精品解析：福建省莆田市中山中学2026-2027学年八年级上学期数学期中试题

2026-2027学年八年级上学期期中考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 2026年福建省城市足球联赛（闽超）总决赛于10月17日落幕，莆田队奋勇拼搏斩获季军，赛事传递健康向上、永不言弃的体育精神．下列关于体育运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 2. 在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 2，3，5 C. 3，5，9 D. 8，4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系对各选项中的线段分别进行计算，并作出判断，即可得出结论． 【详解】解：A、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意； B、2+3＝5，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、4+4＝8，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形三边关系并能准确应用其进行判断是解答此题的关键． 3. 如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，准确判断是解题的关键． 对每一项进行分析即可得解． 【详解】选项作的是边上的高，此选项符合题意； 选项三角板未过点，故作的不是高，此选项不符合题意； 选项作的是边上的高，此选项不符合题意； 选项作的是边上的高，此选项不符合题意． 故选：． 4. 已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为(　　) A. 21 B. 16 C. 27 D. 21或27 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，由三角形的三边关系判断是否可以构成三角形即可． 详解：①11是腰长时， 三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形， 周长=11+11+5=27； ②11是底边时， 三角形的三边分别为11、5、5， ∵5+5=10<11， ∴不能组成三角形， 综上所述，三角形的周长为27. 故选C. 点睛：本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形. 5. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 D. 三个角都相等的三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故该选项正确，不符合题意； B. 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合，故该选项不正确，符合题意； C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故该选项正确，不符合题意； D. 三个角都相等的三角形是等边三角形，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． 7. 物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心、则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】“保持平衡”意味着寻找三角形的重心，三角形的重心是三角形三条中线的交点，利用网格的几何特征，找出三角形各边的中点，从而确定中线的位置，进而找到中线的交点． 【详解】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 如图，观察边的中线：观察图形可知，点A在直线上方2个单位长度处，点B在直线下方2个单位长度处，线段的中点一定在直线上，连接顶点C与的中点，该线段即为边上的中线，由图可知，直线经过点C和的中点，故直线是的一条中线； 观察边的中线：观察图形可知，点B在直线左侧4个单位长度处，点C在直线右侧4个单位长度处，线段的中点一定在直线上，连接顶点A与的中点，该线段即为边上的中线，由图可知，直线经过点A和的中点，故直线是的一条中线； ∵直线和直线都是的中线，且直线和直线相交于点E， ∴点E是的重心． 8. 如图，已知中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若在的中垂线上，N在的中垂线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据三角形的内角和得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，，推出 ，从而由平角定义得到结论． 【详解】解：， ． 在的中垂线上，在的中垂线上， ，． ，． ，， ，． ． ． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键．连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，问题可解． 【详解】解：连接，如图， 依题意， 为边的垂直平分线， 的周长， 故选：C． 10. 如图，点、在坐标轴上，的平分线过点与轴交于点．下列结论：①平分的外角；②；③．其中正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点E，作轴于点H，作交的延长线于点F，证明，则，即可证明①正确；证明，即可得到，即可证明②正确；设，证明，进一步得到，，即可得到，即可判断③正确． 【详解】解：过点作轴于点E，作轴于点H，作交的延长线于点F， ∴， ∵ ∴ ∵的平分线过点与轴交于点． ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分 ∴平分的外角； 故①正确； 由①可知， ∴ ∵轴于点H， ∴ ∴ ∵的平分线过点与轴交于点． ∴ ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， 故②正确； 设，则， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ 故③正确， 综上可知，正确的是①②③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 莆田木兰溪大桥全长约为860米，是我市重要跨溪通道．其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形结构来保障桥梁稳固．这样设计的数学依据是三角形具有_____________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】题干指出桥梁采用三角形结构保障稳固，需匹配三角形对应的几何性质． 【详解】解：当三角形的三边长度确定时，三角形的形状与大小就唯一固定，不会发生形变，这种性质叫做三角形的稳定性，桥梁采用三角形结构正是利用该性质保障结构稳固． 12. 如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数为_________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 13. 如图，上午6时，一条船从海岛A 出发，以15 海里/时的速度向正北航行，8时到达海岛B 处． 分别从A， B 望灯塔 C， 测得．则海岛 B 与灯塔C的距离是_______ 海里． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、方向角的定义和三角形外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得海里，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得海里，即可解答． 【详解】解：由题意得：海里， ∵，，是的一个外角， ∴， ∴， ∴海里， ∴从海岛到灯塔的距离为30． 故答案为：30． 14. 如图1是平潭动车站入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是_________． 【答案】60 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，即可得出答案． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点， 在和中， ，， ，， ∴可以通过闸机的物体的最大宽度是． 15. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 16. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延长线上一点，EG∥AB．连接BE交AC于点F，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由“AAS”可证，设BD=CG=x，BC=GE=AB，由“AAS”可证，可得，求比值即可． 【详解】解：∵AD＝3BD， ∴设BD＝x，则AD＝3x， ∴AB＝4x， ∵ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4x，∠A＝∠ABC＝60°， ∵， ∴∠A＝∠G＝60°， ∴∠ABC＝∠G＝60°， ∵∠ACE＝∠ADC， ∴∠BDC＝∠GCE， 在BCD和GEC中， ∴BCD≌GEC（AAS）， ∴BD＝GC＝x，BC＝GE＝AB， ∴AG＝AC＋CG＝5x， 在ABF和GEF中， ∴ABF≌GEF（AAS）， ∴AF＝FG＝x， ∴FC＝x， ∴＝； 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，证明ABF≌GEF是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. 如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，平行线的判定．先得到，用证明，推出，再利用平行线的判定定理即可得证． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）画出关于轴对称的； （2），，的坐标分别为_____________，_____________，_____________． 【答案】（1）如图，即为所求， （2），， 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，找出点，，，顺次连接即可； （2）根据图形写出坐标即可； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由图可得，，，的坐标分别为，，． 19. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 20. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 21. 如图，在中，平分．请从条件①，条件②中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点E，于点F； 条件②． 【答案】 解：当条件①为已知，证明如下： ∵平分，且于点E，于点F， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是是垂直平分线， ∴； 当条件②为已知，证明如下： 过点D分别作于点M，于点N， ∵平分，且过点D分别作于点M，于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∵，， ∴； ∴， ∴， ∴ ∵ ∴∴是是垂直平分线， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 理解题意，当条件①为已知，证明，则，又结合，即可得是是垂直平分线；当条件②为已知，证明，再证明，故，则，得，即可作答． 【详解】略 22. 如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点． （1）在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点． 【答案】（1） 解：如图，点G为所求． （2） 解：连接， 由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴是中点． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质． （1）作出的角平分线，交于点G，则根据角平分线的性质得到点G到的距离等于； （2）连接，证明，得到，证明，从而得到，因此，根据等腰三角形的“三线合一”即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 阅读与证明 “三等分任意角”是公元前5世纪古希腊学者提出并致力于研究的三大作图难题之一，其核心要求是仅用圆规和无刻度直尺，将任意给定的角精确分成三个相等的部分．两千多年间，无数数学家为攻克这一难题耗费了大量心血，却始终未能找到通用解法．直到1837年，数学家凡齐尔运用代数方法完成证明，明确了仅靠圆规和直尺无法三等分任意角，这一结论终于让人类走出了这座困扰已久的数学迷宫．不过研究过程中也发现了例外情况：部分特殊度数的角（如直角）仍可用尺规实现三等分：对于任意角、若借助专门的特殊工具，同样能够完成三等分操作．以下是两种做法，请认真阅读并完成证明： （1）阿基米德创设的方法是：在图2中，点为直尺的端点，预先在直尺上作一个记号点，以为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点和，即；移动直尺，使直尺上的点在边的反向延长线上移动．点在圆周上，当直尺恰好经过点时，过点作．请你依据图2，完成证明：； （2）用“有刻度的勾尺”（勾尺的两边互相垂直）的方法是：在图3中，勾尺的直角顶点为点，于点．．画直线，并且与之间的距离等于．移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使勾尺的边经过点，同时让点落在边上，请你依据图3，完成证明：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，作于点， ∵与之间的距离等于， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，设，则，，由平行线的性质可得，求出，，即可得证； （2）由题意可得垂直平分，则，由等腰三角形的性质可得，作于点，证明点在的平分线上，得出，从而可得，即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 24. 如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）； （2） 证明：过O分别作于M点，作于N点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （3）的值不发生改变，等于9 【解析】 【分析】（1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到，然后再，，最后，依据可证明，得出，从而得出点P的坐标； （2）过O分别作于M点，作于N点，利用证明，得出，再根据角平分线得到判定即可得出平分，从而求出；（3）连接，易证，从而有，由此可得； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵C的坐标为， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的值不发生改变，等于9，理由如下： 如图：连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 25. 已知 （1）如图1，点在的 延长线上，，点在的 延长线上，， 且． ①求证：； ②求的值； （2）如图2，在和中，， 射线交线段于点．求证：点为线段的 中点． 【答案】（1） ①证明：延长，使得，连接， 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ② （2） 证明：连接，过N作交的延长线于点C，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ∴为线段的中点． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质； （1）①延长，使得，连接，证明，得出，，根据等边对等角可得，等量代换可得； ②根据等腰三角形的性质可得0，结合全等三角形的性质可得； （2）连接，过N作交的延长线于点C，证明，推出，，再证明，即可． 【小问1详解】 ①略 ②∵，， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 2026年福建省城市足球联赛（闽超）总决赛于10月17日落幕，莆田队奋勇拼搏斩获季军，赛事传递健康向上、永不言弃的体育精神．下列关于体育运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 2，3，5 C. 3，5，9 D. 8，4，4 3. 如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为(　　) A. 21 B. 16 C. 27 D. 21或27 5. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 D. 三个角都相等的三角形是等边三角形 7. 物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心、则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若在的中垂线上，N在的中垂线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 10. 如图，点、在坐标轴上，的平分线过点与轴交于点．下列结论：①平分的外角；②；③．其中正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 莆田木兰溪大桥全长约为860米，是我市重要跨溪通道．其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形结构来保障桥梁稳固．这样设计的数学依据是三角形具有_____________． 12. 如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数为_________． 13. 如图，上午6时，一条船从海岛A 出发，以15 海里/时的速度向正北航行，8时到达海岛B 处． 分别从A， B 望灯塔 C， 测得．则海岛 B 与灯塔C的距离是_______ 海里． 14. 如图1是平潭动车站入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是_________． 15. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 16. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延长线上一点，EG∥AB．连接BE交AC于点F，则的值为_____． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. 如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）画出关于轴对称的； （2），，的坐标分别为_____________，_____________，_____________． 19. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 20. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 21. 如图，在中，平分．请从条件①，条件②中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点E，于点F； 条件②． 22. 如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点． （1）在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点． 23. 阅读与证明 “三等分任意角”是公元前5世纪古希腊学者提出并致力于研究的三大作图难题之一，其核心要求是仅用圆规和无刻度直尺，将任意给定的角精确分成三个相等的部分．两千多年间，无数数学家为攻克这一难题耗费了大量心血，却始终未能找到通用解法．直到1837年，数学家凡齐尔运用代数方法完成证明，明确了仅靠圆规和直尺无法三等分任意角，这一结论终于让人类走出了这座困扰已久的数学迷宫．不过研究过程中也发现了例外情况：部分特殊度数的角（如直角）仍可用尺规实现三等分：对于任意角、若借助专门的特殊工具，同样能够完成三等分操作．以下是两种做法，请认真阅读并完成证明： （1）阿基米德创设的方法是：在图2中，点为直尺的端点，预先在直尺上作一个记号点，以为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点和，即；移动直尺，使直尺上的点在边的反向延长线上移动．点在圆周上，当直尺恰好经过点时，过点作．请你依据图2，完成证明：； （2）用“有刻度的勾尺”（勾尺的两边互相垂直）的方法是：在图3中，勾尺的直角顶点为点，于点．．画直线，并且与之间的距离等于．移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使勾尺的边经过点，同时让点落在边上，请你依据图3，完成证明：． 24. 如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 25. 已知 （1）如图1，点在的 延长线上，，点在的 延长线上，， 且． ①求证：； ②求的值； （2）如图2，在和中，， 射线交线段于点．求证：点为线段的 中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $