆方程，即，解得. 设过点的直线为：，联立方程组，……6 得，所以， 又，则，所以，……7 利用A，的坐标直接求出斜率，再联立也可以 所以.……9 结果不对，写出公式给1分 （ⅱ）由（ⅰ）知，线段的中点满足，……10 所以直线为，交于点.……11 因为直线过和，且，所以方程为， 因为，所以，即，……12 由（ⅰ）知，同理可得，……14 所以四边形面积为， 令，，……15 令，则分母为开口向下的二次函数，对称轴为， 所以最大值为， 而时，，当时，，即，所以.……17 19．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件. (1)求点的轨迹的方程； (2)在点的轨迹上存在两点、，使得以为直径的圆恰与交于点，过点作直线的垂线，垂足为. （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在点左侧时，若是上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切.若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，或3 【分析】(1)通过向量关系建立动点D与已知圆上点A的坐标联系，代入圆方程求D的轨迹方程 (2)(i)利用圆的性质(直径所对的圆周角为直角)和垂直直线斜率关系，结合椭圆点差法，推导H的轨迹方程 (ii)利用直线关于直线对称的斜率关系，分析圆与两条直线恒相切的条件，求解 【详解】【小题1】设，，则， 由，所以有，则有，又，所以有，所以点的轨迹的方程：；……3 【小题2】（ⅰ）当直线的斜率存在时， 设直线：，，， 联立，消去得，则，，……4 由题意，，即， ， 代入化简得，所以有 ……6， 若，则直线：，所以直线过定点；……7 若，则直线：，此时直线过点(不合题意，舍去).……8 当直线的斜率不存在时，，， 由有，得，（舍）……9，综上，直线过定点， 由题意，，所以在以为直径的圆上，故的轨迹为；……10 （ⅱ）设直线的斜率为，当(即与轴平行)时，与重合，此时、垂直轴，若圆K与和相切，则，此时 ，即或，满足题意.……11 当时，直线斜率为，直线斜率为， 由题意知，，所以，……13 设直线的斜率为，要使，与该圆相切， 则满足直线与的夹角等于直线与的夹角， 所以，因为为，夹角的角平分线，所以不可能垂直或，所以 和均不为，即等式分母均不为0. 化简为 ， 因为 ，所以同号，即不为0，即或，……15 当时，，有；当时，同理有. 综上所述，或3……17 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $