精品解析：湖北省沙市中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026—2027学年度上学期2025级 期中考试数学试卷 考试时间：2026年11月10日 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，求得其斜率，进而得到其倾斜角. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式，及乘法公式即可求解． 【详解】由第二次才能打开门，说明第一次没有打开门，故第一次没有打开门的概率为， 把没有打开门的钥匙扔掉，故剩下把钥匙，所以此时能打开门的概率是， 故第二次才能打开门的概率为． 3. 已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ） A. 或1 B. 3或 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用向量模长公式求出的值，再根据两向量垂直的条件(点积为零)求出的值，最后计算的可能结果. 【详解】. 又． 当时，；当时，或1. 故选：A. 4. “”是“与直线平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行得到方程，经检验后得到，从而得到答案. 【详解】由题意得，解得， 当时，两直线为与，此时两直线重合，舍去； 当时，两直线为和，此时两直线不重合，满足要求， 故“”是“与直线平行”的充要条件. 故选：C 5. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可. 【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误； 对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得， 又，则，因为，所以，故D正确. 故选：D. 6. 已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ） A. 或2 B. 或4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：的圆心，半径， 因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为， 即，整理得，解得或， 故选：A. 7. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（　　） A. 的面积 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成的角 D. 二面角的大小 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的面积判断A，根据三棱锥的体积公式判断B，根据线面角的定义判断C，根据二面角的概念判断D. 【详解】A中，的长为定值，且点到的距离即为两平行直线与之间的距离也为定值，的面积为定值； B中，的面积是定值．(定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据平面也就是平面，既然和平面都是固定的，到平面的距离是定值，三棱锥的高也是定值，于是体积固定． 三棱锥即三棱锥的体积是定值； C中， 到平面距离是定值（事实上即到平面距离），而长度在变化中，所以直线与平面所成的角不是定值； D中，二面角的平面角即是二面角的平面角，而二面角的两个半平面均是固定平面，显然为定值. 故选：C 8. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆的几何性质（加减半径）将圆上的双动点问题转化为直线上动点到两定点的距离问题，再利用对称变换结合三角形两边之差小于第三边，巧妙求得距离差的最大值. 【详解】动点在直线上运动， 圆，其圆心为，半径， 圆，其圆心为，半径， 由（当且仅当三点共线且在之间时取等号）， （当且仅当三点共线且在之间时取等号）， 得到：， 问题转化为：在直线上找一点，使得取得最大值， 设点关于直线的对称点为， 则有：， 解得：，所以对称点， （当且仅当三点共线时取等）， 所以， 因此，的最大值为8. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若事件与事件互为对立事件，则事件与事件为互斥事件 B. 若事件与事件为互斥事件，则事件与事件互为对立事件 C. 若事件与事件互为对立事件，则事件为必然事件 D. 若事件为必然事件，则事件与事件为互斥事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥与对立事件的定义逐个辨析即可. 【详解】对于A,对立事件首先是互斥事件,故A为真命题. 对于B,互斥事件不一定是对立事件,如将一枚硬币抛掷两次,共出现（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）四种结果,事件“两次出现正面”与事件“只有一次出现反面”是互斥事件,但不是对立事件,故B为假命题. 对于C,事件为对立事件,则在一次试验中一定有一个发生,故C为真命题. 对于D,事件表示事件至少有一个要发生,不一定互斥,故D为假命题. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件的辨析,属于基础题. 10. 圆和圆的交点为，，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 C. 公共弦的长为 D. 圆上存在三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得公共弦所在直线方程判断选项A；求得到直线距离的最大值判断选项B；求得公共弦的长判断选项C；求得圆心到直线的距离进而可判断选项D. 【详解】圆的圆心，半径 选项A：由和两式怍差得 则公共弦所在直线方程为.判断正确； 选项B：圆心到直线的距离为 则圆上动点到直线距离的最大值为.判断正确； 选项C：公共弦的长.判断错误； 选项D：圆心到直线的距离为 又圆的半径， 则圆上存在三个点到直线的距离为.判断正确. 故选：ABD 11. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ） A. 存在点P满足 B. 存在点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 满足的点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项可以假定，转化成点P轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上， 同理转化成点P轨迹是以C1为圆心，长度为的圆上,两个圆位置关系即可判定A选项； 建立空间直角坐标系，点P在中心，利用向量法可判定B； 对于CD选项，利用三垂线定理分别找出垂直的两个平面，与的交线即为点P的轨迹， 可以判断CD； 【详解】对于A选项，假设，点到距离可以转化成， 正好点，且始终垂直平面，所以只需要让即可，点轨迹是以B为圆心， 长度为1的圆上，同理，，只需要让即可，点P轨迹是以C1为圆心，长度 为的圆上，如图1. 又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足， 选项A正确； 对于B选项，建立空间直角坐标系，如图2，，，若点在正方形中 心处，即，则，，可得， ，存在点，故选项B正确； 对于C选项，取的中点，的中点，连接，，.因为在平面的射影 为，又，所以，同理在平面的射影为，又， 所以，因为，所以平面， 又因为点P在侧面上，平面平面，所以点的轨迹为 ，所以选项C错误； 对于D选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则， 因为，所以，同理，， 平面，平面平面，所以点的轨迹为， 所以选项D正确. 故选：ABD 【点睛】本题采用了假设法，数形结合，根据正方体的几何特质将线线垂直轨迹的求法转化为线面垂直， 进而转化成面面交线，这是判断本题的关键，考察直观想象和逻辑推理能力. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，，共面，则实数______. 【答案】8 【解析】 【详解】由题意得， 即， 从而，即. 13. 已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则线段的长度为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】先由两直线垂直求得，发现交点、中点与端点构成以为斜边的直角三角形，利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的几何性质可得答案. 【详解】因为， 所以， 解得：， 此时，直线的方程为， 代入，得：线段的中点， 设直线与的交点为， 因为点在上，点在上，且， 所以是一个以为斜边的直角三角形， 所以， 联立两条直线的方程：， 解得：，所以交点的坐标为， ， 故. 14. 已知圆，圆，动点在直线上，过P点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有1个，则实数的值是______. 【答案】或 【解析】 【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用，，可求点轨迹方程，又在直线上，结合圆心到直线的距离等于半径可求的值. 【详解】由题意圆：，则圆心，， 圆：，则圆心，，设， 若，，， 则， ，， 即，圆心坐标为，半径为， 动点在直线上，有且只有个点满足， 直线与圆相切， 圆心到直线的距离，或， 即实数的值为或. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，平行六面体中，. （1）用向量表示向量，并求和； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【小问1详解】 如图，， 因为， ， ， 【小问2详解】 . ， 异面直线与所成角的余弦值为. 16. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件、相互独立事件的概率计算； （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”，分别表示，，求出； （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”，由或，计算得解. 【小问1详解】 设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则， 又互斥， 所以当时，， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. 【小问2详解】 （i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，① ，② 由①②，得，解得. （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则， 则． 或. 17. 已知直线过定点，直线的方程是. （1）若直线在轴上的截距为轴上的截距的3倍，求直线的方程； （2）若直线与、轴正半轴分别交于两点，过分别作直线的垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值. 【答案】（1）或； （2）4 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论截距的情况求解直线方程. （2）解法1：通过求出坐标，利用点到直线距离以及直线间距离公式求解各线段长度，进而通过梯形面积公式求解. 解法2：将梯形分解为，以及三个三角形求解面积. 【小问1详解】 当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得， 当直线的横、纵截距均不为0时，可设的方程为，代入点，解得，则直线方程为， 所以直线的方程为或； 【小问2详解】 由题意直线的斜率存在，可设的方程为， 令，则，所以，令，则，所以， 解法1：为点到直线的距离，，则， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 为两平行线的距离，， 又， ， 因为，， 当且仅当，即时取等号，由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为4． 解法2：因为的倾斜角为，所以，所以均为等腰直角三角形， 因此，， 所以 ，以下同解法1，四边形面积的最小值为4． 18. 如图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求锐二面角的正切值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为，， 所以，即，，，，平面， 平面，平面，所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可得到结果； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系，求二面角余弦，进而求出正弦值，计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，， 平面，平面， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， ，，，， 设平面法向量为 ，令，得，，所以， 设二面角为， ， ， ； 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为，轴，过C做的垂线为轴， 设，，，，，显然， ，， ，得出，则，则， 根据翻折后勾股定理得， 化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：本题第三问先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用对勾函数的单调性得出范围即可. 19. 已知圆的圆心在直线上，点在轴右侧且到轴的距离为1，圆被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，且点满足（O为坐标原点），记点的轨迹为． ①求曲线的方程； ②过点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法即可求出点的轨迹方程； ②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可． 【小问1详解】 由题意可设圆的圆心的坐标为， 由圆的圆心在直线上， 则，解得，即圆心为， 所以圆心到直线的距离为， 设圆的半径为， 则弦长，解得， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 ①设，， 由点在圆上，则（*）， 又，所以，即， 代入（*）式得，整理为， 所以曲线的方程为．  ②当直线轴时，两点关于轴对称，则轴正半轴上任意点，使得轴平分； 当直线不与轴垂直时，设，直线为， 联立，整理得， ， 设，，则，， 由轴平分，则， 代入，，化简得， 即，代入韦达定理得， 整理为，解得， 综上，轴上存在点，使得轴平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期2025级 期中考试数学试卷 考试时间：2026年11月10日 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 2. 某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ） A. 或1 B. 3或 C. D. 1 4. “”是“与直线平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 5. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ） A. 或2 B. 或4 C. D. 7. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（　　） A. 的面积 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成的角 D. 二面角的大小 8. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若事件与事件互为对立事件，则事件与事件为互斥事件 B. 若事件与事件为互斥事件，则事件与事件互为对立事件 C. 若事件与事件互为对立事件，则事件为必然事件 D. 若事件为必然事件，则事件与事件为互斥事件 10. 圆和圆的交点为，，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 C. 公共弦的长为 D. 圆上存在三个点到直线的距离为 11. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ） A. 存在点P满足 B. 存在点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 满足的点P的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，，共面，则实数______. 13. 已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则线段的长度为___________. 14. 已知圆，圆，动点在直线上，过P点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有1个，则实数的值是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，平行六面体中，. （1）用向量表示向量，并求和； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 17. 已知直线过定点，直线的方程是. （1）若直线在轴上的截距为轴上的截距的3倍，求直线的方程； （2）若直线与、轴正半轴分别交于两点，过分别作直线的垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值. 18. 如图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求锐二面角的正切值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知圆的圆心在直线上，点在轴右侧且到轴的距离为1，圆被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，且点满足（O为坐标原点），记点的轨迹为． ①求曲线的方程； ②过点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $