精品解析：福建莆田市荔城区莆田第四中学、第九中学2025-2026学年 八年级上学期期中考试卷数学试题

2025-2026学年四中九中八年级上学期期中考试卷 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（ ）． A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 5. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 7. 如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 9. 已知为一锐角，如图，按下列步骤作图： ①在边上取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接． ②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接． 若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，点，在内部，其中，，，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点．若的最小值为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 12. 室内墙壁上挂一平面镜，明敏在平面镜内看到他背后墙上的时钟如图，则这时的实际时间是_____． 13. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为___________． 14. 如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°， 则 ∠P＝ ______°． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是_____． 16. 如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有；②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，；④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是：________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，，平分，证明． 19. 如图，在中，，且．求的度数． 20. 如图，在四边形中，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 21. 如图，点D、E分别在、上，，、相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下： 证明：在和中， （依据①________） （依据②________） …… 任务： （1）小聪同学的证明过程中依据①是________，依据②是________； （2）按小聪同学的思路将证明过程补充完整； （3）写出图中所有的全等三角形________． 22. 左图是古代大型武器投石机，右图为投石机的侧截面示意图．炮架的炮梢两顶点，到炮轴的距离、分别为和，拉动炮索，炮梢绕炮轴旋转，点，的对应点分别为，，，，的延长线与地面分别交于点，，，若，均与地面垂直，比长，求点到水平地面的距离． 23. 按要求解答问题： （1）如图①，中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．试猜想、、之间有怎样的关系，并说明理由． （2）如图，若将图①中的平分线改为外角的平分线，其它条件不变，那么、、之间的关系是否改变，若不变请说明理由；若改变请写出、、之间的关系并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点． （1）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________； （2）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值； （3）若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围． 25. 在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四中九中八年级上学期期中考试卷 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别； 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一分析各项即可． 【详解】A．，不能构成三角形，故A选项错误； B．，能构成三角形， C．，不能构成三角形，故C选项错误； D．，不能构成三角形，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握和运用三角形三边的关系是解决本题的关键． 3. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：A、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； B、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； C、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； D、，，，不能判定，故选项D符合题意． 4. 如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（ ）． A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角的两边的距离相等，据此可得答案． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， 故选：B． 5. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形性质，熟练掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键，先求出，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出即可解决． 【详解】解：作，交延长线于点E， ， ， 的长是， ， 则乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：B． 7. 如图，把等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，结合全等三角形的性质可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， 由题意可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第三象限， ∴． 故选：B． 8. 三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 9. 已知为一锐角，如图，按下列步骤作图： ①在边上取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接． ②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接． 若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解答本题的关键． 根据画图过程，得到，由等边对等角可得，，根据三角形内角和定理与三角形外角的性质可得，， ，则然后求解即可解答． 【详解】解：∵以为圆心，长为半径画弧，交于点；以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：． 故选：C． 10. 如图，点，在内部，其中，，，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点．若的最小值为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题、等边三角形的判定与性质，熟练掌握利用轴对称转化线段以及等边三角形的判定是解题的关键． 通过作对称点，将折线转化为直线，利用两点之间线段最短找到最小值的情况，再结合等边三角形的性质求解角度． 【详解】解：分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时取得最小值，即． ∵点与关于对称， ∴，． ∵点与关于对称， ∴，． ∴，且， ∴是等边三角形， ∴． 又∵，， ∴， 解得． 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反，即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 室内墙壁上挂一平面镜，明敏在平面镜内看到他背后墙上的时钟如图，则这时的实际时间是_____． 【答案】3：40. 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【详解】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为：3：40． 故答案为3：40． 【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 13. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的和差，三角形的内角和定理，理解角的位置关系和角的和差是解题的关键．根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意，一副三角尺， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°， 则 ∠P＝ ______°． 【答案】35 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到∠CBP=∠ABP＝15°，∠MCP=∠ACP＝50°，利用三角形外角性质得到∠CBP+∠P＝∠MCP，即可求出∠P． 【详解】解：∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线， ∴∠CBP=∠ABP＝15°，∠MCP=∠ACP＝50°， ∵∠CBP+∠P＝∠MCP， ∴∠P=∠MCP-∠CBP=50°-15°=35°， 故答案为：35． 【点睛】此题考查了角平分线的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是_____． 【答案】##27度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有；②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，；④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是：________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】先利用等腰的性质结合线段垂直平分线的性质得到，通过角度推导证明判定①正确，再结合在上的动点范围分析的取值范围判断②错误，最后通过截长补短构造全等三角形结合等边三角形性质分别验证③和④的线段和差关系，最终得出所有正确结论． 【详解】解：①线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ∴． 在和中，， ，， ． ，， ， ． 设，， 则． ∵， ， ， ． 在中，． ， ． 在中，． 在中， ， ， ， ． ； ①是正确的； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点， 当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大． 当点在线段上时，可分两种情况讨论： 当点越接近点时，点越靠近点，当点与点重合时，最小，如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点， ，， ，， ， ， ，， ． 且， 是等边三角形， ； 当点越远离点时，点越靠近点，当点与点重合时，最大， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点， ，， 平分． ，， ， ， ， ， ； 点不与，重合， 当点在线段上时，； 是错误的； ③当点在线段上时，如图所示， 在上截取， 由①得，， 是等边三角形， ， ． 在和中，， ， ． ， ； ③是正确的； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论： 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由①得， ， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交的延长线于点， ． ，， AD平分， ． 在和中， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ； 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由①得， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中，， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ； ④是不正确的； 综上所述，正确结论的序号是：①③． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，，平分，证明． 【答案】 证明：∵平分， ∴， 在与中， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上定理和定义． 利用角平分线的定义得出，再利用角角边进行证明三角形全等即可． 【详解】略 19. 如图，在中，，且．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在四边形中，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，射线即为所求作： （2） ，理由如下： ∵，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴，． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）先根据等腰三角形的性质得到，，再利用垂直定义和等角的余角相等证得，然后证明得到，，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形“三线合一”的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握基本尺规作图步骤，掌握等腰三角形的性质，会利用全等三角形的性质判断线段数量关系是解答的关键． 21. 如图，点D、E分别在、上，，、相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下： 证明：在和中， （依据①________） （依据②________） …… 任务： （1）小聪同学的证明过程中依据①是________，依据②是________； （2）按小聪同学的思路将证明过程补充完整； （3）写出图中所有的全等三角形________． 【答案】（1）；全等三角形的对应边相等 （2）证明：在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）和，和，和，和 【解析】 【分析】（1）成立的依据是，成立的依据是全等三角形的对应边相等； （2）在（1）的基础上再证明，即得； （3）根据（1）（2）中，，得出，，，，进而得出，，再证明，，可得4对全等三角形． 【小问1详解】 解：小聪同学的证明过程中依据①是，依据②是全等三角形的对应边相等， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）和（2）可知，，， ，，，， ，， ，， 图中共有4对全等三角形，它们是和，和，和，和 22. 左图是古代大型武器投石机，右图为投石机的侧截面示意图．炮架的炮梢两顶点，到炮轴的距离、分别为和，拉动炮索，炮梢绕炮轴旋转，点，的对应点分别为，，，，的延长线与地面分别交于点，，，若，均与地面垂直，比长，求点到水平地面的距离． 【答案】 【解析】 【分析】证明都是等边三角形，得到，再证明得到，则，即可得到，，设，则，求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到水平地面的距离是． 23. 按要求解答问题： （1）如图①，中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．试猜想、、之间有怎样的关系，并说明理由． （2）如图，若将图①中的平分线改为外角的平分线，其它条件不变，那么、、之间的关系是否改变，若不变请说明理由；若改变请写出、、之间的关系并说明理由． 【答案】（1）． 理由：，分别为，的角平分线， 又， ， ，， ． （2）改变，． 理由：同理可知， ， 又， ， 此时，． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线和平行线得到等角，证出等腰三角形，得到、，再将拆分为完成线段代换． （2）利用角平分线和平行线构造等腰三角形，得到、，再将拆分为完成线段代换． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点． （1）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________； （2）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值； （3）若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围． 【答案】（1） （2）m的值为2，的值为7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化、方程组与不等式组的应用等知识点，理解新定义“西雅对称点”的定义是解题的关键． （1）依照新定义计算即可； （2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可； （3）依照新定义计算出，根据在第二象限求出x的取值范围，再由满足条件的x的整数解有且只有一个，列不等式组得出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图， ∴将点关于轴的对称点，点关于直线的对称点记作点． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵关于轴的对称点，点关于的对称点， 点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是。 的坐标是， ，解得，， 值为2，的值为7． 【小问3详解】 解：点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为， 点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是， 点在第二象限， ，解得：， 关于的取值范围内的所有整数解之和为6， ，即：． 25. 在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） 证明：延长交于点，过点作于点， 则， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得； （2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论； （3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：过点作于，过点作于，如图， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接， 则，， ，， ， ， ， ，且满足， ， ， 在和中， ， ， ， 即点在直线上运动， 当且仅当时，最短，即点与点重合， 如图，连接， 则，即， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $