精品解析：湖北省襄阳市鄂北六校2026-2027学年高二上学期11月学科素养检测数学试题

2026-2027学年上学期11月份高二数学学科素养检测题 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则. 2. 已知椭圆C：的焦距为2，则（     ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由及椭圆的标准方程可知，椭圆的短半轴长． 设椭圆的半焦距为，由焦距为2得，即， 所以，又，故． 3. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，由，则不可以构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，由不存在，使得，则可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，由，则不可以构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，由，则不可以构成空间的一个基底，故D错误． 4. 如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 6. “”是“直线与直线平行”的（     ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分性：将代入直线方程，并化为斜截式即可判断；必要性，根据两直线平行求出即可判断. 【详解】若， 两直线方程可化为和， 此时，两直线重合，故充分性不成立； 若直线与直线平行， 则，解得， 故必要性不成立， 所以“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件. 7. 椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称. 若直线，的斜率之积为，则的离心率为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用椭圆上两点关于y轴对称的几何特征，设对称点坐标，写出两条直线斜率并表示斜率之积，再结合点在椭圆上的条件进行代换化简，消去参数得到的关系式，最后借助椭圆中的关系转化求出离心率即可. 【详解】∵椭圆 ，左顶点 ， 关于 轴对称， 设 ，则 ， ， ∴， ， 代入 ：， ，则：， ∵离心率 ，， ∴，∴，即， ∵椭圆离心率 ，∴. 8. 在平面直角坐标系中，，，，，点P满足，点Q满足，记点P，Q的轨迹分别为曲线，， 则曲线，的公共点有（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件得到的轨迹都是圆，再判断两圆位置，确定公共点个数. 【详解】设点，则有，， 由，化简得， 即， 因此曲线是圆心为，半径的圆. 设点，由， 化简得，即， 因此曲线是圆心为，半径的圆. 两圆的圆心距， ，，， 所以两圆位置关系是相交，有2个公共点. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的是（     ） A. 若A，B是对立事件，则 B. 若A，B是互斥事件，，，则 C. 若A，B是独立事件，，，则 D. 若 ，，且 ，则A，B是独立事件 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若是对立事件，则为必然事件，所以，故A正确； 对于B，由互斥，得，故B错误； 对于C，由相互独立可知也相互独立，所以，故C正确； 对于D，由对立事件的概率公式得，，又因为与互斥且它们的并为， 所以，而，因此，即相互独立，故D正确． 10. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与、垂直 B. 向量与、共面 C. 若与分别是异面直线与的方向向量，则其所成的角的余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间垂直的坐标表示可判断A选项；利用共面向量的基本定理可判断B选项；利用空间向量法可判断C选项的正误；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，，故、不垂直，A错； 对于B选项，设，则， 所以，，解得，即，B对； 对于C选项，因为， 所以，直线异面直线与的余弦值为，C对； 对于D选项，向量在向量上的投影向量，D错. 故选：BC. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的动点，点关于原点对称的点为，则下列说法正确的有（     ） A. 若， 则 B. 的最大值为 C. 若垂直于x轴，则的周长为 D. 周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆定义即可判断；对于B，，根据的范围即可判断；对于C，根据椭圆定义即可判断；对于D，根据对称性，的周长，由B选项即可判断. 【详解】对于A，由椭圆的定义可知， 故，故A正确； 对于B，设点， 则， 所以当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为，故B错误； 对于C，，， 所以的周长为，故C正确； 对于D，由对称性可知， 所以的周长， 由B可知，，所以的周长最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，随机独立等可能选取，记， 则 的概率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据列举出有序对所有可能情况，通过解方程得到关系进一步得到满足条件的，利用古典概型求概率即可. 【详解】已知，则有序对所有可能情况为共4种 若，则；因为，令，解得，所以. 若，则或，此时满足条件的有共3种， 所以 的概率为. 13. 经过点，的椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的一般式方程，代入已知两点坐标求解参数，即可得椭圆的标准方程. 【详解】设椭圆的方程为（其中，，且）， 由椭圆经过点，，得 ，解得. 所以椭圆的标准方程为. 14. 已知，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，由的距离条件推导得到点的轨迹为圆，将直线上存在满足条件的点转化为直线与该圆有公共点，利用点到直线的距离公式求解参数的取值范围. 【详解】设，已知，， 由，得，整理得， 即点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 根据题意，直线上存在点满足上述条件，等价于该直线与圆有公共点. 圆心到直线的距离为. 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的距离. 【答案】（1）建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， ，， ，， 又平面，，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，从而得到平面， （2）先证明平面平面，再求点到平面的距离，即可得到平面与平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体，，平面， 平面，同理可得，平面， 又平面，且，平面平面， 由（1）可得平面的法向量为，， 到平面的距离， 即平面与平面的距离为 16. 已知圆C： . （1）若直线被圆C截得的弦长为，求的值； （2）求过点的圆C的切线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）结合垂径定理与点到直线的距离公式建立关于的方程求解； （2）先判断点与圆的位置关系，分切线斜率存在和不存在两类情况，利用圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【小问1详解】 由圆的方程可知圆心为，半径， 直线化为一般式得，圆心到直线的距离为，弦长为， 根据垂径定理得，即，解得， 则圆心到直线的距离， 解得或. 【小问2详解】 易知，故点在圆外， 过的圆的切线共有两条，分两类讨论： ① 当切线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 满足切线的条件，故是圆的一条切线； ② 当切线斜率存在时，设切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得， 此时切线方程整理得. 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 襄阳华侨城奇幻谷度假区推出了“穿越大唐”答题赢体验卡活动，共设置3道必答题目，每位游客可自主安排答题顺序. 规则如下：连续答对2道题可获得7天体验卡；连续答对3道题可获得30天体验卡；其余情况均不获得体验卡. 已知游客甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，记游客甲获得7天体验卡为事件，游客甲获得30天体验卡为事件，求，； （2）若，且第一次答题2，则要使游客甲获得体验卡的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的答题顺序时，游客甲获得体验卡的概率最大，求的取值范围. 【答案】（1） （2）应按照的顺序进行答题 （3） 【解析】 【分析】（1）先分析事件，包含的情况，再分别计算其概率， （2）先分别计算按照和两种答题顺序获得体验卡的概率，然后根据对应概率的大小决定答题顺序， （3）按照题的顺序将种情况分为三组，然后计算每组情况获得体验卡的概率，然后列出关于的不等式组，求解出的范围. 【小问1详解】 记第题答对（），，又各题答对与否相互独立， ， . 【小问2详解】 由题意，答题顺序有2种，和，第题答对（）， 先看答题顺序，记事件游客甲按照答题顺序获得体验卡， 则事件包含了获得7天体验卡和30天体验卡两种情况， ， ， 再看答题顺序，记事件游客甲按照答题顺序获得体验卡， ， ，故按照的答题顺序获得体验卡的概率更大. 【小问3详解】 将种全排列按题的位置分为三类： ①题在中间：两种顺序获得体验卡的概率均为， ②题在首位：两种顺序获得体验卡的概率分别为， ③题在末位：两种顺序获得体验卡的概率分别为， 要使仅当题在中间时获得体验卡的概率最大，即题在中间的概率严格大于其余所有顺序的概率，列不等式组： ，解得， 故的取值范围是 18. 如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，与交于点，点是底面内一动点，. （1）求动点的轨迹的长度； （2）当，两点间距离最大时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角余弦值的范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意确定点的轨迹，计算求解即可； （2）确定点的位置，根据线面角定义计算求解即可； （3）建立空间直角坐标系，设，根据面面角空间向量法计算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹的长度为； 【小问2详解】 当，两点间距离最大时，点在上， 在正四棱锥中，平面， 平面，所以， 因为，， 且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， 可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 取平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 则， 因为满足，所以的几何意义为平面直角坐标系中， 过点与点的直线的斜率的绝对值， 设直线，则，解得，即， 所以，当时，， 当时，点在上，平面平面， 此时，所以， 即平面与平面夹角余弦值的范围为. 19. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点 ，，记，. （1）若，求点A的坐标； （2）若点 ，点 ，且 ，求 的取值范围； （3）已知点 ， 是直线 上的动点，是否存在直线 使得？若存在，求出满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）点A的坐标为或或或 （2） （3）存在. 或. 【解析】 【分析】（1）根据的定义建立方程求解即可； （2）将代数问题转化为求到以为中心的正方形的距离的取值范围的问题，然后根据平面几何知识求得范围. （3）分别求得关于的表达式，然后建立方程求解的值即可. 【小问1详解】 设，则， 即求解，解得或或或， 所以点A的坐标为或或或. 【小问2详解】 ，求的取值范围. 表示以为中心对角线长度为2的正方形，其图形如下所示. 即求到以为中心的正方形的距离的取值范围. 显然，当以为圆心的圆与正方形内切时有最小值为， 当以为圆心的圆与正方形外接时有最大值为. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 显然原点到直线的距离即为，所以. 是以原点为圆心画一个不断扩大的“菱形”，当它刚刚触碰到直线时的半径大小. 当时，直线为,此时. 当时，. 于是有 情况一：若，则， 此时，解得或，舍去. 情况二：，则， 此时，此时，因为， 所以此方程无解. 情况三：当时，此时，，满足题意. 所以存在直线 ：或，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期11月份高二数学学科素养检测题 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆C：的焦距为2，则（     ） A. 3 B. C. 4 D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与直线平行”的（     ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 7. 椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称. 若直线，的斜率之积为，则的离心率为（     ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，，，，点P满足，点Q满足，记点P，Q的轨迹分别为曲线，， 则曲线，的公共点有（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的是（     ） A. 若A，B是对立事件，则 B. 若A，B是互斥事件，，，则 C. 若A，B是独立事件，，，则 D. 若 ，，且 ，则A，B是独立事件 10. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与、垂直 B. 向量与、共面 C. 若与分别是异面直线与的方向向量，则其所成的角的余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的动点，点关于原点对称的点为，则下列说法正确的有（     ） A. 若， 则 B. 的最大值为 C. 若垂直于x轴，则的周长为 D. 周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，随机独立等可能选取，记， 则 的概率是______. 13. 经过点，的椭圆的标准方程为__________. 14. 已知，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的距离. 16. 已知圆C： . （1）若直线被圆C截得的弦长为，求的值； （2）求过点的圆C的切线方程. 17. 襄阳华侨城奇幻谷度假区推出了“穿越大唐”答题赢体验卡活动，共设置3道必答题目，每位游客可自主安排答题顺序. 规则如下：连续答对2道题可获得7天体验卡；连续答对3道题可获得30天体验卡；其余情况均不获得体验卡. 已知游客甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，记游客甲获得7天体验卡为事件，游客甲获得30天体验卡为事件，求，； （2）若，且第一次答题2，则要使游客甲获得体验卡的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的答题顺序时，游客甲获得体验卡的概率最大，求的取值范围. 18. 如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，与交于点，点是底面内一动点，. （1）求动点的轨迹的长度； （2）当，两点间距离最大时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角余弦值的范围. 19. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点 ，，记，. （1）若，求点A的坐标； （2）若点 ，点 ，且 ，求 的取值范围； （3）已知点 ， 是直线 上的动点，是否存在直线 使得？若存在，求出满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $