精品解析：山西省太原市2026-2027学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷

2026~2027学年第一学期高二年级阶段学业诊断 数学试卷 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】直线可化为，即直线的斜率. 设直线的倾斜角为，， 则，即，所以. 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【详解】由化为椭圆的标准方程； 由方程可知，，，可得， 焦点在轴上，故焦点坐标为和． 3. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于坐标平面对称的点的坐标为. 4. 直线与直线之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】易知直线与直线平行， 所以两直线之间的距离. 5. 圆关于直线轴对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心关于轴的对称点为，则对称圆的方程为. 6. 已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 若过点的直线与线段恒相交，由图可得. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的焦距为 C. 椭圆上存在点，使得取得最大值 D. 椭圆上存在点，使得 【答案】C 【解析】 【详解】椭圆，，，所以， 所以，，， 所以椭圆的长轴长为，焦距为，故AB错误； 根据椭圆的定义，若点在椭圆上，则， 根据基本不等式， 当且仅当时等号成立，即，符合题意， 所以椭圆上存在点，使得取得最大值，故C正确； 对于D，假设椭圆上存在点，使得， 根据勾股定理得：， 因为，两边平方得：， 即， 即，这与C选项最大值为相矛盾， 因此不存在这样的点，故D错误. 8. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形（含边界）内的动点，则数量积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的转化，利用基底表示，根据数量积的计算法则展开计算，由得到的式子进行计算范围． 【详解】因为为正方体，则以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由棱长为可得，，，， 则，， 则， 当，时，取最小值， 当，或时，取最大值， 则的取值范围是． 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 不存在，使得直线与圆相切 C. 若直线与圆交于，两点，则的最大值为 D. 圆上到直线的距离为的点最多有个 【答案】AC 【解析】 【分析】将直线方程分离参数求出定点，通过比较定点到圆心的距离与半径判断相切情况（解决A、B项），直线过圆心时弦长最大，代入圆心坐标求出对应参数即可验证C项，D项中，当直线过圆心时，圆上有4个点到直线距离为1，即可判定其错误. 【详解】对于A选项，将直线的方程整理为， 由解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B选项，圆的圆心为 ，半径， 定点到圆心的距离为，即定点在圆外， 因为过圆外一点可以作圆的两条切线，所以必存在使得直线与圆相切，故B错误； 对于C选项，当直线过圆心时，弦长取得最大值（即直径）， 将圆心坐标代入直线的方程得：，解得， 故存在使得直线过圆心，此时最大值为，故C正确； 对于D选项，当直线过圆心时（此时），圆心到直线的距离， 此时，平行于直线且与距离为的两条直线，到圆心的距离均为，它们与圆分别交于两点，共交于点， 所以圆上到直线的距离为的点最多有个，故D错误. 10. 已知圆：，点在直线：上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与圆相离，且切线长的最小值为 B. 当取得最小值时，切点弦的方程为 C. 切点弦的长度的最大值为 D. 过，，三点的圆的面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离，比较距离和半径的大小关系，即可判断直线和圆的位置关系，设出点的坐标，利用勾股定理，表示切线长，利用二次函数即可求最小值；对于B，根据取得最小值时，，列出方程组，求出点的坐标，利用切点弦方程公式即可求解；对于C，设，利用三角形相似，对应边成比例，即可用表示出，即可判断的长度的范围；对于D，根据相切，，得到过，，三点的圆的直径为，即可求面积的最小值. 【详解】对于A，圆：，圆心，半径， 圆心到直线：的距离为， 所以，所以直线与圆相离， 因为点在直线：上运动，所以设点， ， ， 对于二次函数，开口向上，对称轴为直线， 所以当时，取最小值， 所以切线长的最小值为，故A正确； 对于B，当取得最小值时， ，所以直线的斜率为1， 所以直线的方程为， 联立直线和直线的方程得： ，解得，所以点， 所以切点弦的方程为， 即，故B正确； 对于C，设， 取中点为，易知， 所以， 即， 所以， 由选项可知，所以， 当趋向于无穷大时，趋向于4， 因此是长度的最小值，故C错误； 对于D，由相切可知， 所以过，，三点的圆以为直径， 当长度最小时，该圆的面积最小， 所以当，半径为， 圆的面积最小为，故D正确. 11. 对于空间向量，（），定义一种新的运算：．则下列结论正确的是（ ） A. 对任意，，都有 B. 对任意，（，），都有 C. 对任意，，，都有 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题核心是紧扣新定义进行代数运算，判断垂直和分配律，只需代入定义式并利用向量数量积的运算律展开验证；判断对称性和特例，直接代入定义比较表达式或利用垂直条件化简即可. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，由定义得，， 一般情况下二者不相等，如， ，， 此时，故B错误； 对于C选项，， 而，二者相等，故C正确； 对于D选项，若 ，则 ，代入定义得 ，故D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，满足，，且，则与的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律求得，再由夹角公式求与的夹角. 【详解】由题设，可得， 设与的夹角为，则，而，所以. 13. 已知圆的方程为，点为圆内的一点，过点的直线与圆相交于，两点，当最小时，直线的方程为___________． 【答案】（方程的其他形式同样得分） 【解析】 【分析】点在圆的内部，故当直线与直线垂直时，弦长最小，由此可求出直线的方程. 【详解】，点在圆的内部； 故当直线与直线垂直时，弦长最小， 又，， 直线的斜率，直线的方程为，整理得 故答案为 【点睛】本题考查直线方程的求法，考查两直线垂直的关系，过圆内一点最短弦长所在的直线与圆心和定点所在直线垂直是解题关键. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】由椭圆定义可知，结合已知条件，解得，. 在中，由余弦定理得 . 从而. 所以. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为，， （1）求边的垂直平分线的一般式方程； （2）求的外接圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式、斜率公式、两直线垂直的斜率关系，求出斜率，结合点斜式方程求解即可； （2）由，可得，可求出圆心，利用距离公式求出半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【小问1详解】 由，得的中点为，且． 因为垂直平分线与垂直，所以垂直平分线的斜率． 又它经过点， 由点斜式得边的垂直平分线所在直线的方程为，化为一般式得． 【小问2详解】 由（1）知． ，，所以， 所以为直角三角形，所以外心位于中点， 所以外接圆的圆心为． 又，所以外接圆的方程为． 16. 如图，在斜三棱柱中，底面满足，，侧棱，且，．记，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）用，，表示，并求； （2）用向量法证明：平面． 【答案】（1）， （2），，． ．故． ，故． 又，，平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）用，，表示，再由向量减法得，再根据向量的模长、数量积运算求解即可； （2）由，，可得，，再根据线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 ，． 故． 故． 【小问2详解】 略 17. 如图，在四边形中，，，．将沿对角线翻折至的位置，使平面平面， （1）设为棱上一点，且，为的重心，证明：平面； （2）设点为线段上的动点（包括端点），是否存在这样的点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，． 因为为的重心，所以在上，且． 又因为在棱上，且，所以． 所以． 又平面，平面，所以平面． （2）存在点，且的长为． 【解析】 【分析】（1）结合三角形的重心位置及线面平行的判定定理证明即可. （2）取上靠近点的三等分点，连接，，根据余弦定理及勾股定理得到，；根据面面垂直的性质及线面垂直的性质得到，得到，，两两垂直．以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求出，进而判断求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取上靠近点的三等分点，连接，，则，. 在中，，，， 所以. 在中，，，， 所以， 即. 又，所以为直角三角形，且. 同理可得，为直角三角形，且. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又由平面，可知． 故，，两两垂直. 以为原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，． ，． 设平面的法向量为， 则，即，取，则，所以， 且． 设在棱上，且，． 因为， 所以，则． 设直线与平面所成角为， 则． 若，则． 所以，化简得，解得或． 因为，所以． 此时，． 所以存在点，使得直线与平面所成角为，此时的长为． 18. 已知椭圆：的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点． ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①或．② 【解析】 【分析】（1）由离心率和经过点两个条件列出式子求解的值，从而求解椭圆的标准方程； （2）①直线过右焦点，设联立椭圆方程，得到关于的一元二次方程，用韦达定理和弦长公式写出，从而求解得的值；②，用韦达定理表示，换元，用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由离心率为，得．又椭圆经过点，所以，．又由，得，．所以，椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ①由（1）知．当直线与轴重合时，，为长轴的两个端点 ，不合题意． 当直线与轴不重合时，设：，，．联立 并消去，得，其判别式，且，． 所以， 即．于是，． 由得，解得，所以，直线的方程为或． ②因为，，所以， 故． 令，则，所以， 当且仅当，即，直线：垂直于轴时取等号． 所以，面积的最大值为． 19. 我国古代数学名著《九章算术》中蕴含着丰富的与圆的相关知识．如书中的“圆田术”给出了圆的面积的计算方法．圆作为一类重要的平面几何图形，其相关性质是解析几何的重要研究内容．已知圆，圆． （1）若圆与圆相交，且两圆公共弦所在的直线方程为，试求实数与所满足的关系式； （2）根据（1）所得的与的关系式，若取，并设圆与轴交于、两点，其中在的左侧．过点的一条直线与圆交于、两点，试判断直线与直线的交点是否落在一条定直线上，并证明你的结论． 【答案】（1）（且）． （2）落在一条定直线上，证明如下： 由（1），取，则， 即圆，圆心，半径为． 因为，且，所以圆与圆相交，符合题意． 圆与轴的交点为、． 由圆的方程，知在圆外． 设过的直线的方程为（为斜率，）， 代入，得． 设、，则，， 且， 直线过与，直线过与． 设它们的交点为，则在上，满足， 在上满足． 两式联立消去，得． 将代入上式，消去并整理， 得 将，代入，化简可得 从而，与的取值无关． 因此直线与直线的交点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）两个圆的一般方程相减得到公共弦，将代入得到、关系，以确保两圆相交； （2）首先确定圆和点、，设过的直线的方程为与圆方程联立，由韦达定理得出、，设直线，直线交点为，两式联立消去，将和韦达定理代入化简得到定直线. 【小问1详解】 圆的方程可化为， 圆的方程可化为． 两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为． 由题意，该直线为，故，即，且， 即，整理得． 故与满足（且）． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期高二年级阶段学业诊断 数学试卷 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与直线之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 圆关于直线轴对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的焦距为 C. 椭圆上存在点，使得取得最大值 D. 椭圆上存在点，使得 8. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形（含边界）内的动点，则数量积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 不存在，使得直线与圆相切 C. 若直线与圆交于，两点，则的最大值为 D. 圆上到直线的距离为的点最多有个 10. 已知圆：，点在直线：上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与圆相离，且切线长的最小值为 B. 当取得最小值时，切点弦的方程为 C. 切点弦的长度的最大值为 D. 过，，三点的圆的面积的最小值为 11. 对于空间向量，（），定义一种新的运算：．则下列结论正确的是（ ） A. 对任意，，都有 B. 对任意，（，），都有 C. 对任意，，，都有 D. 若，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，满足，，且，则与的夹角为______． 13. 已知圆的方程为，点为圆内的一点，过点的直线与圆相交于，两点，当最小时，直线的方程为___________． 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为，， （1）求边的垂直平分线的一般式方程； （2）求的外接圆的方程． 16. 如图，在斜三棱柱中，底面满足，，侧棱，且，．记，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）用，，表示，并求； （2）用向量法证明：平面． 17. 如图，在四边形中，，，．将沿对角线翻折至的位置，使平面平面， （1）设为棱上一点，且，为的重心，证明：平面； （2）设点为线段上的动点（包括端点），是否存在这样的点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆：的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点． ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值． 19. 我国古代数学名著《九章算术》中蕴含着丰富的与圆的相关知识．如书中的“圆田术”给出了圆的面积的计算方法．圆作为一类重要的平面几何图形，其相关性质是解析几何的重要研究内容．已知圆，圆． （1）若圆与圆相交，且两圆公共弦所在的直线方程为，试求实数与所满足的关系式； （2）根据（1）所得的与的关系式，若取，并设圆与轴交于、两点，其中在的左侧．过点的一条直线与圆交于、两点，试判断直线与直线的交点是否落在一条定直线上，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $