福建厦门市杏南中学2026-2027学年高二上学期期中考数学试卷

厦门市杏南中学2026-2027学年上学期期中阶段测试卷 高二年级数学 作答时间：120分钟命卷人：林倩倩审核人：林嘉欣 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知点A(4,-2,0),若向量AB=(3,6,-2),则点B的坐标是- A.（-7,-4,2) B.(7,4-2) C.(-1,8,-2) D.(1,-8,2) 2.直线x-V3y-2=0的倾斜角为 A晋 B月 c.4 D.8 3.已知平面的一个法向量为m=(-1,3,2),平面β的一个法向量为=(，-1,2)，若a1B, 则实数x的值为--一 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是 A.2x+3y-2=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D.3x-2y-10=0 5.已知曲线C:x2+y2=16,从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为 A学-1 B荒-1 c.元+号-1 D.若+号=1 6.在四面体O-ABC中，空间的一点M满足OM=1OA+2OB-4OC.若M,A,B,C四 点共面，则入= ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 7.已知动点M(,)满足方程√x+5)卫+yz-√x-5)2+y2=8,则M的轨迹方程是-（) A器+号=1 B器-号-1 c.8苦=10x>0) D.元-号=1y>) 1 8.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲 线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定 点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆。后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆。已 知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足PA=V2PB,若点P的轨迹 关于直线mx+ny-2=0对称，则m+n的值为 A.-2 B. C. D.1 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知街线c兰+。-1，则 A.当m=8时，C是圆 B.当m=10时，C是焦距为4的椭圆 C.当C是焦点在x轴上的椭圆时me(5,8)D.当C是离心率等于y2的椭圆时，m=7 10.已知双曲线C:x2-y2=4,下列说法正确的是 A.双曲线C的实轴长是2 B.双曲线C与椭圆号+y2=1有相同的焦点 C.双曲线C的离心率e=2 D.直线y=2x与双曲线C没有公共点 11在空间直角坐标系0-yz中，已知A(1,2,-1),B(0,1,1),下列结论正确的有--( A.ABI=V6 B.0A·0B=1 C.点A到直线OB的距离为四 D.若而=(1,1，k),且m/AB,则k=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆c号+兰=1的上、下焦点分别为B,,C上的点P满足PF,=2,则PF= 13.已知经过点P(2,1)且斜率为1的直线L与椭圆c爱+长=1(a>b>0)交于A.B两点， 若P恰为弦AB的中点，且椭圆的上顶点为(0,2)，则椭圆的标准方程 D 为 14.如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=Z,∠BAA1=∠DAA1= 3 则BD卡 cos(BD1,AC)= 2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E,F,G D 分别是BB1,B1D1,AB的中点。 F A (1)求证：EF1A1D: B (2)求证：EF/平面A1DG, E 16.(本小题15分) B 已知圆M:x2-2x+y2+4y-10=0. (1)求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径： (2)若直线x+3y+C=0与圆M交于A,B两点，且AB=2V5,求C的值。 17.(本小题15分) 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(6,6),C(0,6). (1)设线段AB的中点为M,求中线CM所在直线的方程； (2)求边AB上的高所在直线的方程； (3)求△ABC的面积。 18.(本小题17分) 已知动点M(x,y)与定点F(1.0)的距离与点M到定直线x=4的距离之比为常数号，设动点M的 轨迹为曲线E. (1)求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线； (2)若直线V3x-2y+V3=0与曲线E交于A、B两点，求线段AB的长： (3)在曲线E上是否存在一个点使得它到直线3x-2y+4v6=0的距离最小？若存在，请 求出最小距离所对应点P的坐标；若不存在，请说明理由。 心 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB与底面ABCD所成角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2,PA=BC=1. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值； (3)N为AD中点，线段PC上是否存在动点M(不包括端点)，使得点P到平面BW距离为} 若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。 B C厦门市杏南中学2026-2027学年上学期期中阶段测试卷 高二年级数学 作答时间：120分钟命卷人：林倩倩审核人：林嘉欣 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知点A(4,-2,0),若向量AB=(3,6,-2),则点B的坐标是 (B) A.（-7,-4,2) B.(7,4,-2) C.(-1,8,-2) D.(1,-8,2) 2.直线x-V3y-2=0的倾斜角为 (D) A晋 B月 c.4 D.君 3.已知平面的一个法向量为而=(-1,3,2)，平面β的一个法向量为航=(x,-1,2),若Q1B, 则实数x的值为--一 (C) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是 (A) A.2x+3y-2=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D.3x-2y-10=0 5.已知曲线C:x2+y2=16,从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为 (A) A学-1 B荒-1 c.+-1 D.若+号=1 6.在四面体O-ABC中，空间的一点M满足OM=1OA+2OB-4OC.若M,A,B,C四 点共面，则入= (B) A.2 B.3 C.-2 D.-3 7.已知动点M(,)满足方程√x+5)2+y2-√(x-5)2+y=8,则M的轨迹方程是--(C) A器+号=1 B器-号-1 c.8苦=10x>0) D.元-号=1y>) 1 8.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲 线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定 点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆。后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆。已 知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足PA=V2PB,若点P的轨迹 关于直线mx+y-2=0对称，则m+n的值为 (D) A.-2 B. C. D.1 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知陆线c兰+。-1，则 (AB) A.当m=8时，C是圆 B.当m=10时，C是焦距为4的椭圆 C.当C是焦点在x轴上的椭圆时me(5,8)D.当C是离心率等于y2的椭圆时，m=7 10.已知双曲线C:x2-y2=4,下列说法正确的是 (BD) A.双曲线C的实轴长是2 B.双曲线C与椭圆号+y2=1有相同的焦点 C.双曲线C的离心率e=2 D.直线y=2x与双曲线C没有公共点 11在空间直角坐标系0-yz中，己知A(1,2,-1),B(0,1,1),下列结论正确的有--(ABC) A.ABI =6 B.0A.0B=1 C.点A到直线OB的距离为网 D.若m=(1,1,k),且m/AB,则k=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆c号+兰=1的上、下焦点分别为，，C上的点P满足IPE=2,则P=4一 13.已知经过点P2,1)且斜率为1的直线L与椭圆c号+苦-1(a>b>0)交于A,B两点， 若P恰为弦AB的中点，且椭圆的上顶点为(0,2)，则椭圆的标准方程 为 +=1 14.如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=71∠BAA1=∠DAA1=2 则BD1=V6 ，cos(BD,AG=9 3 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E,F,G分别 D (1)求证：EF1A1D: A B (2)求证：EF/平面A1DG. E 解：(1)以D为原点建立如图空间直角坐标系，-1分 G B 则A1(2,0,2),D(0,0,0),E(2,2,1),F(1,1,2),G(2,1,0) 则E=(-1,-1,1),A1D=（←2,0，-2) -4分 由EA1D=(-1)×(-2)+0+1×(-2)=0 -5分 D C 可得EF⊥A1D -6分 A F B (2)D4=(2,0,2),DG=(2,1,0) E 设平面A1DG的法向量为=(x,y,) ND 则 DA1=2x+2z=0 G B DG=2x+y=0 令x=1,可得1=(1，-2，-1) ∴.EFi=(-1)×1+(1)×(-2)+1×(-1)=0 .EF⊥i, -11分 .EF4平面ADG -12分 ∴.EF∥平面ADG---13分 3 16.(本小题15分) 己知圆M:x2-2x+y2+4y-10=0. (1)求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径： (2)若直线x+3y+C=0与圆M交于A,B两点，且|ABl=2V5,求C的值。 解：(1)由x2-2x+y2+4y-10=0可得：(x-1)++2)2=15 即圆的标准方程为(x-1)+(+2)=15 3分 .圆心M(1,-2),半径r=V15 -6分 (2)圆心M(1,-2)到直线x+3y+c=0的距离为d AB =2vr2-d =2v15-d=2v5 --8分 ,d=10 -10分 又d=+249=V0 -12分 √12+32 ∴.C=15或-5 -15分 4 17.(本小题15分) 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(6,6),C(0,6). (1)设线段AB的中点为M,求中线CM所在直线的方程； (2)求边AB上的高所在直线的方程； (3)求△ABC的面积。 解：(1)AB的中点M(,9), 即M4,2) kx船=1 ∴.直线CM的方程为y6=-(x-0),即x+y6=0 -4分 (2)k4细=若=2，则AB边上的高所在直线斜率为-号 AB边上的高所在直线方程为y6=-x-0,即x+2y-12=0 --------8分 (3)BC=√(6-0)+(6-6)2=6 ---10 直线BC的方程为y=6 -11分 点A到BC的距离d=瑞=8 --13分 ∴.SAABC=BCd=×6x8=24 --15分 5 18.(本小题17分) 已知动点M(,y)与定点F(1.0)的距离与点M到定直线x=4的距离之比为常数与，设动点M的 轨迹为曲线E (1)求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线： (2)若直线V3x-2y+√3=0与曲线E交于A、B两点，求线段AB的长； (3)在曲线E上是否存在一点使得它到直线V3x-2y+4W6=0的距离最小？若存在，请求 出最小距离所对应点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1)根据题意，动点M的轨迹就是集合P={M1四=} 其中M=√x-1)+y,d=|x-4| :耍- -2分 x-4 化简得3x2+4y2=12 即号=1 4分 (2)设A(x1y),By) 联立 2+2=1 43 ,消元3+4（停+9=12 即2x2+2x-3=0 …-6分 V3x-2y+V3=0 1+x2=-1 号 4=V+0=V+E+4x=1+(9))2-4×(（)=}--10分 (3)设与V3x-2y叶4vV6=0平行的直线方程为√3x-2叶m=0--11分 V3.x-2叶=0 联立 +号-=1 →6x2+2W3x+m2-12=0---13分 △=(2W3m)-4×6×0m2-12)=0∴.m=±2W6 结合图形可得m=2v6时，直线V3x-2y+2W6=0-与椭圆的切点到直线V3x-2y+4V6=0的距 离最小 --15分 解6x+12W2+12=0即x242V2+2=0解得x=-V2,则y= 2 即所求点坐标为(-√2,5)17分 6 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB与底面ABCD所成角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2,PA=BC=1. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值； (3)N为AD中点，线段PC上是否存在动点M(不包括端点)，使得点P到平面BW距离为} 若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。 P 解： (1)由题意可得，AB,AD,AP两两垂直， 由PB与底面所成的角为45°，得∠PBA=45°， 故AB=PA=1, B 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴， ZA z轴建立空间直角坐标系O-z,如下图所示： 则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,1),C1,1,0),--1分 可得PB=(（1,0,-1),PC=(11,-1),PD=(0,2,-), A 设平面PCD的法向量为n=(x,,Z), X n·PC=x1+y-z1=0 可得 ,令y=1,可得x=1,z1=2: n·PD=2y-z1=0 即n=(1,1,2): -4分 设PB与平面PCD所成的角为O, h·PB 1+0-23 则sin0=cosh,PB= P丽626 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为V3 --6分 6 (2)根据题意易知平面PBA的一个法向量2，=(0,1,0)， (3)由(1)知，平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2), 设平面PCD与平面PBA所成角为中 7 则cosp=cosn,nF 6 即平面PCD与平面PBA所成角余弦值为V6 --10分 6 【小问3详解】 易知N(0,1,0), 设PM=PC,即(x,y,z-1)=(2元，-)，则M(,元，1-)，九∈(0,1)，-----11分 ZA P M A D BE-- 可得BN=(-1,1,0),BM=(2-1,,1-), 设面BMN法向量为n3=(x,y3,Z3) n·BN=-x3+3=0 则 nBM=(2-1）x3+元y,+(1-2)z,=0 22-1 令x=1,可得⅓=1，名3=元- -13分 22-1 PB.n 1 -1 1-2 1 即可得d= 22-12 2+(元-7 622-8元+3 V622-82+3 3 V(2-1)2 即322+81-3=0，解得九=。或1=-3（舍）：- -16分 3 112 此时点M 3’3’3 -17分